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(共16张PPT)
第一部分　教材同步复习
第六章　圆
第26讲 与圆有关的位置关系
2021[文件：中教联标彩.]
目
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中考知识归纳
重点难点突破
中考知识归纳
与
圆
有
关
的
位
置
关
系
点与圆的位置关系（如图①，设☉O的半径为r，点到圆心O的距离为d）
d>r 点在圆外，如点A；
d=r 点在圆上，如点B；
d直线与圆的位置关系（设☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d）
如图②，d如图③，d=r 直线l与☉O相切（只有1个公共点）；
如图④，d>r 直线l与☉O相离（没有公共点）
概念：与三角形三边都相切的圆
圆心：三角形的内心（即三角形的三条角平分线的交点）
性质：三角形的内心到三角形三边的距离③________
角度关系：如图⑤，∠BOC=90°+∠A
三角形的
内切圆
相等
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是
圆的切线
切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等，
这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
1.定理：经过切点的半径① 圆的切线；
2.延伸：圆心到切线的距离等于圆的②________
切线的性质
垂直于
与
圆
有
关
的
位
置
关
系
半径
1．已知☉O的半径为3，P为☉O所在平面内一点，当OP＝5时，点P与☉O的位置关系为( )
A．点P在☉O内 　B．点P在☉O外
C．点P在☉O上 　D．不能确定
基础小测
B
A．6　　B．4　　C．4　　D．8
2．如图，PA为☉O的切线，A为切点，连接PO交☉O于点B．若∠P＝30°，OB＝4，则线段OP的长为( )
D
3．(浙教九下P44第4题改编)如图，PA，PB都是☉O的切线，切点分别为A，B，连接OB，AB．如果∠P＝30°，那么∠OBA的度数为 ．
15°
4．如图，☉O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．若AF＝4 cm，BD＝5 cm，CD＝8 cm，则△ABC的周长为 cm．　
34
重难点
例
重点难点突破
切线的判定及与性质有关的计算
(一图多变)已知△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，
以AB为直径的☉O交AC于点E，D为BC的中点，连接DE．
(1)(一题多证)如图①，求证：DE与☉O相切．
【解答】证法一：如答图①，连接OD，OE．
∵O为AB的中点，D为BC的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，
∴∠BOD＝∠OAE，∠EOD＝∠OEA．
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠BOD＝∠EOD．
又∵OB＝OE，OD＝OD，∴△BOD≌△EOD(SAS)，
∴∠OED＝∠OBD＝90°，即OE⊥ED．
又∵OE为☉O的半径，∴DE与☉O相切．
图①
答图①
证法二：如答图②，连接OD，OE，BE.
∵AB是☉O的直径，∴∠AEB＝90°＝∠BEC.
又∵D为BC的中点，∴DE＝DB＝12BC.
又∵OB＝OE，OD＝OD，∴△BOD≌△EOD(SSS)，
∴∠OED＝∠OBD＝90°，即OE⊥ED.
又∵OE为☉O的半径，∴DE与☉O相切.
证法三：如答图③，连接OE，BE.
∵∠ABC＝90°，∴∠BAC＋∠C＝90°.
∵AB是☉O的直径，∴∠AEB＝90°＝∠BEC.
又∵D为BC的中点，∴DE＝DC＝12BC，∴∠DEC＝∠C.
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠OEA＋∠DEC＝∠BAC＋∠C＝90°，
∴∠OED＝180°－(∠OEA＋∠DEC)＝90°，即OE⊥ED.
又∵OE为☉O的半径，∴DE与☉O相切.
答图②
答图③
图③
(3)如图③，若☉O的半径为 2，DE＝6，则AE的长为______．
图②
(2)如图②，连接OE．若∠C＝30°，则∠BOE的度数为 ．
120°
2
(4)如图④，连接OC，OE，OC交DE于点F．若OE＝3，DE＝4，求的值．
【解答】如答图④，连接OD，BE，则易得∠BEC＝90°，DE＝BC．
∵DE＝4，∴BC＝8．
∵AB＝2OE＝6，∠ABC＝90°，∴在Rt△ABC中，AC＝＝10．
∵∠ABC＝∠BEC＝90°，∠ACB＝∠BCE，
∴△ABC∽△BEC，∴，∴EC＝．
∵O为AB的中点，D为BC的中点，∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，OD＝AC＝5，∴△ODF∽△CEF，
∴．
答图④
图④
【变式】(2025·浙江22题10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的半圆，交BC于点D，与AC相切于点E，连接OD，OE．
(1)求证：OD⊥OE；
【解答】由题意得OD＝OB，OE⊥AC，
∴∠ODB＝∠B．
∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，
∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC．
∵OE⊥AC，∴OD⊥OE．
(2)若AB＝BC，OB＝，求四边形ODCE的面积．
【解答】∵AB＝BC，AB＝AC，
∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°．
∵OE⊥AC，OE＝OD＝OB＝，
∴AE＝＝1，AO＝＝2，
∴AC＝AB＝AO＋OB＝2＋，∴EC＝AC－AE＝2＋－1＝1＋．
又∵OD∥AC，
∴四边形ODCE的面积为(OD＋EC)×OE＝×(＋1＋)×＝3＋．
随堂训练
如图，☉O是△ABC的外接圆，BC为☉O的直径，在线段BO上取点F，过点F作BC的垂线交AB于点E，连接OE，点G在FE的延长线上，且GA＝GE．
(1)求证：AG与☉O相切；
证明：如答图，连接OA．
∵OA＝OB，GA＝GE，∴∠ABO＝∠BAO，∠GEA＝∠GAE．
∵EF⊥BC，∴∠BFE＝90°，∴∠ABO＋∠BEF＝90°．
又∵∠BEF＝∠GEA，
∴∠ABO＋∠GEA＝90°，∴∠BAO＋∠GAE＝90°，即OA⊥AG．
又∵OA是☉O的半径，∴AG与☉O相切．
答图
随堂训练
如图，☉O是△ABC的外接圆，BC为☉O的直径，在线段BO上取点F，过点F作BC的垂线交AB于点E，连接OE，点G在FE的延长线上，且GA＝GE．
(2)已知BC＝20，AC＝12．若BE＝OB，求OE的长．
解：∵BC为☉O的直径，∴∠BAC＝90°.
∵BC＝20，AC＝12，
∴在Rt△ABC中，AB＝＝16.
∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°＝∠CAB.
又∵∠EBF＝∠CBA，∴△BEF∽△BCA，∴.
∵BE＝OB，OB＝12BC＝10，∴BE＝10，
∴，∴BF＝8，EF＝6，∴OF＝OB－BF＝10－8＝2，
∴在Rt△OEF中，OE＝＝2.(共15张PPT)
第一部分　教材同步复习
第六章　圆
第27讲 与圆有关的计算
2021[文件：中教联标彩.]
目
录
中考知识归纳
重点难点突破
中考知识归纳
与
圆
有
关
的
计
算
弧长及扇
形的面积
圆的周长：C=① __
弧长：l=② __
圆的面积：S=③ __
扇形的面积：S扇形=
=④ _
如图，r为圆（扇形）的半径，n°为弧
所对圆心角的度数，l是扇形的弧长
2πr
πr2
lr
圆锥的侧面展开图是以圆锥的⑤ 为半径，圆锥底面圆的⑥ 为弧长的扇形
周长
圆锥的侧面展开图及相关计算
母线长
圆锥的
相关
计算
r为圆锥的底面圆的半径，l为圆锥的母线长，h为圆锥的高，n°为圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角
与
圆
有
关
的
计
算
1.规则图形的面积直接用公式计算
2.不规则图形的面积计算：把所求不规则图形的面积转化为规则
图形的面积，常用的方法有：
方法 图形示例 结论
和差法 直接和 差法 S阴影=S△ACB－
S扇形CAD
构造和 差法 → S阴影=S△ODC－
S扇形DOE
阴影部分面
积的计算
与
圆
有
关
的
计
算
阴影部分面
积的计算
方法 图形示例 结论
等积转 换法 直接等面 积转换 → 注：CD∥AB S阴影=S扇形COD
对称法 → 注：AC=BC S阴影=S扇形ACB－S△ACD
与
圆
有
关
的
计
算
正多边形
和圆
边心距 r= 设正n（n≥3）边形的边长
为a（以正六边形为例）
正n边形的周长 l=na
正n边形的面积 S=nar=lr
中心角 θ=⑦________
与
圆
有
关
的
计
算
1．已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是( )
A．π B．3π C．5π D．15π
2．如图，正五边形ABCDE内接于☉O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD＝( )
A．60° B．54° C．48° D．36°
D
基础小测
D
3．(2025·浙江9题3分)如图，在Rt△ABC中，∠A＝35°，CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心，CD长为半径作弧，与AB的另一个交点为E．
若AB＝2，则的长为( )
A．π B．π
C．π D．π
B
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．将△ABC以AC所在直线为轴旋转一周得到圆锥，则该圆锥的全面积是 ．(结果保留π)
5．(人教九上P123第4题改编)如图，AB与☉O相切于点C，OA＝OB，☉O的直径为8，∠A＝30°，则图中阴影部分的面积为___________．
(结果保留π)
36π
16
重难点1
例1
重点难点突破
弧长和阴影部分面积的计算
已知AB是☉O的直径，AB＝4，E，C是☉O上两点，连接AE，AC，过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．
(1)如图①，若∠ACD＝60°，求的长．
答图①
【解答】如答图①，连接OE，OC．
∵∠ACD＝60°，CD⊥AD，
∴∠CAD＝30°，∴∠COE＝2∠CAD＝60°．
∵AB＝4，∴OE＝2，∴的长为．
图①
【解答】如答图②，连接OC，过点O作OG⊥AC于点G，则AG＝CG．
∵AB＝4，∴AO＝BO＝CO＝AB＝2．
在Rt△AGO中，∵∠GAO＝30°，
∴OG＝AO＝1，AG＝AO＝，
∴S△AGO＝AG·OG＝×1＝，∴S△ACO＝2S△AGO＝．
∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝2∠CAB＝60°，
∴S扇形COB＝，∴S阴影＝S△ACO＋S扇形COB＝．
(2)如图②，若∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积．
答图②
图②
(3)如图③，若，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积．
【解答】如答图③，连接OE，OC，连接BE交OC于点F．
∵CD⊥AE交AE的延长线于点D，∴∠D＝90°．
∵，∴OC⊥BE，∠COE＝∠BOC＝2∠CAB＝60°，∴∠EFC＝90°．
∵AB是☉O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠FED＝∠D＝∠EFC＝90°，
∴四边形DEFC是矩形，∴CF＝DE，EF＝CD．
∵OE＝OC＝AB＝2，∠OEF＝90°－∠COE＝30°，∴在Rt△OEF中，OF＝OE＝1，
∴DE＝CF＝OC－OF＝2－1＝1，CD＝EF＝，
∴S梯形OCDE＝(DE＋OC)·CD＝，S扇形COE＝，
∴S阴影＝S梯形OCDE－S扇形COE＝．
答图③
图③
(2023·杭州14题4分)如图，六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则的值为 ．
正多边形和圆　
2
重难点2
例2
正多边形和圆
【变式2－2】(2025·杭州钱塘区二模)如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，AE，以点A为圆心，AC长为半径画弧，得．若AB＝4，则图中阴影部分的面积是( )
A．36° B．60° C．65° D．72°
B
【变式2－1】(2025·杭州滨江区模拟)如图，☉O是正五边形ABCDE的外接圆，P为上一点，则∠APC的度数为( )
D
A．6π B．8π
C．12π D．16π(共19张PPT)
第一部分　教材同步复习
第六章　圆
第25讲 圆的基本性质
2021[文件：中教联标彩.]
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中考知识归纳
重点难点突破
1.平分弦（不是直径）的直径④ 于弦，并且⑤ 弦所对的弧；
2.平分弧的直径⑥ 弧所对的弦
垂直平分
平分
推论
垂直
圆的
性质
圆
的
基
本
性
质
垂径
定理
及其
推论
定理：垂直于弦的直径② 这条弦，并且平分弦所对的③____
圆的对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，任何一条直径所在的 直线都是它的对称轴，① 是它的对称中心
圆具有旋转不变性：圆绕着它的圆心旋转任意一个角度都能与原来的圆重合
平分
圆心
中考知识归纳
延伸
根据圆的对称性，如图①，在以下五个结论中：
（1）⑦ ；（2）⑧ ；（3）AE=⑨ ；
（4）AB⊥CD；（5）CD是直径.
只要满足其中两个结论，另外三个结论一定成立，即“知二推三”，由（3）（5）推其他结论时，一定要强调AB不是直径（因为一个圆中的直径总是互相平分的）
弧
BE
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧⑩ ，
所对的弦也 ______
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、
两个弦心、距中有一对量相等，
那么它们所对应的其余各对量都 .
如图②，∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF
相等
相等
圆心角
定理及
其推论
相等
圆
的
基
本
性
质
内容：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的 ____
情况：圆心在圆周角的一条边上　　　
定理
一半
圆周
角定
理及
其推
论
结论：如图③，④，⑤，∠APB= ____∠AOB
圆心在圆周角内部　　　
圆心在圆周角外部
圆
的
基
本
性
质
1.半圆（或直径）所对的圆周角是 .
90°的圆周角所对的弦是 .
如图⑥，AB是☉O的直径 ∠ACB= ；
2.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 相等；
相等的圆周角所对的弧也相等.如图⑥，
（1）∠A和 是所对的圆周角 ∠A= ____；
（2）∠A=
∠BCD
∠D
圆周角
90°
直径
推论
直角
圆周
角定
理及
其推
论
圆的确
定与三
角形的
外接圆
圆的确定：不在同一条直线上的三个点确定一个圆
三角形的外接圆
概念：经过三角形各个顶点的圆
圆心：三角形的外心（三角形三条边的垂直平分线的交点）
性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
角度关系：如图⑦，∠BOC=2∠A　
圆
的
基
本
性
质
∠D
1.圆内接四边形的对角 .
如图⑧，∠A+∠BCD= ，∠B+∠D= ；
2.圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的内对角.
如图⑧，∠DCE= _____
180°
180°
圆内接
四边形
的性质
互补
【易错点】忽视一条弦所对的圆周角有两种情况
【例】在☉O中，半径OA=2，弦AB=2，则弦AB所对的圆周角的
度数为______________.
圆
的
基
本
性
质
60°或120°
∠A
1．如图，A，B，C是☉O上的三个点．若∠AOB＝70°，则∠C的度数是( )
A．40° B．35°
C．30° D．25°
基础小测
B
2．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，连接AD，AC，BD，CD．若∠ADC＝105°，则∠CAB的度数是( )
A．30° B．25°
C．20° D．15°
D
3．(浙教九上P91第5题改编)如图，△BCD是☉O的内接三角形，AB是☉O的直径．若∠ABC＝25°，则∠BDC的度数为( )
A．65° B．70°
C．75° D．80°
A
4．如图，四边形ABCD内接于☉O．若∠BCD＝140°，则∠A＝ °．
40
5．(人教九上P82例2改编)如图，设☉O的半径为r m，过点O作弦AB的垂线OC，交AB于点D，交☉O于点C．若AB＝90 m，CD＝15 m，则半径r＝ m．
75
(1)若∠CAB＝60°，则∠B的度数为 ．
(2)若AE＝DE，且∠BCD＝40°，则∠AED的度数为 ．
(3)若＝2，则∠D的度数为 ．
(4)若AC＝1，半径OA的长为2，则 sin D的值为_____．
30°
100°
如图，在☉O中，AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，AB与CD相交于点E，连接AC，BC，AD．
30°
圆周角定理的相关计算
重难点1
例1
重点难点突破
圆周角定理的相关计算
图①
已知AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E．
(1)如图①，若CD＝8，AE＝2，则☉O的半径为____．
垂径定理的相关证明与计算
重难点2
例2
5
垂径定理的相关证明与计算
(2)如图②，F是☉O上一点，且，连接CF交OB于点G，连接BC．
①求证：GE＝BE；
【解答】∵，
∴∠ECG＝∠ECB．
∵CD⊥AB，
∴GE＝BE．
图②
②若AG＝6，BG＝4，求CD的长．
【解答】由①得GE＝BE．
如答图①，连接OC．
∵AG＝6，BG＝4，∴AB＝6＋4＝10，GE＝BE＝BG＝2，
∴OC＝OB＝AB＝5，∴OG＝OB－BG＝5－4＝1，
∴OE＝OG＋GE＝1＋2＝3，
∴在Rt△OCE中，CE＝＝4．
∵CD⊥AB，∴CD＝2CE＝2×4＝8．
答图①
图②
(3)如图③，若AB＝12，BE＝3，连接AC，BC，BD，AD，求四边形ACBD的面积．
【解答】如答图②，连接OC．
∵AB＝12，BE＝3，
∴OB＝OC＝6，∴OE＝3．
∵CD⊥AB，
∴在Rt△COE中，EC＝＝3，
∴CD＝2CE＝6，
∴S四边形ACBD＝AB·CD＝×12×6＝36．
图③
答图②
随堂训练
如图，已知☉O的半径为2，AB是☉O的直径，P是☉O外一点，PO＝4，AP＝AB，PA，PB分别交☉O于点C，D．
(1)求证：PD＝BD；
证明：如答图，连接AD．
∵AB是☉O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BP．
∵AP＝AB，
∴PD＝BD．
题图
答图
(2)求PC的长．
解：如答图，连接OC．
∵☉O的半径为2，∴AB＝4．
∵PO＝4，AP＝AB，
∴PO＝AB＝AP＝4，∴∠PAO＝∠POA．
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠PAO＝∠POA＝∠ACO＝∠CAO，
∴△POA∽△OCA，
∴，即，∴AC＝1，
∴PC＝AP－AC＝4－1＝3．
题图
答图(共13张PPT)
第一部分　教材同步复习
第六章　圆
微专题五　辅助圆模型
2021[文件：中教联标彩.]
目
录
解题技巧
专项训练
解题技巧
类型一
四点共圆　
模型描述 直角三角形共斜边 (∠D＝∠C＝90°) 四边形对角互补 (∠A＋∠D＝180°) 共一边，同侧等角
(∠A＝∠C)
模型展示
结论 A，B，C，D四点共圆
类型二
定弦对定角　
模型描述 90°定角 非90°定角
AB为定线段，C为动点，∠ACB＝90° AB为定线段，C为动点，∠ACB的度数为定值
模型展示
结论 点C的运动轨迹是以AB为直径的圆 (不含点A，B) 点C的运动轨迹是
(不含点A，B)
类型三
点圆最值　
模型描述 已知平面内一定点D和☉O，E是☉O上一动点，设点O与点D之间距离为d，☉O的半径为r．当D，O，E三点共线时，线段DE的长有最大(小)值，具体分以下三种情况
模型展示 点D在☉O内 　　点D在☉O上 　 点D在☉O外
① ② ③
结论 当点E与点E'重合时，DE取得最大值，分别为d＋r，2r，d＋r；
图①，③中：当点E与点E″重合时，DE取得最小值，分别为r－d，d－r，图②中：当点E与点D重合时，DE取得最小值，为0
类型四
线圆最值
模型描述 已知☉O及直线l，☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，Q为☉O上一动点，点Q到直线l的距离有最大(小)值，具体分以下三种情况
模型展示 直线l与☉O相离 　直线l与☉O相切　 直线l与☉O相交
① ② ③
结论 当点Q与点Q'重合时，点Q到直线l的距离取得最大值，最大值分别为d＋r，2r，d＋r．
图①，②中：当点Q与点Q″重合时，点Q到直线l的距离取得最小值，分别为d－r，0；
图③中：当点Q与点Q1，Q2重合时，点Q到直线l的距离取得最小值，为0
专项训练
1．如图，☉O的半径为1，PT与☉O相切于点T，PT＝，则点P到☉O上的点的最小距离是 ．
－1
2．(2023·台州改编)如图，☉O的圆心O与正方形的中心重合，已知☉O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点的距离的最小值为___________．
4－2
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D为AB的中点，E为AC上的点，DF⊥DE交BC于点F，连接EF，则tan∠DEF的值为
_______．
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上．若AD＝1，则CE的长为_____．
5．如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD右侧一动点，且∠AED＝45°，P为AB的中点，连接PE，则PE的最大值为__________．
2＋2
6．如图，已知两条平行线l1，l2，A是l1上的定点，AB⊥l2于点B，C，
D分别是l1，l2上的动点，且满足AC＝BD，连接CD交线段AB于点E，BH⊥CD于点H，连接AH，则当∠BAH最大时，sin∠BAH的值为____．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是上的一个动点，连接AP，求AP的最小值．
解：如答图，设以BC为直径的半圆的圆心为O，
连接OA交于点P，此时AP有最小值．
由题意知OC＝OP＝BC．
∵AC＝BC＝8，
∴OC＝OP＝4．
∵∠ACB＝90°，∴OA＝＝4，
∴AP＝OA－OP＝4－4，即AP的最小值为4－4．
答图

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