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第一部分　教材同步复习
第三章　函　数
第12讲 二次函数的图象与性质(二)
2021[文件：中教联标彩.]
目
录
中考知识归纳
重点难点突破
1.设二次函数表达式：
(1)一般式：若已知三个点，则可设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：若已知抛物线的顶点(h，k)，则可设y＝
① ；
(3)交点式：若已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)，
则可设y＝② .
2.代入点坐标：用待定系数法，将已知点坐标代入相应表达式
中，得到关于待定系数的方程(组)
3.求解：解方程(组)求出待定系数的值，从而得出二次函数的表
达式
a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
确定
二次
函数
表达
式的
步骤
a(x－h)2＋k(a≠0)
二次
函数
的图
象与
性质
(二)
中考知识归纳
平移前的 表达式 移动方向及距离(m>0) 平移后的表达式 规律
(口诀)
y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 向左平移m个单位长度 y＝a(x－h③ )2＋k(a≠0) 横坐标左加右减
向右平移m个单位长度 y＝a(x－h④ )2＋k(a≠0)
向上平移m个单位长度 y＝a(x－h)2＋k⑤ (a≠0) 纵坐标上加下减
向下平移m个单位长度 y＝a(x－h)2＋k⑥ (a≠0)
－m
＋m
－m
＋m
图象的
平移
二次
函数
的图
象与
性质
(二)
方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解 二次函数y＝ax2＋bx＋c
（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标；
当b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个⑦ .
的实数根，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴有 两个交点；
当b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有⑧ .
的实数根，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴有 一个交点；
当b2－4ac<0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）⑨ 实数根，
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴无交点
没有
两个相等
与一元二次方程的关系
(2022版课标新增)
不相等
二次
函数
与方
程、
不等
式的
关系
二次
函数
的图
象与
性质
(二)
与不等式
的关系
二次
函数
与方
程、
不等
式的
关系
二次
函数
的图
象与
性质
(二)
不等式ax2＋bx＋c(a≠0)⑩ 0的解集 二次函数y＝
ax2＋bx＋c(a≠0)的图象位于x轴上方时对应点的横坐标
的取值范围；
不等式ax2＋bx＋c(a≠0) 0的解集 二次函数y＝
ax2＋bx＋c(a≠0)的图象位于x轴下方时对应点的横坐标
的取值范围
<
>
1．已知二次函数的图象经过A(0，0)，B(1，－3)，C(2，－4)三点，则该二次函数的表达式为( )
A．y＝x2＋4x B．y＝x2－4x
C．y＝－x2－4x D．y＝－x2＋4x
2．将抛物线y＝3x2＋1向上平移2个单位长度得到的新抛物线的表达式为 ．
y＝3x2＋3
基础小测
B
3．如图，抛物线y＝ax2(a≠0)与直线y＝bx＋c(b≠0)的两个交点坐标分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的解是 ．
x1＝－2，x2＝1
4．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点的坐标为(－3，0)，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集为
．
－3＜x＜5
重难点
例
重点难点突破
二次函数解析式的确定
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过A，B两点．
(1)若点A，B的坐标分别为(－2，0)，(1，3)，且抛物线与y轴交于点C(0，4)，求抛物线的表达式；
【解答】将点A(－2，0)，B(1，3)，C(0，4)代入y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
得解得
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4．
(2)若点A的坐标为(－2，0)，抛物线的顶点P的坐标为(1，3)，求抛物线的表达式；
【解答】∵抛物线的顶点P的坐标为(1，3)，
∴抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋3(a≠0)．
将点A(－2，0)代入上式，得0＝a(－2－1)2＋3，
解得a＝－，
∴抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋3＝－x2＋x＋．
(3)若点A，B的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，且抛物线过另外一点C(2，3)，求抛物线的表达式；
【解答】由题意，得抛物线的表达式为 y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)．
将点C(2，3)代入上式，得a(2＋1)×(2－3)＝3，
解得a＝－1，
∴抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．
(4)若点A，B的坐标分别为(－2，0)，(1，3)，且抛物线的对称轴为直线x＝1，求抛物线的表达式；
【解答】由题意，得解得
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋．
(5)若a＝2，b＝－4，c＝1，将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，求平移后抛物线的表达式；
【解答】∵a＝2，b＝－4，c＝1，
∴平移前抛物线的表达式为y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1．
∵将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴平移后抛物线的表达式为y＝2(x－1＋2)2－1－3＝2(x＋1)2－4＝2x2＋4x－2．
(6)若a＝－1，当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求抛物线的表达式．
【解答】∵a＝－1＜0，当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，
∴抛物线的开口向下，易知抛物线的对称轴直线x＝在y轴的右侧，
∴b＞0．
∵当x≤0时，y的最大值为2，∴c＝2．
又∵当x＞0时，y的最大值为3，∴＝3，∴b＝±2．
∵b＞0，∴b＝2，
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋2．(共25张PPT)
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第三章　函　数
第10讲 反比例函数
2021[文件：中教联标彩.]
目
录
中考知识归纳
重点难点突破
中考知识归纳
反
比
例
函
数
表达式
的确定
方法：待定系数法
步骤：1.设反比例函数的表达式为y＝(k≠0)；
2.找出该反比例函数图象上一点P(a，b)；
3.将点P(a，b)代入表达式，得k＝ab；
4.确定反比例函数的表达式为y＝
反比例函数的表达式 y＝(k≠0)
k的符号 k>0 k<0
大致图象
图象所在象限 　 第① 象限 　第② 象限
图象特征 由两个分支组成的曲线，每支均无限接近坐标轴，但与坐标轴永不相交
二、四
一、三
图象与
性质　
反
比
例
函
数
k的符号 k>0 k<0
大致图象
增减性 在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而③ . 在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而④ .
图象的对称性 关于直线y＝x和直线y＝－x成轴对称；关于坐标原点成中心对称
图象与
性质　
反
比
例
函
数
减小
增大
反
比
例
函
数
系数
k的
几何
意义
1.系数k的几何意义(如图)：
在反比例函数y＝(k≠0)的图象上任取一点P(x，y)，过点P分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，与坐标轴围成的矩形PMON的面积S＝|xy|＝⑤ .
|k|
反
比
例
函
数
系数
k的
几何
意义
2.相关面积计算：
S△AOP＝ (点P，P1关于原点对称) ＝2|k|
S ABCP＝⑥ .
(点B，P关于原点对称) S ABCP＝⑦ . S△ABO＝S△ABC＝(|k1|＋|k2|)
S△AOB＝⑧ .
|k|
2|k|
(|k1|－|k2|)
反
比
例
函
数
反比例
函数综
合题常
见设问
的解题
方法
1.确定函数表达式.
2.求交点坐标：已知两函数的表达式，联立得到方程组，解
方程组即得交点坐标.
3.利用函数图象确定
不等式ax＋b(a≠0)>
(k≠0)或不等式ax＋
b(a≠0)<(k≠0)的解集
【易错点】确定k值时忽略图象所在象限
【例】已知A是反比例函数y＝(x<0)的图象上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，C为y轴上一点，连接AC，BC.若△ABC的面积为6，则k的值是_____________.
4.割补法求三角形的面积
12或－12
反比例
函数综
合题常
见设问
的解题
方法
反
比
例
函
数
1．(浙教八下P143例1改编)若反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点(－4，2)，则其表达式是( )
A．y＝－ B．y＝－
C．y＝ D．y＝
基础小测
B
2．对于反比例函数y＝，下列说法正确的是( )
A．图象经过点(3，－3)
B．图象关于直线y＝x成轴对称
C．图象位于第二、四象限
D．在图象所在的每一象限内，y随x的增大而增大
B
3．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A是反比例函数y＝(k＜0，x＜0)的图象上一点，边CD在x轴上．若平行四边形ABCD的面积为3，则k的值为( )
A．6 B．4
C．3 D．－3
D
4．如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象和反比例函数y＝(a≠0)的图象相交于点A，B，则关于x的不等式kx＋b＞的解集是( )
A．x＞0.5
B．－1＜x＜0.5
C．x＞0.5或 －1＜x＜0
D．x＜－1或0＜x＜0.5
C
重难点1
(2025·浙江5题3分改编)已知反比例函数y＝(k≠0)．
(1)当k＝－7时，该反比例函数的图象在第 象限，在图象所在的每一象限内，y随x的增大而 ；
(2)若该反比例函数的图象在第一、三象限，则k的取值范围为 ；
(3)若点A(2，3)，B(－3，m＋4)都在该反比例函数的图象上，则m＝ ；
－6
k＞0
增大
反比例函数的图象与性质　
二、四
例1
重点难点突破
(4)(易错题)如图，A是反比例函数 y＝(x＜0)的图象上一点，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上．若△ABP的面积是3，则k的值为 ；
－6
(5)(2024·浙江9题3分改编)若k＝4，点P(t，y1)，Q(t＋4，y2)均在该反比例函数的图象上．当t＜－4时，y1，y2，0的大小关系为 (用“＜”连接)；当－4＜t＜0时，y1，y2，0的大小关系为 (用“＜”连接)；当t＞0时，y1，y2，0的大小关系为 (用“＜”连接)．
0＜y2＜y1
y1＜0＜y2
y2＜y1＜0
重难点2
例2
反比例函数与一次函数综合　
(2023·杭州20题10分改编)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝与一次函数y＝k2(x－2)＋5的图象交于点A和点B，k1k2≠0，点A的横坐标是2，点B的纵坐标是－4．
(1)求k1，k2的值；
【解答】∵点A的横坐标是2，∴将x＝2代入y＝k2(x－2)＋5，
解得y＝5，∴A(2，5)．
将点A(2，5)代入y＝，解得k1＝10，∴反比例函数的表达式为y＝．
∵点B的纵坐标是－4，
∴将y＝－4代入y＝，解得x＝－，∴B．
将点B代入y＝k2(x－2)＋5，
得－4＝k2＋5，解得k2＝2．
(2)求不等式k2(x－2)＋5＞的解集；
【解答】不等式k2(x－2)＋5＞的解集为－＜x＜0或x＞2．
(3)过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两直线在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两直线在第四象限交于点D．求证：直线CD经过原点．
答图
【解答】如答图．由题意，得C，D(2，－4)．
设直线CD的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
∴解得
∴直线CD的表达式为y＝－2x，
当x＝0时，y＝0，∴直线CD经过原点．
(4)在(3)的条件下，求△ABD的面积；
【解答】由题意，得S△ABD＝×(xA－xB)(yA－yB)＝×9＝．
答图
【变式】在(3)的条件下，若x轴上有一点E，使△ABE的面积是△ABD面积的一半，求点E的坐标．
【解答】由(1)可知，一次函数的表达式为y＝2x＋1．设一次函数y＝2x＋1的图象与x轴的交点为F．
令2x＋1＝0，解得x＝－．∴F．
由(4)可知，S△ABD＝．
根据题意，得S△ABE＝S△ABD＝．
设E(m，0)，
∴S△ABE＝S△AEF＋S△BEF＝×∣m＋∣×5＋×4＝，
解得m＝或m＝－，
∴点E的坐标为．
随堂训练
(跨学科)(2022·台州)如图，根据小孔成像的科学原理，当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时，火焰的像高y(单位：cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位：cm)的反比例函数．当x＝6时，y＝2．
(1)求y关于x的函数表达式；
解：设y关于x的函数表达式为y＝(k≠0)．
把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12，
∴y关于x的函数表达式为y＝．
(2)若火焰的像高为3 cm，求小孔到蜡烛的距离．
解：把y＝3代入y＝，解得x＝4，
∴小孔到蜡烛的距离为4 cm．(共12张PPT)
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第三章　函　数
第13讲 二次函数的应用
2021[文件：中教联标彩.]
目
录
重点难点突破
重难点
例
重点难点突破
二次函数的应用
(销售利润最值问题)(2025·杭州萧山区模拟)根据以下素材，完成探索任务．
如何设计实体店背景下的网上销售价格方案
素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．
素材2 据调查，在网上，当该商品的销售价为60元/件时，平均每天的销售量是200件，而销售价每降低x元(0≤x≤20)，平均每天就可以多售出20x件．
素材3 该商品在实体店的销售价定为80元/件．据调查，该实体店的销售受网上影响，其每天的销售量为(100－2x)件．
探究任务
任务1 确定模型 求网上每天销售这种小商品所获得的利润y(元)关于x的函数表达式．
【解答】由题意，得y＝(60－x－40)(200＋20x)＝－20x2＋200x＋4 000，即在网上每天销售这种小商品所获得的利润y(元)关于x的函数表达式为
y＝－20x2＋200x＋4 000(0≤x≤20)．
【解答】由题意得－20x2＋200x＋4 000＝4 500，
整理得x2－10x＋25＝0，即(x－5)2＝0，
解得x1＝x2＝5，
∴60－x＝55．
答：在网上的销售价应定为55元．
探究任务
任务2 探究销售 方案 若该公司想要在网上每天销售这种小商品的利润为4 500元，那么在网上的销售价应定为多少
【解答】设该公司每天销售这种小商品的总利润为W元．
由题意得W＝－20x2＋200x＋4 000＋(80－40)(100－2x)＝－20x2＋120x＋8 000＝－20(x－3)2＋8 180．
∵－20＜0，0≤x≤20，
∴当x＝3时，W有最大值，W最大＝8 180，此时60－x＝57．
答：当该小商品在网上销售价为57元/件时，该公司每天销售这种小商品的总利润最大，最大总利润是8 180元．
探究任务
任务3 拟定最优 方案 当该小商品在网上的销售价是多少时，该公司每天销售这种小商品的总利润(总利润＝网上利润＋实体店利润)最大 最大总利润是多少
【变式1】(几何图形面积最值问题)如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN．已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
(1)若a＝20，所围成的矩形菜园ABCD的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
【解答】设AB＝t米，则 AD＝(100－2t)米．
根据题意，得t(100－2t)＝450，解得t1＝5，t2＝45．
当t＝5时，100－2t＝90＞20，不符合题意，舍去；
当t＝45时，100－2t＝10＜20，符合题意．
答：所利用旧墙AD的长为10米．
(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值．
【解答】设AD＝x米，矩形菜园ABCD的面积为S平方米，
则S＝x·＝－(x－50)2＋1 250．
∵－＜0，∴当50≤a＜100时，在x＝50处，S有最大值，最大值为1 250；
当0＜a＜50时，在0＜x≤a范围内，S随x的增大而增大，
即当x＝a时，S有最大值，最大值为50a－a2．
综上所述，当50≤a＜100时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1 250平方米；当 0＜a＜50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为平方米．
【变式2】(抛物线形最值问题)如图，A→B→C→E→F为某过山车的一部分轨道，轨道A→B→C和C→E→F可以各自看成一段抛物线，其形状相同，B，E分别为两段轨道的最低点．建立平面直角坐标系如图，点A在y轴上，B，E两点均在x轴上，其中OA＝16.9米，OB＝13米(轨道厚度忽略不计)．
(1)求抛物线A→B→C的表达式．
【解答】根据题意，设抛物线的表达式为y＝a(x－
13)2(a≠0)．
把点A(0，16.9)代入上式，得169a＝16.9，解得a＝0.1，
∴抛物线A→B→C的表达式为y＝0.1(x－13)2．
(2)已知在A→B→C轨道上C，D两个位置到地面的距离相等，轨道抛物线 C→E→F最低点E的坐标为(33，0)，求点D的坐标．
【解答】∵抛物线C→E→F最低点E的坐标为(33，0)，
且该抛物线的形状与抛物线A→B→C的形状相同，
∴抛物线C→E→F的表达式为y＝0.1(x－33)2．
联立解得
∴C(23，10)．
由题意知，C，D两点关于抛物线A→B→C的对称轴对称，∴D(3，10)．
(3)现需要对轨道下坡段A→B进行安全加固，利用某种材料建造水平支架GP，HQ，和竖直支架GM，HN，且要求MN＝2OM．已知这种材料的价格是
5 000元/米，请通过计算说明：当GP为多少米时，造价最低 并求最低造价为多少元．
【解答】设GP＝OM＝m米，则ON＝OM＋MN＝OM＋2OM＝3OM＝3m米，
∴yG＝0.1(m－13)2＝0.1m2－2.6m＋16.9，yH＝0.1(3m－13)2＝0.9m2－7.8m＋16.9，
∴GP＋GM＋HQ＋HN＝m＋0.1m2－2.6m＋16.9＋3m＋0.9m2－7.8m＋16.9＝m2－6.4m＋33.8＝(m－3.2)2＋23.56．
∵1＞0，
∴当m＝3.2时，GP＋GM＋HQ＋HN的值最小，最小值为23.56，
23.56×5 000＝117 800(元)．
答：当GP为3.2米时，造价最低，最低造价为117 800元．(共19张PPT)
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第三章　函　数
第8讲 平面直角坐标系与函数
2021[文件：中教联标彩.]
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中考知识归纳
重点难点突破
各象限 内的点 (x，y) 【温馨提示】坐标轴上的点不属于任何象限 象限 x，y的符号
第一象限 (＋，＋)
第二象限 ① .
第三象限 ② .
第四象限 ③ .
(＋，－)
(－，－)
(－，＋)
点的
坐标
特征
平面
直角
坐标
系与
函数
中考知识归纳
坐标轴上的点 x轴上的点P1的纵坐标为④ ；
y轴上的点P2的横坐标为⑤ ；
原点O的坐标为⑥ .
各象限角平分线上的点 点A1(x1，y1)在第一、三象限角平分线上，则x1＝y1；
点A2(x2，y2)在第二、四象限角平分线上，则⑦ .
x2＝－y2
(0，0)
0
0
平面
直角
坐标
系与
函数
点的
坐标
特征
与坐标轴平行的直线上的点 平行于x轴的直线m上的点的⑧ 坐标相等；
平行于y轴的直线n上的点的⑨ 坐标相等
【知识拓展】中点坐标公式：已知平面直角坐标系内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点的坐标为
横
纵
平面
直角
坐标
系与
函数
点的
坐标
特征
平面
直角
坐标
系与
函数
点的
距离
点到坐标轴及原点 的距离 点A(a，b)到x轴的距离为⑩ ；
点A(a，b)到y轴的距离为 ；
点A(a，b)到原点的距离为 .
平行于坐标轴的直线上两点间的距离 平行于x轴的直线l1上的两点P1(x1，y)，P2(x2，y)间的距离P1P2＝|x1－x2|；
平行于y轴的直线l2上的两点Q1(x，y1)，Q2(x，y2)间的距离Q1Q2＝|y1－y2|
【知识拓展】两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离P1P2＝
|b|
|a|
点P1(a，b)关于x轴对称的点
为P2(a，－b)；
点P1(a，b)关于y轴对称的点
为P3 ；
点P1(a，b)关于原点对称的点
为P4 .
(－a，－b)
点对称的坐标
特征
(如图)
(－a，b)
平面
直角
坐标
系与
函数
口诀：关于谁对称，
谁不变；关于原点
对称，都要变 　
点P的坐标 平移方式(a>0，b>0) 横坐标 纵坐标 平移后点P'的坐标 口诀
(x，y) 向右平移a个单位长度 加a 不变 . 左右平移，左减右加
向左平移a个单位长度 减a 不变 .
向上平移b个单位长度 不变 加b . 上下平移，上加下减
向下平移b个单位长度 不变 减b .
(x，y－b)
(x，y＋b)
(x－a，y)
(x＋a，y)
点平移的
坐标特征
平面
直角
坐标
系与
函数
点旋转的
坐标特征
平面
直角
坐标
系与
函数
点P(a，b)绕原点 点P1 ；
点P(a，b)绕原点 点P2 ；
点P(a，b)绕原点 点P3 .
(－a，－b)
(－b，a)
(b，－a)
函数表达式的形式 自变量的取值范围 举例
含有分式 使分母不为0的实数 函数y＝中x的取值范围是 _______
含有二次根式 使被开方数大于或等于0的实数 函数y＝中x的取值范围是 _______
含有分式与二次根式 使分母不为0且被开方数大于或等于0的实数 函数y＝中x的取值范围是 _
x≥1且x≠2
平面
直角
坐标
系与
函数
函数自变
量的取值
范围
函数表示及图象
1.函数的表示方法：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法；
2.画函数图象的步骤：列表、描点、连线
x≠1
x≥2
A．(1，－2) B．(－1，－2)
C．(－2，－1) D．(－1，2)
1．(浙教八上P116课内练习第1题改编)如图，已知黑棋(甲)的坐标为(－2，2)，白棋的坐标为(2，1)，则黑棋(乙)的坐标为( )
基础小测
C
2．在平面直角坐标系xOy中，点P(1，－4)关于原点对称的点的坐标是( )
A．(－1，－4) B．(－1，4)
C．(1，4) D．(1，－4)
B
3．在平面直角坐标系中，将点A(1，1)先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为( )
A．(－1，3) B．(3，－2)
C．(3，4) D．(4，3)
C
A B C D
4．将常温中的温度计插入一杯60 ℃的热水(恒温)中，温度计的读数y(℃)与时间x(min)的关系用图象可近似表示为( )
C
5．函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
x≠－2
重难点1
在平面直角坐标系中有P(2m，m－2)，Q(4，2)两点．
(1)若点P在第四象限，则m的取值范围是 ；
(2)若点P在x轴上，则m的值为 ；若点P在第一、三象限的角平分线上，则m的值为 ；
(3)若将点P先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后与点Q重合，则m的值为 ；
3
－2
2
平面直角坐标系中的点
0＜m＜2
例1
重点难点突破
(4)若PQ∥x轴，则点P的坐标为 ；若PQ∥y轴，则点P的坐标为 ；点Q关于原点对称的点的坐标为 ；将点Q绕原点顺时针旋转90°得到的点的坐标为 ；
(5)若m＝－1，则P，Q两点间的距离为________，线段PQ的中点坐标为_____________．
(2，－4)
(－4，－2)
(4，0)
(8，2)
重难点2
(2025·浙江10题3分)为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图①，P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x(单位：km)(0≤x≤n)，PQ2为y(单位：km2)．如图②，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D(m，81)，且经过E(1，225)和F(n，225)两点．下列选项正确的是( )
分析判断函数图象　
D
例2
① ②
A．m＝12
B．n＝24
C．点C的纵坐标为240
D．点(15，85)在该函数图象上
① ②
A．AB＝4
B．∠ACB＝90°
C．当0≤t≤2时，y＝t2
D．△EFD的周长为9＋5
【变式】(2025·广元)如图①，有一水平放置的正方形EFGH，D为FG的中点，等腰三角形ABC满足顶点A，B在同一水平线上且CA＝CB，点B与HE的中点重合．等腰三角形ABC以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰三角形ABC与正方形EFGH重叠部分的面积y与运动时间t(s)之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是( )
D(共26张PPT)
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第三章　函　数
第9讲 一次函数
2021[文件：中教联标彩.]
目
录
中考知识归纳
重点难点突破
中考知识归纳
一
次
函
数
定义：一般地，函数y＝kx＋b(k，b都是常数，且k≠0)叫作一次函数.当b＝
0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k为常数，k≠0)，叫作正比例函数
表达式
的确定
k，b符号 k>0 k<0
b>0 b<0 b＝0 b>0 b<0 b＝0
大致图象
经过象限 一、二、三 一、三、四 一、三 一、二、四 二、三、四 二、四
增减性 y随x的增大而② . y随x的增大而③ .
一
次
函
数
图象与
性质
图象：一次函数y＝kx＋b(k，b都是常数，且k≠0)的图象是经过点(0，b)及点的一条直线
性质
增大
减小
一次函数图象
的平移
一
次
函
数
平移前的表达式 平移方向(m>0) 平移后的表达式 口诀
y＝kx＋b(k≠0) 向左平移m个单位长度 y＝k(x＋m)＋b 左右平移，给x左加右减
向右平移m个单位长度 y＝k(x－m)＋b
向上平移m个单位长度 y＝kx＋b＋m 上下平移，等号右边整体上加下减
向下平移m个单位长度 y＝kx＋b－m
与方程
(组)、不等式的关系
一
次
函
数
与一元一次方程的关系 一次函数y＝kx＋b(k，b都是常数，且k≠0)的图象与x轴交点的横坐标的值 方程kx＋b＝0的解
与二元一次方程组的关系 一次函数y＝k1x＋b1(k1，b1都是常数，且k1≠0)与y＝k2x＋b2(k2，b2都是常数，且k2≠0)图象的交点的横、纵坐标的值 关于x，y的二元一次方程组的解
与一元一次不等式的关系 1.关于x的不等式kx＋b>0的解集 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象位于x轴上方部分对应点的横坐标的取值范围；
2.关于x的不等式kx＋b<0的解集 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象位于x轴下方部分对应点的横坐标的取值范围
一
次
函
数
实际应用
1．若正比例函数的图象经过点(－2，3)，则该正比例函数的表达式为( )
A．y＝－6x B．y＝2x－3
C．y＝－x D．y＝－x
基础小测
D
A B C D
2．(浙教八上P157作业题第1题改编)在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x－3的图象是( )
D
3．对于一次函数y＝－3x＋m，下列说法正确的是( )
A．函数的图象一定不过原点
B．当m＝－1时，函数的图象不经过第一象限
C．当m＝2时，函数的图象经过点(1，1)
D．若点(－2，1)和(2，n)均在函数图象上，则n＞0
B
4．将一次函数y＝2x＋1的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是( )
A．y＝2x－1 B．y＝2x＋3
C．y＝4x－3 D．y＝4x＋5
A
A B C D
5．(2025·新疆)在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是( )
D
6．(2022·杭州)已知一次函数y＝3x－1与y＝kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1，2)，则方程组的解是_____________．
重难点1
例1
重点难点突破
一次函数的图象与性质
已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)．
(1)若该一次函数的图象经过点(2，1)，，则它的表达式为____________________．
【变式1－1】若b＝5，C(2，4)，D(4，a)是该一次函数图象上的两点，则a＝ ．
y＝x－
3
①　　 ② ③　　 ④
(2)若kb＜0，且k－b＞0，则一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象大致是 ．(填序号)
①
(3)若该一次函数的图象与一次函数y＝2x＋1的图象平行，且经过点(0，－1)，则下列关于一次函数y＝kx＋b(k≠0)的说法正确的是 ．(填序号)
①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与两坐标轴围成的三角形的面积是1
②若点A(1，y1)，B(－2，y2)都在一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象上，则y1＞y2
③不等式kx＋b＜0的解集是x＜－1
(4)若该一次函数的图象是由一次函数y＝3x的图象向左平移3个单位长度得到的，则它的表达式是 ．
y＝3x＋9
②
(5)当k＝－2时，该一次函数的图象与一次函数y＝x＋1的图象的交点在第二象限，则b的取值范围是 ．
【变式1－2】若该一次函数的图象经过点(m，0)(m＞1)，且与一次函数y＝2x的图象交于点(1，2)，则不等式kx＋b＜2x的解集为 ．
x＞1
－2＜b＜1
(6)当k＝，b＝2时，如图，该一次函数的图象与y轴交于点A，且经过点B(8，m)，P为x轴上一动点．当△ABP为直角三角形时，点P的坐标为
_________________________．　
或(14，0)或(4，0)
重难点2
例2
一次函数的应用
(传统文化)茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展．某茶具店老板购进了A，B两种不同的茶具．已知购进A种茶具1套和B种茶具2套需要250元；购进A种茶具3套和B种茶具4套需要600元．
(1)A，B两种茶具每套的进价分别为多少元
【解答】设A种茶具每套的进价为a元，B种茶具每套的进价为b元．
根据题意，得解得
答：A种茶具每套的进价为100元，B种茶具每套的进价为75元．
(2)老板计划购进茶具共70套，且购进A种茶具的数量不少于B种茶具数量的2倍，请求出购进两种茶具总费用的最小值．
【解答】设购进A种茶具m套，则购进B种茶具(70－m)套．
根据题意，得m≥2(70－m)，解得m≥46．
设购进两种茶具的总费用为w元．
根据题意，得w＝100m＋75(70－m)＝25m＋5 250．
∵25＞0，∴w随m的增大而增大．又∵m≥46，且m为正整数，
∴当m＝47时，w取得最小值，w最小＝25×47＋5 250＝6 425．
答：购进两种茶具总费用的最小值为6 425元．
【变式】由于茶具畅销，老板决定再次购进A，B两种茶具共80套，茶具工厂对两种茶具进行了价格调整，A种茶具每套的进价比第一次购进时提高了8%，B种茶具每套的进价为第一次购进时进价的八折．如果茶具店老板此次用于购进A，B两种茶具的总费用不超过6 240元，那么如何进货可使再次购进的茶具全部售出后获得的利润最大，最大利润是多少 (已知销售1套A种茶具可获利30元，销售1套B种茶具可获利20元)
【解答】根据题意，得再次购进A，B两种茶具时，A种茶具每套的进价为100×
(1＋8%)＝108(元)，B种茶具每套的进价为75×0.8＝60(元)．
设购进A种茶具x套，则购进B种茶具(80－x)套．
根据题意，得108x＋60(80－x)≤6 240，解得x≤30．
设再次购进的茶具全部售出后获得的利润为W元，则W＝30x＋20(80－x)＝10x＋1 600．
∵10＞0，∴W随x的增大而增大．又∵x≤30，
∴当x＝30时，W的值最大，W最大＝10×30＋1 600＝1 900，此时购进B种茶具80－30＝50(套)．
答：购进A种茶具30套，B种茶具50套，可使再次购进的茶具全部售出后获得的利润最大，最大利润是1 900元．
A．k＞0 B．kb＜0
C．k＋b＞0 D．k＝－b
1．如图所示是两位同学关于某个一次函数y＝kx＋b(k≠0)的对话，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是( )
随堂训练
C
2．已知(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)为直线y＝－2x＋3上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下说法正确的是( )
A．若x1x2＞0，则y1y3＞0
B．若x1x3＜0，则y1y2＞0
C．若x2x3＞0，则y1y3＞0
D．若x2x3＜0，则y1y2＞0
D
3．(2025·台州椒江区模拟)如图，正比例函数y＝－x的图象与一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象相交于点P，则关于x的方程－x＝kx＋b的解是
．
x＝－1
4．直线l1：y＝x－1与x轴交于点A，将直线l1绕点A逆时针旋转15°，得到直线l2，则直线l2对应的函数表达式是________________．
y＝x－(共17张PPT)
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第三章　函　数
第11讲 二次函数的图象与性质(一)
2021[文件：中教联标彩.]
目
录
中考知识归纳
重点难点突破
一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，对称轴为直线x＝① ，
顶点坐标为② ，最大 (或小)值为k
交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中③ 是抛物
线与x轴两个交点的横坐标
x1，x2
(h，k)
表达式的
三种形式
h
二次
函数
的图
象与
性质
(一)
中考知识归纳
二次
函数
的图
象与
性质
(一)
图象与
性质　
表达式 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
大致 图象 a>0
a<0
顶点 坐标
对称轴 直线x＝－
增减性 a>0 a<0
当x<－时，y随x的增大而④ ；当x>－时，y随x的增大而⑤ . 当x<－时，y随x的增大而⑥ ；当x>－时，y随x的增大而⑦ .
最值 a>0 a<0
当x＝－时，y有最小值，y最小＝ 当x＝－时，y有最大值，
y最大＝
增大
减小
二次
函数
的图
象与
性质
(一)
图象与
性质　
增大
减小
表达式 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
a 决定抛物线的开口方向和大小 a>0，抛物线的开口向上；
a<0，抛物线的开口⑧ ；
|a|越大，抛物线的开口越小；
|a|越小，抛物线的开口⑨ .
a，b 决定抛物线对称轴的位置（对称轴为直线x＝－) b＝0，对称轴为y轴；
ab>0，对称轴在y轴⑩ ；
ab<0，对称轴在y轴 .
c 决定抛物线与y轴交点的位置 c＝0，抛物线过 ；
c>0，抛物线与y轴正半轴相交；
c<0，抛物线与y轴 相交
负半轴
左侧
越大
向下
二次
函数
的图
象与
性质
(一)
图象
与系数a，b，c
的关系　
右侧
原点
表达式 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
常见特殊关系 当x＝1时，y＝a＋b＋c；
当x＝－1时，y＝ ；
若a＋b＋c>0，则当x＝1时，y 0；
若a－b＋c<0，则当x＝－1时，y 0
<
>
a－b＋c
二次
函数
的图
象与
性质
(一)
图象与系数a，b，c的关系　
【易错点】求二次函数最值时忽略自变量的取值范围.
【例】已知二次函数y＝3x2－12x＋13(x≥4)，则函数值y的最小值为______.
13
1．将二次函数y＝－x2＋2x＋3化成 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，则所得表达式为( )
A．y＝(x＋1)2－4
B．y＝－(x－1)2＋4
C．y＝－(x＋1)2＋2
D．y＝－(x－1)2＋2
基础小测
B
2．二次函数y＝x2－2x－3的图象与 y轴的交点坐标是( )
A．(0，1) B．(1，0)
C．(－3，0) D．(0，－3)
D
3．(2025·嘉兴南湖附属学校模拟)二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象的对称轴是( )
A．直线x＝1
B．直线x＝－1
C．直线x＝
D．直线x＝
A
A　　　 B C　　　 D
4．(2025·杭州拱墅区模拟)在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx与一次函数y＝bx－a的图象可能是( )
C
5．(2025·杭州西湖区模拟)关于二次函数y＝(x－1)2＋5，下列说法正确的是( )
A．函数图象的开口向下
B．函数的最小值为1
C．函数图象的对称轴为直线x＝1
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
C
6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论错误的是( )

A．abc＞0 B．a＋b＋c＜0
C．b＝2a D．a＋b＞0
D
重难点
已知二次函数y＝－x2－6x－3．
(1)二次函数图象的开口方向向 ，化为顶点式为 ，二次函数图象的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，二次函数有最 值，为 ；
(2)该二次函数图象与y轴的交点坐标为 ，与x轴的交点坐标为
_____________________________；
(0，－3)
6
大
(－3，6)
x＝－3
y＝－(x＋3)2＋6
二次函数的图象与性质　
下
例
重点难点突破
(－3＋，0)，(－3－，0)
(3)若点(－4，y1)和(1，y2)在该函数图象上，则y1 y2；(填“＞”“＜”或“＝”)
(4)当－4≤x≤0时，该二次函数的最大值是 ，最小值是 ；
－3
6
＞
(5)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
【解答】①若－3＜m≤0，
则当x＝0时，y有最小值，最小值为－3．
当x＝m时，y有最大值，最大值为－m2－6m－3．
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴－m2－6m－3＋(－3)＝2，
解得m＝－2或m＝－4(舍去)．
②若m≤－3，
则当x＝－3时，y有最大值，最大值为6．
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴2－6＝－4，即y的最小值为－4．
当x＝0时，y＝－3，
∴在x＝m处取得最小值－4，
∴－m2－6m－3＝－4，
解得m＝－3－或m＝－3＋(舍去)．
综上所述，m的值为－2或－3－．

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