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第一部分　教材同步复习
第一章　数与式
第1讲　实数及其运算
2021[文件：中教联标彩.]
目
录
中考知识归纳
重点难点突破
中考知识归纳
实
数
及
其
运
算
无限不循环
1.三要素：原点、正方向和单位长度(如图)；
2.性质：③ 与数轴上的点是一一对应的
数轴
实数
实
数
及
其
运
算
相 反 数 1.定义：如果两个数只有④ 不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.非零实数a的相反数为⑤ ；0的相反数是0；
2.性质：实数a，b互为相反数 a＋b＝⑥ ，|a|＝|b|；
3.几何意义(2022版课标新增)：在数轴上，表示互为相反数(0除外)的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离⑦ _
绝 对 值 1.定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离，叫作这个数的绝对值.
2.性质：(1)离原点越远的点表示的数的绝对值越大；
(2)绝对值具有非负性，即|a|＝
倒 数 1.非零实数a的倒数为⑨ ；0没有倒数；
2.实数a，b互为倒数 ab＝⑩ ；
3.倒数等于它本身的数是1和－1
1
相等
0
－a
符号
实
数
及
其
运
算
相反数、绝对值、倒数
实
数
及
其
运
算
名称 a(a≥0) a(a<0) 特殊情况
平方根 ± 无 0的平方根是 _
算术 平方根 无 0的算术平方根是 ；
算术平方根等于它本身的数是 _
立方根 0的立方根是 ；
立方根等于它本身的数是
_
0，1，－1
0
0，1
0
0
实
数
及
其
运
算
平方根、
算术平
方根、
立方根
实
数
及
其
运
算
实数的大小比较
大
大
小
1.0次幂：a0＝1(a≠0)，如π0＝1，(1－)0＝1，(3.14－π)0＝ (口诀：见到0次幂，就写1)；
2.负整数指数幂：规定a－p＝(a≠0，p是正整数)，特别地，a－1＝
(a≠0)(口诀：倒底数，反指数)；
3.－1的奇偶次幂：(－1)n＝(口诀：遇偶为1，遇奇为－1)；
4．去绝对值符号：
5．特殊角的三角函数值—【链接】P81【中考知识归纳】
常见
运算
类型
及法则
1
实
数
及
其
运
算
规范答题 解：原式＝① －② ＋③ ····(6分) ＝④ .····················(8分) 评分标准
→负整数指数幂，立方根，去绝对值符号，三项计算正确，得6分.
→正确计算出结果，得2分.
7
5
2
实
数
及
其
运
算
4
运算顺序
【答题模板】
【例】(2024·浙江17题8分)计算：＋|－5|.
1．在实数6，，－2，0中，无理数是 ，正整数是 ，负整数是
，既不是正数也不是负数的是 ．
2．如果某仓库运进面粉7.5 t记作＋7.5 t，那么运出面粉3.8 t应记作
．
3．－的相反数为 ，绝对值为 ，倒数为 ．
－3.8 t
0
－2
基础小测
6
－
2＋
4．用科学记数法表示下列各数．
(1)618 000 000＝ ；
(2)960万＝ ；
(3)0.000 000 028＝ ．
5．在实数0，1，－，－2中，最小的数是 ．
6．计算：＋|1－|＝ ．
－2
2.8×10－8
9.6×106
6.18×108
(2025·浙江1题3分)的相反数是( )
A．－ B． C．－ D．
例1
A
重点难点突破
重难点1
实数的相关概念
【变式1－1】(2025·陕西)－8的绝对值是( )
A．8 B．－8 C． D．－
【变式1－2】－的倒数是( )
A．－ B．－5 C． D．5
B
A
(2024·浙江1题3分)以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是( )
例2
C
重难点2
实数的大小比较
北京 济南 太原 郑州
0 ℃ －1 ℃ －2 ℃ 3 ℃
A．北京 B．济南 C．太原 D．郑州
【变式2－1】(2023·湖州1题3分)下列各数中，最小的数是( )
A．－2 B．－1 C．1 D．0
【变式2－2】(2023·嘉兴、舟山6题3分)下面四个数中，比1小的正无理
数是( )
A． B．－ C． D．
A
A
(2025·浙江3题3分)国家税务总局发布的数据显示，2024年，现行支持科技创新和制造业发展的主要政策减税降费及退税达26 293亿元，助力我国新质生产力加速培育、制造业高质量发展．
将数2 629 300 000 000用科学记数法表示为( )
A．26.293×1011 B．2.629 3×1012
C．0.262 93×1013 D．2.629 3×1013
例3
B
重难点3
科学记数法
【变式3－1】某芯片采用了最新的 0.000 000 007 米的工艺制程，数据 0.000 000 007 用科学记数法表示为( )
A．7×10－9 B．7×10－8
C．0.7×10－9 D．0.7×10－8
【变式3－2】(2024·浙江3题3分)2024年浙江经济一季度GDP为
201 370 000万元，其中201 370 000用科学记数法表示为( )
A．20.137×109 B．0.201 37×108
C．2.013 7×109 D．2.013 7×108
D
A
重难点4
(2025·浙江11题3分)|－5|＋＝ ．
实数的运算
2
例4
【变式4－1】(2023·台州17题8分)计算：22＋|－3|－．
【解答】原式＝4＋3－5
＝2．
【变式4－2】(2023·丽水17题6分)计算：＋(－2 023)0＋2－1．
【解答】原式＝＋1＋
＝2．
A．a＋b＞0 B．a＞b
C．ab＞0 D．＜0
1．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是( )
随堂训练
D
2．－8的立方根是 ．
3．计算：(－2)2＋32＝ ．
13
－2(共17张PPT)
第一部分　教材同步复习
第一章　数与式
第3讲　分式与二次根式
2021[文件：中教联标彩.]
目
录
中考知识归纳
重点难点突破
定义:两个整式相除,且除式中含有① ,像这样的代数式
就叫作分式
分式有意义的条件:分式中字母的取值不能使分母为零
分式的值为零的条件
基本性质:分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零
的整式,分式的值不变.即＝(M≠0)通分，＝
(M≠0)约分,其中A,B,M都是整式
分式的相关概念及性质
字母
分
式
与
二
次
根
式
中考知识归纳
分式
最简分式:分子、分母没有③ 的分式
通分:把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式,叫作
通分.通分时，一般取各分母的系数的④ 与各
分母所有字母的最高次幂的积为公分母
约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫作分式
的约分
最小公倍数
公因式
分式的相关概念及性质
分
式
与
二
次
根
式
中考知识归纳
分式
分
式
与
二
次
根
式
分式
分式的运算
运算法则
加减法
同分母分式相加减:±=⑤ ；
异分母分式相加减:±=±=⑥ _
(通分是关键)
乘法:·= (约分是关键)
除法:÷=·＝
分式化简求值的一般步骤
1.分式的分子、分母能因式分解的进行因式分解;
2.有括号先计算括号内的;
3.进行乘除运算(除法可变为乘法);
4.约分;
5.进行加减法运算时,如果是异分母的要先通分,变为同分
母分式,再进行加减运算,最终化成最简分式(或整式);
6.代入数值求代数式的值(所代值要使原分式及化简过程
中的各分式都有意义)
分
式
与
二
次
根
式
大于或等于0
分母
分
式
与
二
次
根
式
二
次
根
式
分
式
与
二
次
根
式
二
次
根
式
分
式
与
二
次
根
式
二
次
根
式
估值
确定二次根式的值在哪两个相邻的整数之间的步骤: (1)对二次根式平方; (2)找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数; (3)对以上两个整数开方; (4)确定二次根式的值在开方后所得的两个相邻整数之间 示例:确定在哪两个相邻的整数之间，
()2=11
↓
9<11<16
↓
<<
↓
3<<4
1．给出下列各式：①，②，③(a＋b)，④－3x2，⑤，其中是分式的有 ．(填序号)
2．若分式有意义，则x的取值范围为 ；若分式的值为0，则 x＝ ．
3．要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
x≥－3
－1
x≠1
基础小测
②⑤
4．(人教八下P19第3题改编)计算：
(1)(－)2＝ ；
(2)2÷4＝ ；
(3)＝ ；
(4)＝ ．
5．已知a表示的整数部分，则a＝ ．
6．化简： ．
－
2
3
1
6
重难点1
例1
重点难点突破
分式的化简及求值
[2023·衢州17(2)题3分]化简：＋2．
【解答】原式＝＋2
＝a－2＋2
＝a．
【变式1－1】[2023·温州17(2)题5分]计算：．
【解答】原式＝
＝
＝a－1．
【变式1－2】先化简，再求值：，其中a＝＋3．
【解答】原式＝
＝
＝．
当a＝＋3时，原式＝．
(2023·杭州11题4分)计算：＝ ．
【变式2－1】下列式子，计算结果是3的是( )
A．4－ B．3＋3
C． D．
【变式2－2】计算： ．
D
重难点2
二次根式的运算
－
例2
若整数m满足m＜＜m＋1，则m的值是 ．
【变式3－1】(2025·衢州三模)估计的值在( )
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
【变式3－2】(2025·杭州上城区校级一模)与式子的值最接近的整数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
C
C
例3
2
重难点3
二次根式的估值
1．若式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
2．若分式的值为0，则x的值为 ．
3．计算：＝ ．
2a＋12
－2
随堂训练
x＞5(共21张PPT)
第一部分　教材同步复习
第一章　数与式
第2讲　整式及因式分解
2021[文件：中教联标彩.]
目
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中考知识归纳
重点难点突破
常见的非负数：a2，|a|，(a≥0)
性质：1.若n个非负数的和为0，则这n个非负数的值均为④ ；
2.非负数之和仍然是非负数
代数式
求值
0
整
式
及
因
式
分
解
直接 代入法 把已知字母的值直接代入计算 若x＝1，则代数式4－3x＝① _
整体 代入法 利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式对所求代数式与已知等式进行恒等变形，使所求代数式变形成含有已知整式或部分项的形式，再整体代入计算 1.若x2－2x＝－1，则代数式x2－2x＋3＝
② ；
2.若x＋2y＝1，则代数式x2＋4xy＋4y2＝③ _
1
1
2
中考知识归纳
非负数
单项式 定义 由数与字母或字母与字母⑤ 组成的代数式.单独一个数或一个字母也叫单项式
系数 单项式中的⑥ _

次数 一个单项式中，所有字母的⑦ 的和
多项式 定义 由几个单项式相加组成的代数式
项 在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项
次数 多项式中次数最高的项的次数就是这个多项式的次数.如2xy3＋x2y的次数是4
整式 单项式和多项式统称为整式
同类项 多项式中，所含字母相同，并且相同字母的⑧ 也相同的项，叫作同类项.所有常数项也看作同类项 强调：同类项，字母要相同，相同字母的指数要一样
指数
数字因数
相乘
指数
整
式
及
因
式
分
解
整式的相关概念
合并同类项法则：把同类项的⑨ 相加，所得
结果作为系数，字母和字母的指数⑩ _
整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括
号就先去括号，然后再合并同类项
去括号法则：括号前是“＋”号，去括号时，括号里
各项都不变号；括号前是“－”号，去括号时，括
号里各项都改变符号(口诀：“－”变，“＋”不变)
不变
加减运算
(实质是
合并同
类项)
系数
整式的运算
整
式
及
因
式
分
解
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝ ；
完全平方公式：(a±b)2＝ _
a2±2ab＋b2
乘法公式
a2－b2
整
式
及
因
式
分
解
整式的运算
乘除
运算
单项式乘单项式：ac·bc＝ _
单项式乘多项式：a(b＋c)＝ _
多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝a(c＋d)＋b(c＋d)＝
_
ac＋ad＋bc＋bd
ab＋ac
abc2
单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，
作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，
则连同它的指数作为商的一个因式
多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除
以这个单项式，再把所得的商相加.如(am＋
bm)÷m＝ _
除法运算
a＋b
乘除
运算
整式的运算
整
式
及
因
式
分
解
规范答题 解：原式＝① ＋② . . ··························(2分) ＝③ .···········(4分) 当x＝时，原式＝④ ＝⑤ .. ····························(6分) 评分标准
→利用平方差公式、单项式乘多项式的运算法则计算正确，得2分.
→合并同类项正确，得2分.
→代值并计算正确，得2分.
整
式
及
因
式
分
解
整式的运算
【答题模板】
【例】(2023·金华18题6分)已知x＝，求(2x＋1)(2x－1)＋x(3－4x)的值.
4x2－1
3x－4x2
3x－1
3×－1
0
同底数幂相乘 am·an＝ (a≠0，m，n都是正整数)
同底数幂相除 am÷an＝am-n(a≠0，m，n都是正整数，且m>n)
幂的乘方 (am)n＝ (a≠0，m，n都是正整数)
积的乘方 (ab)n＝anbn(n为正整数)
amn
am＋n
整
式
及
因
式
分
解
整式的运算
幂的
运算
基本 方法 提公因式法 pa＋pb＋pc＝ _
公式法 1.a2－b2 ；
2.a2±2ab＋b2 _
一般 步骤
(a±b)2
(a＋b)(a－b)
p(a＋b＋c)
整
式
及
因
式
分
解
因式
分解
整
式
及
因
式
分
解
规律
探索
解规律探索题的一般思路：观察→分析→归纳→猜想→验证
1．小明同学买了m支铅笔，每支0.4元，n本练习本，每本2元，那么他买铅笔和练习本一共花了 元．
2．单项式－7πx2y3的系数是 ，次数是 ；多项式3a2－2a－7a3＋4是 次 项式，最高次项是 ，常数项是 ．
3．计算：(1)2a·3a2＝ ；
(2)8a4÷2a＝ ；
(3)(ab)3＝ ；
(4)(2a3)3＝ ．
8a9
a3b3
4a3
6a3
4
－7a3
四
三
5
－7π
基础小测
(0.4m＋2n)
4．已知＋|b－4|＝0，则a＋b的值为 ．
5．分解因式：x2－4x＋4＝ ．
6．若x－3y＝－4，则3x－9y＋10的值为 ．
7．计算：(2a＋1)2－(2a＋1)(－1＋2a)＝ ．
4a＋2
－2
(x－2)2
1
类型1　整式的简单运算
　　　 (2024·浙江4题3分)下列式子运算正确的是( )
A．x3＋x2＝x5 B．x3·x2＝x6
C．(x3)2＝x9 D．x6÷x2＝x4
D
例1
重点难点突破
重难点1
整式的运算及化简求值
【变式1－1】(2023·丽水2题3分)计算a2＋2a2的正确结果是( )
A．2a2 B．2a4 C．3a2 D．3a4
【变式1－2】(2023·台州4题4分)下列运算正确的是( )
A．2(a－1)＝2a－2
B．(a＋b)2＝a2＋b2
C．3a＋2a＝5a2
D．(ab)2＝ab2
A
C
例2
类型2　整式的化简及求值
[2023·宁波17(2)题4分]计算：(a＋3)(a－3)＋a(1－a)．
【解答】原式＝a2－9＋a－a2
＝a－9．
【变式2－1】(2025·浙江17题8分) 化简求值：x(5－x)＋x2＋3，其中x＝2．
【解答】原式＝5x－x2＋x2＋3
＝5x＋3．
当x＝2时，原式＝5×2＋3＝13．
【变式2－2】[2023·嘉兴、舟山17(2)题3分]已知a2＋3ab＝5，求(a＋b)(a＋2b)－2b2的值．
【解答】∵a2＋3ab＝5，
∴(a＋b)(a＋2b)－2b2＝a2＋2ab＋ab＋2b2－2b2＝a2＋3ab＝5．
(2024·浙江11题3分)因式分解：a2－7a＝ ．
【变式3－1】(2023·杭州3题3分)分解因式：4a2－1＝( )
A．(2a－1)(2a＋1)
B．(a－2)(a＋2)
C．(a－4)(a＋1)
D．(4a－1)(a＋1)
A
例3
a(a－7)
重难点2
因式分解
【变式3－2】(开放性试题)(2023·嘉兴、舟山12题4分)一个多项式，把它因式分解后有一个因式为(x＋1)，请你写出一个符合条件的多项式：
．
x2－1(答案不唯一)
1．已知mx＝2，my＝5，则m2x＋y的值为 ．
2．化简：(2x－1)2－(2x＋1)(2x－1)＋(x＋1)(3－x)＝ ．
－x2－2x＋5
随堂训练
20

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