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北师大版数学七年级下册第五单元图形的轴对称单元检测基础卷
一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2026八上·临平期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026八上·余杭期末）汉字是博大精深的文化传承，也是美轮美奂的象形文字.作为中国人，我们感到无比自豪和光荣.下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A．我 B．爱 C．中 D．国
3．（2025八上·平武期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（　　）
A．是等腰三角形
B．垂直平分
C．与面积相等
D．直线的交点不一定在上
4．（2025八上·诸暨月考）如图，在中，，，的面积为，平分，点，分别为，上动点，连结，，则的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．（2026八上·红花岗期末）如图，在中，，平分，，则点到的距离是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024七下·榕城期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
7．等腰三角形的腰长为10 cm，底边长为12 cm，则面积为(　　)
A．48 cm2 B．60 cm2 C．80 cm2 D．100 cm2
8．（2025八上·杭州期中）用尺规作已知∠ABC的角平分线，步骤如下：①以B为圆心，以m为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；②分别以 D，E为圆心，以n为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；③画射线BP．射线BP即为所求．对m，n的描述，正确的是（　　）
A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜m
C．m＞0，n＞DE D．m＞0，n＜DE
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）
9．（2026八上·宁波期末）如图，在等腰中，，若，则的度数为　 　．
10．（2026八上·海珠期末） 如图， 在△ABC中， DE是AC的垂直平分线， AE=4cm， △ABD的周长为23cm， 则△ABC 的周长为　 　cm.
11．（2026八上·海珠期末） 如图， 在△ABC中， ∠C=90°， 以A为圆心， 任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于 MN 长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E. 若AB=12， △AEB的面积为24， 则CE=　 　.
12．（2026八上·九台期末）图，是的角平分线，于点E，于点F，若，，则的面积为　 　．
13．（2025八上·渌口期末）如图，，，的垂直平分线交于点D，那么的度数为　 　．
三、解答题（共7题；共61分)
14．（2024八上·庄河期末）如下图，在平面直角坐标系中，中三个顶点坐标分别为，，，的顶点A，B，C都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形，试完成下列问题：
（1）请直接写出的面积；
（2）与成轴对称，请在图1中画出与的对称轴；
（3）在图2中画两个格点三角形与全等，且有一条公共边请在格点中完成
15．（2025八上·隆回期末）如图，在中，，．
（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现射线是的_________；直线是线段的__________．
（2）在（1）所作的图中，求的度数．
16．（2025八上·龙湾月考）如图，在中，是边上的一点，且．
（1）求证：；
（2）求的大小．
17．（2025八上·东莞期中）如图，点D在AC上，AB=BD=DC，∠C=40°，求∠ABD的度数.
18．（2025八上·义乌月考）已知△ABC是等腰三角形，AB＝BC，BD平分∠ABC，若AC＝6，求AD的长．
19．（2025八上·长沙期末）人教版教材八年级数学上册给出了作一个角的角平分线的方法，内容如下：
已知：．
求作的平分线．
作法：（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．
（2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．
（3）画射线，射线即为所求．
根据以上作图过程，我们来证明射线是的平分线．
证明：根据已知条件和作图过程可知，在和中，
，（推理依据：②）
，（推理依据：③）
射线即为的平分线．
由以上的作图和证明过程，回答下列问题：
问题一：证明过程中的①处应填_____；
问题二：证明过程中的②处应选（　　）；
．．．．
问题三：证明过程中的③处应填_____．
20．（2025八上·诸暨月考） 如图，中，垂直平分，交于点，交于点，且，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若的周长为10cm，AC=6cm，求的周长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C中图形都是轴对称图形，选项D中图形不是轴对称图形.
故答案为：D．
【分析】一个平面图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐项判断即可．
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】 解：观察各选项，发现“中”为轴对称图形，而“我”“爱”“国”不是轴对称图形.
故答案：C.
【分析】根据轴对称图形的性质：沿某直线折叠可完全重合，依次判断即可得结果.
3．【答案】D
【知识点】轴对称的性质；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵与关于直线对称，P为上任一点，
∴垂直平分，与面积相等，直线的交点一定在上，，
∴是等腰三角形，故A、B、C三个选项都正确，不符合题意，只有D选项错误，不符合题意.
故答案为：D．
【分析】平面内，把一个图形沿一条直线折叠后能与另一个图形重合，则称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴；成轴对称的两个图形全等，对应线段所在直线的交点一定在对称轴上，据此可判断C、D选项；由轴对称的性质可知，对称轴垂直平分对应点的连线，据此可判断B选项；由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得PA=PA'，进而根据等腰三角形定义可判断A选项.
4．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作F关于的对称点为M，作边上的高，
∵平分，
∴M必在上，
∵F关于的对称点为M，
∴，
∴，即 (垂线段最短)，
∵的面积为，，
∴，
∴，即的最小值为5．
故答案为：B.
【分析】作F关于AD的对称点为M，作AB边上的高CP，结合角平分线可得点M一定在AC上，由轴对称的性质得ME=EF，由等量代换、线段和差及垂线段最短可推出EF+EC=CE+EM=CM≥CP，进而根据三角形面积公式结合△ABC的面积为20建立方程求出PC即可得出CE+EF的最小值．
5．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如下图所示，过点作，
平分，，
，
点到的距离是.
故选：C．
【分析】过点作，根据角平分线性质即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵AC的垂直平分线交AB于点D，
∴DA=DC，
∵∠A=50°，
∴∠DCA=50°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCA=100°，
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=30°.
故答案为：B.
【分析】本题先运用垂直平分线性质求得∠DCA，再运用角平分线性质求得∠ACB，最后根据三角形内角和180°求得∠B.
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，
AD=AE=10cm，DE=12cm，
过A作AC⊥DE，
∴DC=CE==6cm，
∴由勾股定理知：AC2=AD2-CD2=102-62=64，
∴AC=8cm，
∴S==cm.
故选：A.
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的DC=，再根据勾股定理得出AC的长，最后根据三角形面积“底×高÷2”作答即可.
8．【答案】C
【知识点】尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由角平分线的作法，以任意长度为半径画弧，故m>0；以D、E为圆心， 以n＞DE的长度作弧.
故答案：C.
【分析】由角平分线的作法规范，m>0且 n＞DE .
9．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∴．
故答案为：.
【分析】根据等边对等角及三角形的内角和定理可得，从而代值计算即可.
10．【答案】31
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，AE=EC=4
∵ △ABD的周长为23cm，
∴AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=23，
∴ △ABC 的周长为 ：AB+BC+AC=AB+BC+AE+EC=23+4+4=31(cm）。
故答案为：31.
【分析】首先根据线段垂直平分线的性质可得出DA=DC，AE=EC=4，进而根据△ABD的周长为23cm，可得出AB+BC=23，再根据三角形周长定义即可得出答案。
11．【答案】4
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥AB于点F，
由尺规作图可知：AE平分∠CAB，
∵∠C=90°，
∴EC=EF，
∵ △AEB的面积为24，
∴，
∴EF=4，
∴EC=4.
故答案为：4.
【分析】由尺规作图可知AE平分∠CAB，进而得出EC=EF，再根据三角形的面积计算公式可得出EF=4，即可得出EC=4.
12．【答案】21
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵平分，，，，
∴，
∵．
故答案为：21．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=DF=3，然后根据三角形面积公式，由S△ABC=S△ABD+S△ACD，列式计算即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠BAC=100°，
∴∠B=（180°-∠BAC）÷2=40°，
∵的垂直平分线交于点D，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B=40°，
故答案为：40°.
【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B，再根据垂直平分线的性质可得AD=BD，进而即可得出答案.
14．【答案】（1）
（2）解：如图1，直线l即为所求．
（3）解：如图2，和即为所求．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；作图-作给定图形的对称轴
【解析】【解答】解：（1）的面积为．
【分析】（1）根据三角形面积即可求出答案.
（2）根据对称性质即可求出答案.
（3）根据全等三角形定义即可求出答案.
（1）的面积为．
（2）如图1，直线l即为所求．
（3）如图2，和即为所求．
15．【答案】（1）角平分线，垂直平分线
（2）解：∵，，
∴，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵射线是的角平分线，
∴，
∴.
【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）根据作图痕迹可知：射线是的角平分线，直线是线段的垂直平分线，
故答案为：角平分线，垂直平分线.
【分析】（1）根据角平分线以及线段垂直平分线的尺规作图方法即可求解；
（2）先利用三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形”等边对等角“性质得到，求出，然后根据角平分线的定义可得，最后利用三角形外角的性质即可求出的度数.
（1）解：由作图方法可知射线是的角平分线；直线是线段的垂直平分线，
故答案为：角平分线；垂直平分线；
（2）解：∵在中，，．
∴，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵射线是的角平分线，
∴．
∴
16．【答案】（1）证明：∵，
∴是等腰三角形，
∵，即，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先由得是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论；
（2）先由已知得，则，再根据计算即可．
17．【答案】解：∵ BD=DC，∠C=40°，
∴∠DBC=∠C=40°
∴∠ADB=80°
∵ AB=BD
∴∠A=∠ADB=80°，
∴ ∠ABD =20°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】
根据等边对等角得到∠DBC=∠C=40°，再由三角形外角得性质得到∠ADB=80°，再由等边对等角得到∠A=∠ADB=80°，再根据三角形得内角和定理计算可得 ∠ABD的度数，解答即可.
18．【答案】解： BD平分
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】由等腰三角形的“三线合一”推出 解答即可.
19．【答案】问题一：；问题二：；问题三：全等三角形的对应角相等．
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：证明：根据已知条件和作图过程可知，在和中，
，（推理依据：）
，（推理依据：全等三角形的对应角相等）
射线即为的平分线．
问题一：根据作法（1）步骤，可得半径OM=ON.
根据作法（2）步骤，可得半径CM=CN.
要证明，还需要条件一组公共边OC=OC。
故填：OC。
问题二：证明，是根据“三边分别相等的两个三角形全等”判定定理判定的，可以简写成“边边边”或“SSS”.
故选：A.
问题三：由可得∠MOC和∠NOC是一组对应角，且，是根据全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等”得到的.
故填：全等三角形的对应角相等.
【分析】本题考查的是作已知角的角平分线的方法，全等三角形的判定与性质，掌握“全等三角形的判定方法”是解本题的关键．首先，分析题目给出的证明结构，确定每个空缺处对应的知识点。问题一涉及全等三角形的公共边，问题二需要选择全等三角形的判定方法，问题三则需依据全等三角形的性质
20．【答案】（1）解：∵
∴AD垂直平分BE
∴AB=AE
∴∠ABE=∠AEB
∵∠BAE=40°
∴
∵ EF垂直平分
∴EA=EC
∴∠EAC=∠C
∵∠AEB=∠EAC+∠C
∴
（2）解：由（1）可知AE=EC
∵的周长为10cm
∴AB+BE+AE=10cm
∴AB+BE+EC=10cm
即AB+BC=10cm
∵ AC=6cm
∴AB+BC+AC=16cm
即的周长为16cm。
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)易证AD垂直平分BE，可知AB=AE，等边对等角得∠ABE=∠AEB=70°，再次利用线段垂直平分线的性质可证∠EAC=∠C，最后利用三角形外角性质求出∠C=35°；
(2)利用(1)中AE=EC将△ABE的周长转化为AB+BC=10cm，再加上AC的长度就可以求出的周长 。
1 / 1北师大版数学七年级下册第五单元图形的轴对称单元检测基础卷
一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2026八上·临平期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C中图形都是轴对称图形，选项D中图形不是轴对称图形.
故答案为：D．
【分析】一个平面图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐项判断即可．
2．（2026八上·余杭期末）汉字是博大精深的文化传承，也是美轮美奂的象形文字.作为中国人，我们感到无比自豪和光荣.下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A．我 B．爱 C．中 D．国
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】 解：观察各选项，发现“中”为轴对称图形，而“我”“爱”“国”不是轴对称图形.
故答案：C.
【分析】根据轴对称图形的性质：沿某直线折叠可完全重合，依次判断即可得结果.
3．（2025八上·平武期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（　　）
A．是等腰三角形
B．垂直平分
C．与面积相等
D．直线的交点不一定在上
【答案】D
【知识点】轴对称的性质；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵与关于直线对称，P为上任一点，
∴垂直平分，与面积相等，直线的交点一定在上，，
∴是等腰三角形，故A、B、C三个选项都正确，不符合题意，只有D选项错误，不符合题意.
故答案为：D．
【分析】平面内，把一个图形沿一条直线折叠后能与另一个图形重合，则称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴；成轴对称的两个图形全等，对应线段所在直线的交点一定在对称轴上，据此可判断C、D选项；由轴对称的性质可知，对称轴垂直平分对应点的连线，据此可判断B选项；由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得PA=PA'，进而根据等腰三角形定义可判断A选项.
4．（2025八上·诸暨月考）如图，在中，，，的面积为，平分，点，分别为，上动点，连结，，则的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作F关于的对称点为M，作边上的高，
∵平分，
∴M必在上，
∵F关于的对称点为M，
∴，
∴，即 (垂线段最短)，
∵的面积为，，
∴，
∴，即的最小值为5．
故答案为：B.
【分析】作F关于AD的对称点为M，作AB边上的高CP，结合角平分线可得点M一定在AC上，由轴对称的性质得ME=EF，由等量代换、线段和差及垂线段最短可推出EF+EC=CE+EM=CM≥CP，进而根据三角形面积公式结合△ABC的面积为20建立方程求出PC即可得出CE+EF的最小值．
5．（2026八上·红花岗期末）如图，在中，，平分，，则点到的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如下图所示，过点作，
平分，，
，
点到的距离是.
故选：C．
【分析】过点作，根据角平分线性质即可求出答案.
6．（2024七下·榕城期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵AC的垂直平分线交AB于点D，
∴DA=DC，
∵∠A=50°，
∴∠DCA=50°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCA=100°，
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=30°.
故答案为：B.
【分析】本题先运用垂直平分线性质求得∠DCA，再运用角平分线性质求得∠ACB，最后根据三角形内角和180°求得∠B.
7．等腰三角形的腰长为10 cm，底边长为12 cm，则面积为(　　)
A．48 cm2 B．60 cm2 C．80 cm2 D．100 cm2
【答案】A
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，
AD=AE=10cm，DE=12cm，
过A作AC⊥DE，
∴DC=CE==6cm，
∴由勾股定理知：AC2=AD2-CD2=102-62=64，
∴AC=8cm，
∴S==cm.
故选：A.
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的DC=，再根据勾股定理得出AC的长，最后根据三角形面积“底×高÷2”作答即可.
8．（2025八上·杭州期中）用尺规作已知∠ABC的角平分线，步骤如下：①以B为圆心，以m为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；②分别以 D，E为圆心，以n为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；③画射线BP．射线BP即为所求．对m，n的描述，正确的是（　　）
A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜m
C．m＞0，n＞DE D．m＞0，n＜DE
【答案】C
【知识点】尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由角平分线的作法，以任意长度为半径画弧，故m>0；以D、E为圆心， 以n＞DE的长度作弧.
故答案：C.
【分析】由角平分线的作法规范，m>0且 n＞DE .
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）
9．（2026八上·宁波期末）如图，在等腰中，，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∴．
故答案为：.
【分析】根据等边对等角及三角形的内角和定理可得，从而代值计算即可.
10．（2026八上·海珠期末） 如图， 在△ABC中， DE是AC的垂直平分线， AE=4cm， △ABD的周长为23cm， 则△ABC 的周长为　 　cm.
【答案】31
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，AE=EC=4
∵ △ABD的周长为23cm，
∴AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=23，
∴ △ABC 的周长为 ：AB+BC+AC=AB+BC+AE+EC=23+4+4=31(cm）。
故答案为：31.
【分析】首先根据线段垂直平分线的性质可得出DA=DC，AE=EC=4，进而根据△ABD的周长为23cm，可得出AB+BC=23，再根据三角形周长定义即可得出答案。
11．（2026八上·海珠期末） 如图， 在△ABC中， ∠C=90°， 以A为圆心， 任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于 MN 长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E. 若AB=12， △AEB的面积为24， 则CE=　 　.
【答案】4
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥AB于点F，
由尺规作图可知：AE平分∠CAB，
∵∠C=90°，
∴EC=EF，
∵ △AEB的面积为24，
∴，
∴EF=4，
∴EC=4.
故答案为：4.
【分析】由尺规作图可知AE平分∠CAB，进而得出EC=EF，再根据三角形的面积计算公式可得出EF=4，即可得出EC=4.
12．（2026八上·九台期末）图，是的角平分线，于点E，于点F，若，，则的面积为　 　．
【答案】21
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵平分，，，，
∴，
∵．
故答案为：21．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=DF=3，然后根据三角形面积公式，由S△ABC=S△ABD+S△ACD，列式计算即可得出答案.
13．（2025八上·渌口期末）如图，，，的垂直平分线交于点D，那么的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠BAC=100°，
∴∠B=（180°-∠BAC）÷2=40°，
∵的垂直平分线交于点D，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B=40°，
故答案为：40°.
【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B，再根据垂直平分线的性质可得AD=BD，进而即可得出答案.
三、解答题（共7题；共61分)
14．（2024八上·庄河期末）如下图，在平面直角坐标系中，中三个顶点坐标分别为，，，的顶点A，B，C都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形，试完成下列问题：
（1）请直接写出的面积；
（2）与成轴对称，请在图1中画出与的对称轴；
（3）在图2中画两个格点三角形与全等，且有一条公共边请在格点中完成
【答案】（1）
（2）解：如图1，直线l即为所求．
（3）解：如图2，和即为所求．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；作图-作给定图形的对称轴
【解析】【解答】解：（1）的面积为．
【分析】（1）根据三角形面积即可求出答案.
（2）根据对称性质即可求出答案.
（3）根据全等三角形定义即可求出答案.
（1）的面积为．
（2）如图1，直线l即为所求．
（3）如图2，和即为所求．
15．（2025八上·隆回期末）如图，在中，，．
（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现射线是的_________；直线是线段的__________．
（2）在（1）所作的图中，求的度数．
【答案】（1）角平分线，垂直平分线
（2）解：∵，，
∴，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵射线是的角平分线，
∴，
∴.
【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）根据作图痕迹可知：射线是的角平分线，直线是线段的垂直平分线，
故答案为：角平分线，垂直平分线.
【分析】（1）根据角平分线以及线段垂直平分线的尺规作图方法即可求解；
（2）先利用三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形”等边对等角“性质得到，求出，然后根据角平分线的定义可得，最后利用三角形外角的性质即可求出的度数.
（1）解：由作图方法可知射线是的角平分线；直线是线段的垂直平分线，
故答案为：角平分线；垂直平分线；
（2）解：∵在中，，．
∴，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵射线是的角平分线，
∴．
∴
16．（2025八上·龙湾月考）如图，在中，是边上的一点，且．
（1）求证：；
（2）求的大小．
【答案】（1）证明：∵，
∴是等腰三角形，
∵，即，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先由得是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论；
（2）先由已知得，则，再根据计算即可．
17．（2025八上·东莞期中）如图，点D在AC上，AB=BD=DC，∠C=40°，求∠ABD的度数.
【答案】解：∵ BD=DC，∠C=40°，
∴∠DBC=∠C=40°
∴∠ADB=80°
∵ AB=BD
∴∠A=∠ADB=80°，
∴ ∠ABD =20°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】
根据等边对等角得到∠DBC=∠C=40°，再由三角形外角得性质得到∠ADB=80°，再由等边对等角得到∠A=∠ADB=80°，再根据三角形得内角和定理计算可得 ∠ABD的度数，解答即可.
18．（2025八上·义乌月考）已知△ABC是等腰三角形，AB＝BC，BD平分∠ABC，若AC＝6，求AD的长．
【答案】解： BD平分
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】由等腰三角形的“三线合一”推出 解答即可.
19．（2025八上·长沙期末）人教版教材八年级数学上册给出了作一个角的角平分线的方法，内容如下：
已知：．
求作的平分线．
作法：（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．
（2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．
（3）画射线，射线即为所求．
根据以上作图过程，我们来证明射线是的平分线．
证明：根据已知条件和作图过程可知，在和中，
，（推理依据：②）
，（推理依据：③）
射线即为的平分线．
由以上的作图和证明过程，回答下列问题：
问题一：证明过程中的①处应填_____；
问题二：证明过程中的②处应选（　　）；
．．．．
问题三：证明过程中的③处应填_____．
【答案】问题一：；问题二：；问题三：全等三角形的对应角相等．
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：证明：根据已知条件和作图过程可知，在和中，
，（推理依据：）
，（推理依据：全等三角形的对应角相等）
射线即为的平分线．
问题一：根据作法（1）步骤，可得半径OM=ON.
根据作法（2）步骤，可得半径CM=CN.
要证明，还需要条件一组公共边OC=OC。
故填：OC。
问题二：证明，是根据“三边分别相等的两个三角形全等”判定定理判定的，可以简写成“边边边”或“SSS”.
故选：A.
问题三：由可得∠MOC和∠NOC是一组对应角，且，是根据全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等”得到的.
故填：全等三角形的对应角相等.
【分析】本题考查的是作已知角的角平分线的方法，全等三角形的判定与性质，掌握“全等三角形的判定方法”是解本题的关键．首先，分析题目给出的证明结构，确定每个空缺处对应的知识点。问题一涉及全等三角形的公共边，问题二需要选择全等三角形的判定方法，问题三则需依据全等三角形的性质
20．（2025八上·诸暨月考） 如图，中，垂直平分，交于点，交于点，且，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若的周长为10cm，AC=6cm，求的周长．
【答案】（1）解：∵
∴AD垂直平分BE
∴AB=AE
∴∠ABE=∠AEB
∵∠BAE=40°
∴
∵ EF垂直平分
∴EA=EC
∴∠EAC=∠C
∵∠AEB=∠EAC+∠C
∴
（2）解：由（1）可知AE=EC
∵的周长为10cm
∴AB+BE+AE=10cm
∴AB+BE+EC=10cm
即AB+BC=10cm
∵ AC=6cm
∴AB+BC+AC=16cm
即的周长为16cm。
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)易证AD垂直平分BE，可知AB=AE，等边对等角得∠ABE=∠AEB=70°，再次利用线段垂直平分线的性质可证∠EAC=∠C，最后利用三角形外角性质求出∠C=35°；
(2)利用(1)中AE=EC将△ABE的周长转化为AB+BC=10cm，再加上AC的长度就可以求出的周长 。
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