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四川省眉山市仁寿县仁寿实验中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上把相应题目的正确选项涂黑．
1．（2024九下·仁寿期中） 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九下·仁寿期中） 下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九下·仁寿期中） 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
4．（2024九下·仁寿期中）“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（　　）
A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件
5．（2024九下·仁寿期中） 某口罩厂十月份的口罩产量为万只，由于疫情得到控制，市场需求量减少，十二月份的产量减少到万只，设该厂十一、十二月份的口罩产量的月平均减少率为，则可列方程为(　　)
A． B．
C． D．
6．（2024九下·仁寿期中） 抛物线y＝x2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024九下·仁寿期中） 如图，已知在，为上一点，连结，不能判断的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九下·仁寿期中） 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九下·仁寿期中） 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2.5，AC=3，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九下·仁寿期中）如图，是的中位线，点在上，连接并延长，与的延长线相交于点若，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024九下·仁寿期中） 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，它的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为．且，则下列结论不正确的是(　　)
A． B．图象的顶点坐标D为(1，-4)
C．当或时，函数值 D．当时，随的增大而增大
12．（2024九下·仁寿期中） 如图，二次函数的图象经过点且与x轴交点的横坐标分别为和，其中，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上．
13．（2024九下·仁寿期中）若 = ，则 =　 　．
14．（2024九下·仁寿期中） 已知二次函数的图象开口向下，则m的值是　 　．
15．（2024九下·仁寿期中） 如图是边长为4的正方形ABCD，E为BC的中点，连结AE，作EF⊥AE交CD于F，则CF=　 　.
16．（2024九下·仁寿期中） 已知，是方程的两根，则　 　．
17．（2024九下·仁寿期中） 在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为　 　．
18．（2024九下·仁寿期中） 如图，在矩形中，是边的中点，于点，于，连接，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有　 　．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分．
19．（2024九下·仁寿期中） 计算：．
20．（2024九下·仁寿期中） 已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0．
①不解方程，判别方程根的情况；
②若方程有一个根为﹣1，求m的值．
21．（2024九下·仁寿期中） 如图，相交于点E，且，
（1）求证：；
（2）若，求的长．
22．（2024九下·仁寿期中） 某学校在假期开展了“阳光阅读”活动，为了解学生的阅读情况，随机抽取部分学生进行阅读量的调查，阅读量分为四个类别：A.1~2本，B.3~4本，C.5~6本，D.6本以上，将调查结果进行统计，绘制出如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有　 　人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是　 　．
（2）请补全条形统计图；
（3）在阅读量为D类别的4名学生中有正好有2名男生和2名女生，现从这4人中随机选取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好是1名男生和1名女生的概率．
23．（2024九下·仁寿期中） 在学校的数学学科周上，李老师指导学生测量学校旗杆的高度．在旗杆附近有一个斜坡，坡长米，坡度，小华在处测得旗杆顶端的仰角为，在处测得旗杆顶端的仰角为．求旗杆的高度．(点，，，在同一平面内，，在同一水平线上，结果保留根号)
24．（2024九下·仁寿期中） 某商店将进价为元的商品按每件元售出，每天可售出件，现在采取提高售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的售价每提高元，其销售量就减少件，问：
（1）应将商品应涨价多少元，才能使每天的利润为元？
（2）店主想要每天获得最大利润，请帮助店主确定商品应涨价多少元，并指出的最大利润为多少元？
25．（2024九下·仁寿期中） 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G．
（1）求证：BG=DE；
（2）若点G为CD的中点，求的值；
（3）在（2）的条件下，求的值．
26．（2024九下·仁寿期中） 如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点是轴上一点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图，点是抛物线上且在直线上方的一个动点，试求出面积的最大值及此时点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：式子 在实数范围内有意义，
则1-x≥0，
解得： .
故答案为：D.
【分析】根据题意直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围进而得出答案.
2．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】
A：，不是同类二次根式，故该选项计算错误；
B：，不是同类二次根式，故该选项计算错误；
C：，故该选项计算错误；
D：，故该选项计算正确；
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的加减法以及除法、完全平方公式进行逐一验证即可求解.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】 关于的一元二次方程有两个实数根，
解得 ，
故答案为：B.
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式得到关于k的不等式，解不等式即可求解.
4．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件，
故选：D．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】 设该厂十一、十二月份的口罩产量的月平均减少率为，由题意，则可列方程为，
故答案为：A.
【分析】设该厂十一、十二月份的口罩产量的月平均减少率为，根据等量关系即可列出关于x的一元二次方程，即可求解.
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】 抛物线y＝x2的图象向右平移3个单位得到 ， 再向下平移2个单位得到 ，
故答案为：D.
【分析】根据二次函数图象的平移变换规律“左加右减，丄加下减”即可求解.
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】由图可得在中，
根据相似三角形的判定定理可得，
添加 ，能判定 ，故A选项不符合题意；
添加 ，能判定 ，故B选项不符合题意；
添加 ，能判定 ，故C选项不符合题意；
添加 ，不能判定 ，故D选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据图形可得再利用相似三角形的判定定理进行逐一判断即可求解.
8．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】＝，
可设OE=4x，EA=3x，
四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，＝，
故答案为：A.
【分析】根据＝，可设OE=4x，EA=3x，再根据位似的性质得到，从而求解.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2.5，
AB=2CD=5，
故答案为：A.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AB=2CD=5，再利用勾股定理求得BC=5，最后利用三角函数的定义即可求解.
10．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：， 是的中位线，
，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质和中位线的性质，通过线段之比求线段长度.
11．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】 对称轴为直线，
解得a=2，故A正确，不符合题意；
， 对称轴为直线，
，
二次函数
将x=1代入解得y=-4，
图象的顶点坐标D为(1，-4) ，故B正确，不符合题意；
由图象和点B的坐标可得当或时，函数值 ，故C正确，不符合题意；
当时，随的增大而增大，故D错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用对称轴为直线x=1解得a=2，可判定A正确；利用对称轴为直线x=1解得点B的坐标，从而得到二次函数的解析式，再求得定点坐标，可判定B正确；根据对称轴为直线x=1以及函数的开口方向可判定C正确，D错误；从而求解.
12．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由图知：抛物线的开口向下，则；抛物线的对称轴，且．
①由图可得：当时，，即，故①正确；
②已知，且，所以，故②正确；
③由于抛物线的对称轴，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于，即 ，由于，所以，即，故③正确；
④，，则，抛物线与轴交于正半轴，则
，故④正确，
故答案为：D．
【分析】利用特殊值法当时，结合图象可判定①正确；利用对抽轴可判定②正确；利用对抽轴与顶点得到 ，从而判断③正确；先求得a，b，c的正负形，从而判定④正确；从而得出结论.
13．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴设a=2k，b=5k，
∴ = = ，
故答案为： ．
【分析】根据已知设a=2k，b=5k，代入求出即可．
14．【答案】
【知识点】二次函数的定义；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】 二次函数的图象开口向下，
m-1<0，
解得m=-2，
故答案为：-2
【分析】根据二次函数的定义与开口方向得到关于m的方程和不等式，解方程和不等式即可求解.
15．【答案】1
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】四边形ABCD是正负形，且边长为4，
EF⊥AE，
E为BC的中点，
BE=CE=2，
CF=1，
故答案为：1
【分析】利用正方形的性质和EF⊥AE证明利用三角形相似的性质即可求解.
16．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】，是方程的两根，
故答案为：2
【分析】利用 韦达定理求得再将进行通分变形再整体代入即可求解.
17．【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】由图可得
为等腰三角形，
过点B作，垂足为点D，如图，
可得
故答案为：.
【分析】先根据网格特点求得AB，AC，BC的值，得到为等腰三角形，过点B作，垂足为点D，又等腰三角形的性质求得AD的值，再根据三角函数的定义即可求解.
18．【答案】①②③
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
，，
，所以①正确；
，，
，
，
而是边的中点，
，
，所以②正确；
，，
，
，
，
，
，
垂直平分，
，所以③正确；
设的面积为，则，
，
，
：：，
即，
：：，
．所以④错误．
故答案为：①②③．
【分析】利用矩形的性质求得，结合，，可证明，故 ① 正确；利用平行线分线段成本比例以及中点的性质可判断②正确；证明，结合垂直平分线的性质可判断③正确；设的面积为，则，根据相似三角形的性质得到，再根据面积关系可判断④错误；从而求解.
19．【答案】解：
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算开方、特殊角的三角函数值、负指数，再算乘法并合并二次根式即可求解.
20．【答案】解：①∵△＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4m2﹣4m2+4＝4＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根；
②将x＝﹣1代入方程，得：1﹣2m+m2﹣1＝0，
整理，得：m2﹣2m＝0，
解得m＝0或m＝2．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】 ① 利用 △>0即可求解；
② 将x＝﹣1代入方程， 得到关于m的一元二次方程，解方程即可求解.
21．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，即，解得，
∴，
∴的长为．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）直接根据相似三角形的判定定理即可求解；
（2）根据相似三角形的性质得到， 代入数据计算即可求解.
22．【答案】（1）50；
（2）解：A类别人数：（人），补全条形统计图如图所示；
（3）解：设两名男生为，，两名女生为，，根据题意，列表如下：
　 （，） （，） （，）
（，） 　 （，） （，）
（，） （，） 　 （，）
（，） （，） （，） 　
由表格可知：共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中正好是1名男生和1名女生的情况有8种，所以恰好是1名男生和1名女生的概率为.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）总人数为（人）；B所对应的扇形的圆心角的度数为
【分析】（1）根据条形统计图中C人数除以扇形统计图中C所占的百分比即可求得总人数，再利用B的百分比乘以360°即可求得B所对应的扇形的圆心角的度数；
（2）先求得A的人数，并补全条形统计图即可求解；
（3）先列出表格，得到共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中正好是1名男生和1名女生的情况有8种，利用概率公式计算即可求解.
23．【答案】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
依据题意得：，，
坡长米，坡度，
，
设米，则米，
在中，
(米)，
，解得：，
米，则米，
设米，
米，
在中，，
(米)，
在中，，
米，
，
，
解得：，
(米)，
旗杆的高度为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 过点作，垂足为，过点作，垂足为， 可得，， 根据坡度求得， 设米，则米， 利用勾股定理得到解得米， 设米， 得到米， 利用三角函数求得AB和AF的值，由， 得到关于y的方程，解方程即可求解.
24．【答案】（1）解：设每件涨价为元时，才能使每天利润为元，
，
解得：，．
答：将商品应涨价元或元时，能使每天利润为元．
（2）解：设利润为：
则
，
当商品应涨价元时，获得最大利润；最大利润为元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设每件涨价为元时， 根据利润=单件商品的利润销售数量列出关于x的一元二次方程，解方程即可求解；
（2） 设利润为 根据利润=单件商品的利润销售数量列出二次函数，利用二次函数的性质即可求解.
25．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，BC=CD，
∵BF⊥DF，
∴∠BFD=90°=∠BCD，
∴∠CBG=∠CDE，
在△BCG和△DCE中，，
∴△BCG≌△DCE（ASA），
∴BG=DE；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴ABCD，AB=CD，
∴点G是CD中点，
∴AB=CD=2CG，
∵ABCD，
∴△CHG∽△AHB，
∴，
∴=；
（3）解：设CG=DG=a，则BC=2a，由勾股定理得：BG=a，
∵∠BCG=∠DFG=90°，∠BGC=∠DGF，
∴△BCG∽△DFG，
∴，
∴，GF=a，
由（2）知，HG=BG=a，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到 ∠BCD=90°，BC=CD， 结合 ∠BFD=90°=∠BCD， 得到 ∠CBG=∠CDE， 由ASA可判断 △BCG≌△DCE ，根据全等三角形的性质即可求解；
（2）证明 △CHG∽△AHB， 根据相似三角形的性质即可求解；
（3） 设CG=DG=a，则BC=2a，由勾股定理得：BG=a， 证明 △BCG∽△DFG， 得到，GF=a， 由（2）的结论可得 HG=BG=a， 代入化简即可求解.
26．【答案】（1）解：抛物线交轴于点和点，交轴于点
∴
解得：
∴二次函数表达式为：；
（2）解：或或或
（3）解：设直线的解析式为，将点，代入，
解得：
∴直线的解析式为，
过点作轴的平行线交于点，
设点，则，
则，
，
当时，面积取得最大值为：，
则．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定；二次函数与一次函数的综合应用；数学思想
【解析】【解答】解：（2）∵，
∴，
设
①当时，则
∴或
②当时，
解得：或（舍去）
∴，
③当时，
解得：，
∴，
综上所述，或或或
【分析】（1）利用待定系数法求得b，c的值，即可求解；
（2）根据A，C的坐标，利用勾股定理求得AC的值，设，分三种情况进行讨论求解：①当时，则；②当时，；③当时，；分别求得p的值，从而求解；
（3） 设直线的解析式为， 利用待定系数法求得k，b的值，得到直线AC的解析式， 过点作轴的平行线交于点， 设点，则， 利用得到关于t的二次函数，利用二次函数的性质即可求解.
1 / 1四川省眉山市仁寿县仁寿实验中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上把相应题目的正确选项涂黑．
1．（2024九下·仁寿期中） 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：式子 在实数范围内有意义，
则1-x≥0，
解得： .
故答案为：D.
【分析】根据题意直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围进而得出答案.
2．（2024九下·仁寿期中） 下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】
A：，不是同类二次根式，故该选项计算错误；
B：，不是同类二次根式，故该选项计算错误；
C：，故该选项计算错误；
D：，故该选项计算正确；
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的加减法以及除法、完全平方公式进行逐一验证即可求解.
3．（2024九下·仁寿期中） 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】 关于的一元二次方程有两个实数根，
解得 ，
故答案为：B.
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式得到关于k的不等式，解不等式即可求解.
4．（2024九下·仁寿期中）“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（　　）
A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件，
故选：D．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．（2024九下·仁寿期中） 某口罩厂十月份的口罩产量为万只，由于疫情得到控制，市场需求量减少，十二月份的产量减少到万只，设该厂十一、十二月份的口罩产量的月平均减少率为，则可列方程为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】 设该厂十一、十二月份的口罩产量的月平均减少率为，由题意，则可列方程为，
故答案为：A.
【分析】设该厂十一、十二月份的口罩产量的月平均减少率为，根据等量关系即可列出关于x的一元二次方程，即可求解.
6．（2024九下·仁寿期中） 抛物线y＝x2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】 抛物线y＝x2的图象向右平移3个单位得到 ， 再向下平移2个单位得到 ，
故答案为：D.
【分析】根据二次函数图象的平移变换规律“左加右减，丄加下减”即可求解.
7．（2024九下·仁寿期中） 如图，已知在，为上一点，连结，不能判断的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】由图可得在中，
根据相似三角形的判定定理可得，
添加 ，能判定 ，故A选项不符合题意；
添加 ，能判定 ，故B选项不符合题意；
添加 ，能判定 ，故C选项不符合题意；
添加 ，不能判定 ，故D选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据图形可得再利用相似三角形的判定定理进行逐一判断即可求解.
8．（2024九下·仁寿期中） 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】＝，
可设OE=4x，EA=3x，
四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，＝，
故答案为：A.
【分析】根据＝，可设OE=4x，EA=3x，再根据位似的性质得到，从而求解.
9．（2024九下·仁寿期中） 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2.5，AC=3，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2.5，
AB=2CD=5，
故答案为：A.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AB=2CD=5，再利用勾股定理求得BC=5，最后利用三角函数的定义即可求解.
10．（2024九下·仁寿期中）如图，是的中位线，点在上，连接并延长，与的延长线相交于点若，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：， 是的中位线，
，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质和中位线的性质，通过线段之比求线段长度.
11．（2024九下·仁寿期中） 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，它的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为．且，则下列结论不正确的是(　　)
A． B．图象的顶点坐标D为(1，-4)
C．当或时，函数值 D．当时，随的增大而增大
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】 对称轴为直线，
解得a=2，故A正确，不符合题意；
， 对称轴为直线，
，
二次函数
将x=1代入解得y=-4，
图象的顶点坐标D为(1，-4) ，故B正确，不符合题意；
由图象和点B的坐标可得当或时，函数值 ，故C正确，不符合题意；
当时，随的增大而增大，故D错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用对称轴为直线x=1解得a=2，可判定A正确；利用对称轴为直线x=1解得点B的坐标，从而得到二次函数的解析式，再求得定点坐标，可判定B正确；根据对称轴为直线x=1以及函数的开口方向可判定C正确，D错误；从而求解.
12．（2024九下·仁寿期中） 如图，二次函数的图象经过点且与x轴交点的横坐标分别为和，其中，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由图知：抛物线的开口向下，则；抛物线的对称轴，且．
①由图可得：当时，，即，故①正确；
②已知，且，所以，故②正确；
③由于抛物线的对称轴，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于，即 ，由于，所以，即，故③正确；
④，，则，抛物线与轴交于正半轴，则
，故④正确，
故答案为：D．
【分析】利用特殊值法当时，结合图象可判定①正确；利用对抽轴可判定②正确；利用对抽轴与顶点得到 ，从而判断③正确；先求得a，b，c的正负形，从而判定④正确；从而得出结论.
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上．
13．（2024九下·仁寿期中）若 = ，则 =　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴设a=2k，b=5k，
∴ = = ，
故答案为： ．
【分析】根据已知设a=2k，b=5k，代入求出即可．
14．（2024九下·仁寿期中） 已知二次函数的图象开口向下，则m的值是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数的定义；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】 二次函数的图象开口向下，
m-1<0，
解得m=-2，
故答案为：-2
【分析】根据二次函数的定义与开口方向得到关于m的方程和不等式，解方程和不等式即可求解.
15．（2024九下·仁寿期中） 如图是边长为4的正方形ABCD，E为BC的中点，连结AE，作EF⊥AE交CD于F，则CF=　 　.
【答案】1
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】四边形ABCD是正负形，且边长为4，
EF⊥AE，
E为BC的中点，
BE=CE=2，
CF=1，
故答案为：1
【分析】利用正方形的性质和EF⊥AE证明利用三角形相似的性质即可求解.
16．（2024九下·仁寿期中） 已知，是方程的两根，则　 　．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】，是方程的两根，
故答案为：2
【分析】利用 韦达定理求得再将进行通分变形再整体代入即可求解.
17．（2024九下·仁寿期中） 在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】由图可得
为等腰三角形，
过点B作，垂足为点D，如图，
可得
故答案为：.
【分析】先根据网格特点求得AB，AC，BC的值，得到为等腰三角形，过点B作，垂足为点D，又等腰三角形的性质求得AD的值，再根据三角函数的定义即可求解.
18．（2024九下·仁寿期中） 如图，在矩形中，是边的中点，于点，于，连接，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有　 　．
【答案】①②③
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
，，
，所以①正确；
，，
，
，
而是边的中点，
，
，所以②正确；
，，
，
，
，
，
，
垂直平分，
，所以③正确；
设的面积为，则，
，
，
：：，
即，
：：，
．所以④错误．
故答案为：①②③．
【分析】利用矩形的性质求得，结合，，可证明，故 ① 正确；利用平行线分线段成本比例以及中点的性质可判断②正确；证明，结合垂直平分线的性质可判断③正确；设的面积为，则，根据相似三角形的性质得到，再根据面积关系可判断④错误；从而求解.
三、解答题：本大题共8个小题，共78分．
19．（2024九下·仁寿期中） 计算：．
【答案】解：
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算开方、特殊角的三角函数值、负指数，再算乘法并合并二次根式即可求解.
20．（2024九下·仁寿期中） 已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0．
①不解方程，判别方程根的情况；
②若方程有一个根为﹣1，求m的值．
【答案】解：①∵△＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4m2﹣4m2+4＝4＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根；
②将x＝﹣1代入方程，得：1﹣2m+m2﹣1＝0，
整理，得：m2﹣2m＝0，
解得m＝0或m＝2．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】 ① 利用 △>0即可求解；
② 将x＝﹣1代入方程， 得到关于m的一元二次方程，解方程即可求解.
21．（2024九下·仁寿期中） 如图，相交于点E，且，
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，即，解得，
∴，
∴的长为．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）直接根据相似三角形的判定定理即可求解；
（2）根据相似三角形的性质得到， 代入数据计算即可求解.
22．（2024九下·仁寿期中） 某学校在假期开展了“阳光阅读”活动，为了解学生的阅读情况，随机抽取部分学生进行阅读量的调查，阅读量分为四个类别：A.1~2本，B.3~4本，C.5~6本，D.6本以上，将调查结果进行统计，绘制出如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有　 　人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是　 　．
（2）请补全条形统计图；
（3）在阅读量为D类别的4名学生中有正好有2名男生和2名女生，现从这4人中随机选取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）50；
（2）解：A类别人数：（人），补全条形统计图如图所示；
（3）解：设两名男生为，，两名女生为，，根据题意，列表如下：
　 （，） （，） （，）
（，） 　 （，） （，）
（，） （，） 　 （，）
（，） （，） （，） 　
由表格可知：共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中正好是1名男生和1名女生的情况有8种，所以恰好是1名男生和1名女生的概率为.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）总人数为（人）；B所对应的扇形的圆心角的度数为
【分析】（1）根据条形统计图中C人数除以扇形统计图中C所占的百分比即可求得总人数，再利用B的百分比乘以360°即可求得B所对应的扇形的圆心角的度数；
（2）先求得A的人数，并补全条形统计图即可求解；
（3）先列出表格，得到共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中正好是1名男生和1名女生的情况有8种，利用概率公式计算即可求解.
23．（2024九下·仁寿期中） 在学校的数学学科周上，李老师指导学生测量学校旗杆的高度．在旗杆附近有一个斜坡，坡长米，坡度，小华在处测得旗杆顶端的仰角为，在处测得旗杆顶端的仰角为．求旗杆的高度．(点，，，在同一平面内，，在同一水平线上，结果保留根号)
【答案】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
依据题意得：，，
坡长米，坡度，
，
设米，则米，
在中，
(米)，
，解得：，
米，则米，
设米，
米，
在中，，
(米)，
在中，，
米，
，
，
解得：，
(米)，
旗杆的高度为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 过点作，垂足为，过点作，垂足为， 可得，， 根据坡度求得， 设米，则米， 利用勾股定理得到解得米， 设米， 得到米， 利用三角函数求得AB和AF的值，由， 得到关于y的方程，解方程即可求解.
24．（2024九下·仁寿期中） 某商店将进价为元的商品按每件元售出，每天可售出件，现在采取提高售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的售价每提高元，其销售量就减少件，问：
（1）应将商品应涨价多少元，才能使每天的利润为元？
（2）店主想要每天获得最大利润，请帮助店主确定商品应涨价多少元，并指出的最大利润为多少元？
【答案】（1）解：设每件涨价为元时，才能使每天利润为元，
，
解得：，．
答：将商品应涨价元或元时，能使每天利润为元．
（2）解：设利润为：
则
，
当商品应涨价元时，获得最大利润；最大利润为元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设每件涨价为元时， 根据利润=单件商品的利润销售数量列出关于x的一元二次方程，解方程即可求解；
（2） 设利润为 根据利润=单件商品的利润销售数量列出二次函数，利用二次函数的性质即可求解.
25．（2024九下·仁寿期中） 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G．
（1）求证：BG=DE；
（2）若点G为CD的中点，求的值；
（3）在（2）的条件下，求的值．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，BC=CD，
∵BF⊥DF，
∴∠BFD=90°=∠BCD，
∴∠CBG=∠CDE，
在△BCG和△DCE中，，
∴△BCG≌△DCE（ASA），
∴BG=DE；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴ABCD，AB=CD，
∴点G是CD中点，
∴AB=CD=2CG，
∵ABCD，
∴△CHG∽△AHB，
∴，
∴=；
（3）解：设CG=DG=a，则BC=2a，由勾股定理得：BG=a，
∵∠BCG=∠DFG=90°，∠BGC=∠DGF，
∴△BCG∽△DFG，
∴，
∴，GF=a，
由（2）知，HG=BG=a，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到 ∠BCD=90°，BC=CD， 结合 ∠BFD=90°=∠BCD， 得到 ∠CBG=∠CDE， 由ASA可判断 △BCG≌△DCE ，根据全等三角形的性质即可求解；
（2）证明 △CHG∽△AHB， 根据相似三角形的性质即可求解；
（3） 设CG=DG=a，则BC=2a，由勾股定理得：BG=a， 证明 △BCG∽△DFG， 得到，GF=a， 由（2）的结论可得 HG=BG=a， 代入化简即可求解.
26．（2024九下·仁寿期中） 如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点是轴上一点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图，点是抛物线上且在直线上方的一个动点，试求出面积的最大值及此时点的坐标．
【答案】（1）解：抛物线交轴于点和点，交轴于点
∴
解得：
∴二次函数表达式为：；
（2）解：或或或
（3）解：设直线的解析式为，将点，代入，
解得：
∴直线的解析式为，
过点作轴的平行线交于点，
设点，则，
则，
，
当时，面积取得最大值为：，
则．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定；二次函数与一次函数的综合应用；数学思想
【解析】【解答】解：（2）∵，
∴，
设
①当时，则
∴或
②当时，
解得：或（舍去）
∴，
③当时，
解得：，
∴，
综上所述，或或或
【分析】（1）利用待定系数法求得b，c的值，即可求解；
（2）根据A，C的坐标，利用勾股定理求得AC的值，设，分三种情况进行讨论求解：①当时，则；②当时，；③当时，；分别求得p的值，从而求解；
（3） 设直线的解析式为， 利用待定系数法求得k，b的值，得到直线AC的解析式， 过点作轴的平行线交于点， 设点，则， 利用得到关于t的二次函数，利用二次函数的性质即可求解.
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