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2024年初中数学人教版八年级下学期期中模拟考试卷 04
一、单选题
1．（2023九上·榆树开学考）计算的结果为（　　）
A．-11 B．11 C．±11 D．121
2．（2023九上·楚雄开学考）下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023八下·澄城期末）如图，平行四边形四个内角平分线相交，构成四边形，则四边形的形状是（　　）
A．任意四边形 B．正方形 C．矩形 D．菱形
4．（2023八下·孝义期末）如图，在中，，，，点是的中点，连接，则的长为（　　）
A． B． C．3 D．4
5．（2023八下·乌鲁木齐期末）如图，在中，，，分别是，，的中点．若，，则四边形的周长是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023·延安模拟）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（　　）
A．AB=BC B．AC垂直BD C．∠A=∠C D．AC=BD
7．（2023八下·信阳期中）如图，平行四边形中，，为锐角.要在对角线上找点N，，使四边形为平行四边形，现有图中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（　　）
A．只有甲、乙才是 B．只有甲、丙才是
C．只有乙、丙才是 D．甲、乙、丙都是
8．（2023九上·江油开学考）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF=，AB=3，给出下列结论：①∠COD=45°；②AE=5；③CF=BD=；④S△COF=3，其中正确的个数为 (　　)
A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4
二、填空题
9．（2023八下·南充期末）若，则a的值是　 　．
10．（2023·蒸湘模拟）如图，在平行四边形中，已知，，的角平分线交边于点E，则的长为　 　.
11．（2023八下·鄞州期中）如图，用长为a米的铝合金制成如图窗框，已知矩形AGHD，矩形BFEG，矩形EFCH的面积均相等，设AD的长为b米，则AB的长是　 　米．(用含a，b的代数式表示)
12．（2023七下·义乌月考）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在的位置上，交AD于点G．已知，那么　 　度．
13．（2023八下·江油月考）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　 　元．
14．（2023·陕西）如图，在矩形中，，点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，若则线段的长为　 　．
15．（2024九上·简阳期末）如图1，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图2），则　 　；然后将绕点旋转到，当过点时旋转停止，则的长度为　 　．
三、解答题
16．（2023八下·仓山期中）如图，在中，点E，F在对角线上，且，连接，，求证：.
17．（2023九上·北京市开学考） 已知：如图，、分别是 的边、上的点，且．
求证：．
18．（2022八上·江干期中）如图，在△CBD中，CD＝BD，CD⊥BD，BE平分∠CBA交CD于点F，CE⊥BE垂足是E，CE与BD交于点A，求证，
（1）BF＝AC；
（2）BE是AC的中垂线；
（3）若AD＝2，求BD的长．
四、实践探究题
19．（2023八下·双鸭山期中）阅读材料，解答下面问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方2倍的三角形叫做奇异三角形．
（1）理解并填空：
①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定　 　（填“是”或“不是”）奇异三角形；
②若某三角形的三边长分别为1，，2，则该三角形　 　（填“是”或“不是”）奇异三角形；
（2）探究：在中，两边长分别是a，c，且，，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．
20．（2023八上·清新期中）综合与实践
问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离BC＝7m，∠DCE＝90°．
（1）独立思考：
这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？
（2）深入探究：
消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A′位置上（云梯长度不改变），AA′＝4m，那么它的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′也是4m吗？若是，请说明理由；若不是，请求出BB′的长度．
（3）问题解决：
在演练中，高24.3m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24.3m高的墙头去救援被困人员？
五、综合题
21．（2023八下·大冶期中）如图，在 中，点、分别在、上，与相交于点，且.
（1）求证：≌；
（2）连接，，求证：四边形是平行四边形.
22．（2023·杨浦模拟）已知：如图，在中，，点D是边的中点，，联结．
（1）求证：；
（2）如果平分，求证：．
23．（2023七下·小店期中）
（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；积的乘方运算
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】负数的平方为正值，，根据二次根式的性质可得出结果。
2．【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：A：，A错误，不符合题意；
B：已是最简性质，B错误，不符合题意；
C：，C正确，符合题意；
D：，D错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°.
∵BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD，
∴∠EBC=∠ABC，∠BCE=∠BCD，
∴∠EBC+∠BCE=∠ABC+∠BCD=（∠ABC+∠BCD）=90°，
∴∠FEH=90°
同理∠AGD=∠DHC=90°，
∴∠FEH=∠EHG=∠HGF=90°，
∴四边形EFGH是矩形.
故答案为：B.
【分析】已知四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质，以及角平分线的性质可得∠EBC+∠BCE=90°，由三角形的内角和定理可得∠FEH=90°，同理∠AGD=∠DHC=90°，再结合对顶角相等可得∠FEH=∠EHG=∠HGF=90°，最后根据三个角是直角的四边形是矩形得出结论.
4．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
点是的中点
故答案为：A
【分析】根据勾股定理的逆定理及勾股定理即可求出答案。
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵，，分别是，，的中点，
∴EF，ED分别是△ABC的中位线，
∴DE//AB，EF//BC，EF=BC=×8=4，DE=AB=×6=3，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴C平行四边形BDEF=2×（EF+DE）=2×（4+3）=14，
故答案为：C.
【分析】先利用三角形中位线的性质得到DE//AB，EF//BC，EF=BC=×8=4，DE=AB=×6=3，再利用平行四边形的周长公式求解即可.
6．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：结合选项可知，添加AC=BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形.
故答案为：D.
【分析】对角线相等的平行四边形是矩形，据此解答.
7．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：方案甲中，连接，如图所示：
四边形是平行四边形，为的中点，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，故方案甲正确；
方案乙中，四边形是平行四边形，
，，
，
，，
∴，，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形，故方案乙正确；
方案丙中，四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
四边形为平行四边形，故方案丙正确；
故答案为：D.
【分析】方案甲中，连接AC，根据平行四边形的性质可得OB=OD，OA=OC，结合线段的和差关系可得NO=OM，推出四边形ANCM为平行四边形，据此判断；
方案乙中，由平行四边形的性质以及平行线的性质可得∠ABN=∠CDM，∠ANB=∠CMD，利用AAS证明△ABN≌△CDM，得到AN=CM，然后根据平行四边形的判定定理进行判断；
方案丙中，由平行四边形的性质可得∠BAD=∠BCD，AB=CD，根据平行线的性质可得∠ABN=∠CDM，结合角平分线的概念可得∠BAN=∠DCM，利用ASA证明△ABN≌△CDM，得到AN=CM，∠ANB=∠CMD，则∠ANM=∠CMN，推出AN∥CM，然后根据平行四边形的判定定理进行判断.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】
①∠COD=45°；
故①正确
②AE=5；
故②正确
③CF=BD=；
如图，作DHAB交AB于H，作FGCO交CO的延长线于G，
由①的结论，可知
是等腰直角三角形
故③错误
④S△COF=3，
故④错误
综上，正确的是①②
故选：B
【分析】根据正方形性质和勾股定理分别求值和判断。
9．【答案】2
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
∵
∴
∴
∴ a=2
故答案为：2.
【分析】本题考查二次根式的加减法计算。二次根式加减法法则，把每一项先化简成最简二次根式，再把被开方数相同的项进行合并，把根号前的有理数系数相加减。
10．【答案】4
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4.
【分析】根据平行四边形的性质可得AD=BC=12，AD∥BC，由平行线的性质可得∠DAE=∠BEA，由角平分线的概念可得∠BAE=∠DAE，进而推出AB=BE=8，然后根据EC=BC-BE进行计算.
11．【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：设AB=3m，则矩形ABCD的面积为3mb.
∵矩形AGHD，矩形BFEG，矩形EFCH的面积均相等，
∴矩形AGHD的面积=矩形BFEG的面积=矩形EFCH的面积=mb.
∵AD=b，
∴AG=m，BG=2m，GE=EH=.
∵总长为a，
∴AD+GH+BC+BG+EF+HC+AG+DH=3b+3×2m+2m=a，
∴m=，
∴AB=3m=.
故答案为：.
【分析】设AB=3m，则矩形ABCD的面积为3mb，由题意可得矩形AGHD的面积=矩形BFEG的面积=矩形EFCH的面积=mb，则AG=m，BG=2m，GE=EH=，根据总长为a可得m，进而可得AB的长.
12．【答案】64
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：由长方形ABCD得：AD∥BC，
∴∠CEF=∠EFG=58°，
由轴对称的性质得：∠GEF=∠CEF=58°，
∴∠BEG=180°-∠GEF-∠CEF=64°．
故答案为：64.
【分析】 根据长方形的特点可知AD∥BC，可得∠CEF=∠EFG=58°，由轴对称的性质可知∠GEF=∠CEF，再由邻补角的性质求∠BEG的度数．
13．【答案】680
【知识点】勾股定理的应用；平移的性质
【解析】【解答】解：由题意得
在Rt△ABC中
∴地毯的面积为2×（12+5）=34m2，
∴铺完这个楼道的费用为34×20=680元.
故答案为：680
【分析】利用勾股定理求出AB的长，利用平移的性质可得到地毯的长，由此可求出地毯的面积，然后求出铺完这个楼道的费用.
14．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接，
四边形是矩形，，
，，，
，
，
，
，
点、点关于对称，
点在上，，，
，
，
，
，即点 、 、三点共线且，，
四边形是矩形，
，，
， ，
，
，
故答案为：.
【分析】观察图形可发现PM、PN的关系类似于将军饮马模型中的图形特点，故作点N的对称点，然后可得出点M、P、N'三点共线这一结果，再利用矩形的性质求PC的长.
15．【答案】2；
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】在矩形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AB=CD=10，AD=BC=12，
由折叠的性质可得AB=BE，∠BEF=90°，
四边形ABEF是矩形，∠CEF=180°-90°=90°，
AB=BE，
四边形ABEF是正方形，
AB=BE=EF=AF=10，
DF=BC-BE=2，
由勾股定理可得
连接CF，如图，
由旋转的性质可得∠BEF=∠CNF=90°，EF=NF，
CF=CF，
CN=CE=2，EF=NF=10，
C、D在EN的垂直平分线上，
CF⊥EN，
四边形ECNE的面积为
解得，
【分析】先证明四边形ABEF是正方形，得到AB=BE=EF=AF=10，DF=BC-BE=2，连接CF，利用勾股定理求得CF的值以及旋转的性质，通过HL证明，从而得到CN=CE=2，EF=NF=10，证明C、D在EN的垂直平分线上，最后利用四边形ECNE的面积为代入数据计算即可求解.
16．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，由二直线平行，内错角相等，得∠DAF=∠BCE，从而根据SAS判断出△ADF≌△CBE，由全等三角形的对应边相等得BE=DF.
17．【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】结合图形分析，要证明的两线段所在的四边形目测就是平行四边形，可把问题转化为证平行四边形；已知一组对边平行，“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，需再证明另一组对边平行，根据平行线的性质得到相等的内错角，再由已知的等角进行等量代换，可以用同位角相等两直线平行的定理判定四边形的一组对边平行，整理思路即可。
18．【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDF＝∠ADC＝∠AEB＝90°，
∵∠DBF+∠A＝90°，∠DCA+∠A＝90°，
∴∠DBF＝∠DCA，
∵BD＝CD，
∴△BDF≌△CDA（SAS），
∴BF＝AC．
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠BEA＝∠BEC＝90°，
∴∠A+∠ABE＝90°，∠BCA+∠CBE＝90°，
∴∠A＝∠BCA，
∴BC＝BA，
∵BE⊥AC，
∴CE＝EA，
∴BE是AC的中垂线．
（3）解：连接AF．
∵△BDF≌△CDA，
∴AD＝DF＝2，AF＝2，
∵BE垂直平分AC，
∴CF＝AF＝2，
∴BD＝CD＝2+2，
∴AB＝BD+AD＝3+2．
【知识点】勾股定理；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用垂直可得∠DBF+∠A＝90°，∠DCA+∠A＝90°，再根据同角的余角相等，所以∠DBF＝∠DCA，进而证明△BDF≌△CDA，求得 BF＝AC ；
(2)根据平分线和垂直，得到∠A＝∠BCA，所以BC＝BA，又BE⊥AC，所以BE是AC的中垂线；
(3)根据全等AD＝DF=2，再根据勾股定理得AF，由(2)知CF=AF=2， 可知CD=CF+DF=2+2. 最后BD=CD=2+2.
19．【答案】（1）是；是
（2）解：当c为斜边时，则，
由于，
故不是奇异三角形；
当b为斜边时，，
则有，
所以是奇异三角形．
答：当c为斜边时，不是奇异三角形；当b为斜边时，是奇异三角形．
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：（1）设等边三角形的边长为a，则， 所以等边三角形一定是奇异三角形 ；
因为，所以三边长分别为1，，2 的三角形是奇异三角形，
故答案为：是，是；
【分析】（1）直接根据奇异三角形的定义判断即可；
（2）分类讨论：①当c为斜边时，先根据勾股定理算出b2的值，再根据奇异三角形的定义进行判断；②当b为斜边时，先根据勾股定理算出b2的值，再根据奇异三角形的定义进行判断，综上即可得出答案.
20．【答案】（1）解：在Rt△ACB中，
∴AC＝＝＝24m，
答：这架云梯顶端距地面的距离AC有24m；
（2）解：云梯的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′不是4m．理由如下：
由（1）可知AC＝24m，
∴A′C＝AC-AA′＝24-4＝20m．
在Rt△A′CB′中，
∴，
∴BB′＝CB′-BC＝15-7＝8m，
∴云梯的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′不是4m；
（3）解：若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的，
则能够到达墙面的最大高度为．
∵24.32＝590.49＜600，
∴，
∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达24.3m高的墙头去救援被困人员．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）在Rt△ACB中，利用勾股定理求得AC的长；
（2）首先求得m，然后利用勾股定理求得线段m，由BB′＝CB′-BC，计算可得答案；
（3）根据题意求出能够到达墙面的最大高度，再进行比较即可得出结论．
21．【答案】（1）解：在 中，，
，，
，
≌（AAS）；
（2）解：如图，
≌；
，
，
四边形是平行四边形.
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，由平行线的性质可得∠FAO=∠ECO，∠AFO=∠CEO，由已知条件可知AO=CO，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得OF=OE，然后根据平行四边形的判定定理进行证明.
22．【答案】（1）证明：∵ ，点D是边 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴
（2）证明：延长 交 的延长线于点F，
∵ ， 平分 ，
∴
∵
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴
∴ ，
∵点D是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据题意得到 ，再根据平行线的性质得到 ，接着结合题意即可得到 ，再运用三角形全等的判定证明即可求解；
（2）延长 交 的延长线于点F，先根据三角形全等的性质得到，再运用等腰三角形的性质得到 ，接着运用三角形全等的判定与性质证明，进而得到 ，再根据三角形中位线定理即可得到 ，再运用平行四边形的判定与性质得到 ，进而即可求解。
23．【答案】（1）解：如图1，
∵直线l，直线l，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：．
如图2，
证明如下：
∵，
∴，
∴，
在和中．
．
∴，
∴，
∴；
（3）证明：过E作于M，的延长线于N．
∴，
由（1）和（2）的结论可知，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴I是的中点．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先根据三角形全等的判定与性质证明，进而得到，从而即可得到；（2），如图2，证明如下：先根据题意得到，进而得到，然后根据三角形全等的判定与性质证明，再结合题意即可求解；
（3）过E作于M，的延长线于N，进而得到，再根据（1）结合题意得到，然后运用三角形全等的判定与性质即可得到，进而即可求解。
1 / 12024年初中数学人教版八年级下学期期中模拟考试卷 04
一、单选题
1．（2023九上·榆树开学考）计算的结果为（　　）
A．-11 B．11 C．±11 D．121
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；积的乘方运算
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】负数的平方为正值，，根据二次根式的性质可得出结果。
2．（2023九上·楚雄开学考）下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：A：，A错误，不符合题意；
B：已是最简性质，B错误，不符合题意；
C：，C正确，符合题意；
D：，D错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案.
3．（2023八下·澄城期末）如图，平行四边形四个内角平分线相交，构成四边形，则四边形的形状是（　　）
A．任意四边形 B．正方形 C．矩形 D．菱形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°.
∵BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD，
∴∠EBC=∠ABC，∠BCE=∠BCD，
∴∠EBC+∠BCE=∠ABC+∠BCD=（∠ABC+∠BCD）=90°，
∴∠FEH=90°
同理∠AGD=∠DHC=90°，
∴∠FEH=∠EHG=∠HGF=90°，
∴四边形EFGH是矩形.
故答案为：B.
【分析】已知四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质，以及角平分线的性质可得∠EBC+∠BCE=90°，由三角形的内角和定理可得∠FEH=90°，同理∠AGD=∠DHC=90°，再结合对顶角相等可得∠FEH=∠EHG=∠HGF=90°，最后根据三个角是直角的四边形是矩形得出结论.
4．（2023八下·孝义期末）如图，在中，，，，点是的中点，连接，则的长为（　　）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
点是的中点
故答案为：A
【分析】根据勾股定理的逆定理及勾股定理即可求出答案。
5．（2023八下·乌鲁木齐期末）如图，在中，，，分别是，，的中点．若，，则四边形的周长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵，，分别是，，的中点，
∴EF，ED分别是△ABC的中位线，
∴DE//AB，EF//BC，EF=BC=×8=4，DE=AB=×6=3，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴C平行四边形BDEF=2×（EF+DE）=2×（4+3）=14，
故答案为：C.
【分析】先利用三角形中位线的性质得到DE//AB，EF//BC，EF=BC=×8=4，DE=AB=×6=3，再利用平行四边形的周长公式求解即可.
6．（2023·延安模拟）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（　　）
A．AB=BC B．AC垂直BD C．∠A=∠C D．AC=BD
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：结合选项可知，添加AC=BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形.
故答案为：D.
【分析】对角线相等的平行四边形是矩形，据此解答.
7．（2023八下·信阳期中）如图，平行四边形中，，为锐角.要在对角线上找点N，，使四边形为平行四边形，现有图中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（　　）
A．只有甲、乙才是 B．只有甲、丙才是
C．只有乙、丙才是 D．甲、乙、丙都是
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：方案甲中，连接，如图所示：
四边形是平行四边形，为的中点，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，故方案甲正确；
方案乙中，四边形是平行四边形，
，，
，
，，
∴，，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形，故方案乙正确；
方案丙中，四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
四边形为平行四边形，故方案丙正确；
故答案为：D.
【分析】方案甲中，连接AC，根据平行四边形的性质可得OB=OD，OA=OC，结合线段的和差关系可得NO=OM，推出四边形ANCM为平行四边形，据此判断；
方案乙中，由平行四边形的性质以及平行线的性质可得∠ABN=∠CDM，∠ANB=∠CMD，利用AAS证明△ABN≌△CDM，得到AN=CM，然后根据平行四边形的判定定理进行判断；
方案丙中，由平行四边形的性质可得∠BAD=∠BCD，AB=CD，根据平行线的性质可得∠ABN=∠CDM，结合角平分线的概念可得∠BAN=∠DCM，利用ASA证明△ABN≌△CDM，得到AN=CM，∠ANB=∠CMD，则∠ANM=∠CMN，推出AN∥CM，然后根据平行四边形的判定定理进行判断.
8．（2023九上·江油开学考）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF=，AB=3，给出下列结论：①∠COD=45°；②AE=5；③CF=BD=；④S△COF=3，其中正确的个数为 (　　)
A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】
①∠COD=45°；
故①正确
②AE=5；
故②正确
③CF=BD=；
如图，作DHAB交AB于H，作FGCO交CO的延长线于G，
由①的结论，可知
是等腰直角三角形
故③错误
④S△COF=3，
故④错误
综上，正确的是①②
故选：B
【分析】根据正方形性质和勾股定理分别求值和判断。
二、填空题
9．（2023八下·南充期末）若，则a的值是　 　．
【答案】2
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
∵
∴
∴
∴ a=2
故答案为：2.
【分析】本题考查二次根式的加减法计算。二次根式加减法法则，把每一项先化简成最简二次根式，再把被开方数相同的项进行合并，把根号前的有理数系数相加减。
10．（2023·蒸湘模拟）如图，在平行四边形中，已知，，的角平分线交边于点E，则的长为　 　.
【答案】4
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4.
【分析】根据平行四边形的性质可得AD=BC=12，AD∥BC，由平行线的性质可得∠DAE=∠BEA，由角平分线的概念可得∠BAE=∠DAE，进而推出AB=BE=8，然后根据EC=BC-BE进行计算.
11．（2023八下·鄞州期中）如图，用长为a米的铝合金制成如图窗框，已知矩形AGHD，矩形BFEG，矩形EFCH的面积均相等，设AD的长为b米，则AB的长是　 　米．(用含a，b的代数式表示)
【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：设AB=3m，则矩形ABCD的面积为3mb.
∵矩形AGHD，矩形BFEG，矩形EFCH的面积均相等，
∴矩形AGHD的面积=矩形BFEG的面积=矩形EFCH的面积=mb.
∵AD=b，
∴AG=m，BG=2m，GE=EH=.
∵总长为a，
∴AD+GH+BC+BG+EF+HC+AG+DH=3b+3×2m+2m=a，
∴m=，
∴AB=3m=.
故答案为：.
【分析】设AB=3m，则矩形ABCD的面积为3mb，由题意可得矩形AGHD的面积=矩形BFEG的面积=矩形EFCH的面积=mb，则AG=m，BG=2m，GE=EH=，根据总长为a可得m，进而可得AB的长.
12．（2023七下·义乌月考）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在的位置上，交AD于点G．已知，那么　 　度．
【答案】64
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：由长方形ABCD得：AD∥BC，
∴∠CEF=∠EFG=58°，
由轴对称的性质得：∠GEF=∠CEF=58°，
∴∠BEG=180°-∠GEF-∠CEF=64°．
故答案为：64.
【分析】 根据长方形的特点可知AD∥BC，可得∠CEF=∠EFG=58°，由轴对称的性质可知∠GEF=∠CEF，再由邻补角的性质求∠BEG的度数．
13．（2023八下·江油月考）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　 　元．
【答案】680
【知识点】勾股定理的应用；平移的性质
【解析】【解答】解：由题意得
在Rt△ABC中
∴地毯的面积为2×（12+5）=34m2，
∴铺完这个楼道的费用为34×20=680元.
故答案为：680
【分析】利用勾股定理求出AB的长，利用平移的性质可得到地毯的长，由此可求出地毯的面积，然后求出铺完这个楼道的费用.
14．（2023·陕西）如图，在矩形中，，点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，若则线段的长为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接，
四边形是矩形，，
，，，
，
，
，
，
点、点关于对称，
点在上，，，
，
，
，
，即点 、 、三点共线且，，
四边形是矩形，
，，
， ，
，
，
故答案为：.
【分析】观察图形可发现PM、PN的关系类似于将军饮马模型中的图形特点，故作点N的对称点，然后可得出点M、P、N'三点共线这一结果，再利用矩形的性质求PC的长.
15．（2024九上·简阳期末）如图1，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图2），则　 　；然后将绕点旋转到，当过点时旋转停止，则的长度为　 　．
【答案】2；
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】在矩形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AB=CD=10，AD=BC=12，
由折叠的性质可得AB=BE，∠BEF=90°，
四边形ABEF是矩形，∠CEF=180°-90°=90°，
AB=BE，
四边形ABEF是正方形，
AB=BE=EF=AF=10，
DF=BC-BE=2，
由勾股定理可得
连接CF，如图，
由旋转的性质可得∠BEF=∠CNF=90°，EF=NF，
CF=CF，
CN=CE=2，EF=NF=10，
C、D在EN的垂直平分线上，
CF⊥EN，
四边形ECNE的面积为
解得，
【分析】先证明四边形ABEF是正方形，得到AB=BE=EF=AF=10，DF=BC-BE=2，连接CF，利用勾股定理求得CF的值以及旋转的性质，通过HL证明，从而得到CN=CE=2，EF=NF=10，证明C、D在EN的垂直平分线上，最后利用四边形ECNE的面积为代入数据计算即可求解.
三、解答题
16．（2023八下·仓山期中）如图，在中，点E，F在对角线上，且，连接，，求证：.
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，由二直线平行，内错角相等，得∠DAF=∠BCE，从而根据SAS判断出△ADF≌△CBE，由全等三角形的对应边相等得BE=DF.
17．（2023九上·北京市开学考） 已知：如图，、分别是 的边、上的点，且．
求证：．
【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】结合图形分析，要证明的两线段所在的四边形目测就是平行四边形，可把问题转化为证平行四边形；已知一组对边平行，“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，需再证明另一组对边平行，根据平行线的性质得到相等的内错角，再由已知的等角进行等量代换，可以用同位角相等两直线平行的定理判定四边形的一组对边平行，整理思路即可。
18．（2022八上·江干期中）如图，在△CBD中，CD＝BD，CD⊥BD，BE平分∠CBA交CD于点F，CE⊥BE垂足是E，CE与BD交于点A，求证，
（1）BF＝AC；
（2）BE是AC的中垂线；
（3）若AD＝2，求BD的长．
【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDF＝∠ADC＝∠AEB＝90°，
∵∠DBF+∠A＝90°，∠DCA+∠A＝90°，
∴∠DBF＝∠DCA，
∵BD＝CD，
∴△BDF≌△CDA（SAS），
∴BF＝AC．
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠BEA＝∠BEC＝90°，
∴∠A+∠ABE＝90°，∠BCA+∠CBE＝90°，
∴∠A＝∠BCA，
∴BC＝BA，
∵BE⊥AC，
∴CE＝EA，
∴BE是AC的中垂线．
（3）解：连接AF．
∵△BDF≌△CDA，
∴AD＝DF＝2，AF＝2，
∵BE垂直平分AC，
∴CF＝AF＝2，
∴BD＝CD＝2+2，
∴AB＝BD+AD＝3+2．
【知识点】勾股定理；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用垂直可得∠DBF+∠A＝90°，∠DCA+∠A＝90°，再根据同角的余角相等，所以∠DBF＝∠DCA，进而证明△BDF≌△CDA，求得 BF＝AC ；
(2)根据平分线和垂直，得到∠A＝∠BCA，所以BC＝BA，又BE⊥AC，所以BE是AC的中垂线；
(3)根据全等AD＝DF=2，再根据勾股定理得AF，由(2)知CF=AF=2， 可知CD=CF+DF=2+2. 最后BD=CD=2+2.
四、实践探究题
19．（2023八下·双鸭山期中）阅读材料，解答下面问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方2倍的三角形叫做奇异三角形．
（1）理解并填空：
①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定　 　（填“是”或“不是”）奇异三角形；
②若某三角形的三边长分别为1，，2，则该三角形　 　（填“是”或“不是”）奇异三角形；
（2）探究：在中，两边长分别是a，c，且，，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．
【答案】（1）是；是
（2）解：当c为斜边时，则，
由于，
故不是奇异三角形；
当b为斜边时，，
则有，
所以是奇异三角形．
答：当c为斜边时，不是奇异三角形；当b为斜边时，是奇异三角形．
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：（1）设等边三角形的边长为a，则， 所以等边三角形一定是奇异三角形 ；
因为，所以三边长分别为1，，2 的三角形是奇异三角形，
故答案为：是，是；
【分析】（1）直接根据奇异三角形的定义判断即可；
（2）分类讨论：①当c为斜边时，先根据勾股定理算出b2的值，再根据奇异三角形的定义进行判断；②当b为斜边时，先根据勾股定理算出b2的值，再根据奇异三角形的定义进行判断，综上即可得出答案.
20．（2023八上·清新期中）综合与实践
问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离BC＝7m，∠DCE＝90°．
（1）独立思考：
这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？
（2）深入探究：
消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A′位置上（云梯长度不改变），AA′＝4m，那么它的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′也是4m吗？若是，请说明理由；若不是，请求出BB′的长度．
（3）问题解决：
在演练中，高24.3m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24.3m高的墙头去救援被困人员？
【答案】（1）解：在Rt△ACB中，
∴AC＝＝＝24m，
答：这架云梯顶端距地面的距离AC有24m；
（2）解：云梯的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′不是4m．理由如下：
由（1）可知AC＝24m，
∴A′C＝AC-AA′＝24-4＝20m．
在Rt△A′CB′中，
∴，
∴BB′＝CB′-BC＝15-7＝8m，
∴云梯的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′不是4m；
（3）解：若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的，
则能够到达墙面的最大高度为．
∵24.32＝590.49＜600，
∴，
∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达24.3m高的墙头去救援被困人员．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）在Rt△ACB中，利用勾股定理求得AC的长；
（2）首先求得m，然后利用勾股定理求得线段m，由BB′＝CB′-BC，计算可得答案；
（3）根据题意求出能够到达墙面的最大高度，再进行比较即可得出结论．
五、综合题
21．（2023八下·大冶期中）如图，在 中，点、分别在、上，与相交于点，且.
（1）求证：≌；
（2）连接，，求证：四边形是平行四边形.
【答案】（1）解：在 中，，
，，
，
≌（AAS）；
（2）解：如图，
≌；
，
，
四边形是平行四边形.
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，由平行线的性质可得∠FAO=∠ECO，∠AFO=∠CEO，由已知条件可知AO=CO，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得OF=OE，然后根据平行四边形的判定定理进行证明.
22．（2023·杨浦模拟）已知：如图，在中，，点D是边的中点，，联结．
（1）求证：；
（2）如果平分，求证：．
【答案】（1）证明：∵ ，点D是边 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴
（2）证明：延长 交 的延长线于点F，
∵ ， 平分 ，
∴
∵
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴
∴ ，
∵点D是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据题意得到 ，再根据平行线的性质得到 ，接着结合题意即可得到 ，再运用三角形全等的判定证明即可求解；
（2）延长 交 的延长线于点F，先根据三角形全等的性质得到，再运用等腰三角形的性质得到 ，接着运用三角形全等的判定与性质证明，进而得到 ，再根据三角形中位线定理即可得到 ，再运用平行四边形的判定与性质得到 ，进而即可求解。
23．（2023七下·小店期中）
（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点．
【答案】（1）解：如图1，
∵直线l，直线l，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：．
如图2，
证明如下：
∵，
∴，
∴，
在和中．
．
∴，
∴，
∴；
（3）证明：过E作于M，的延长线于N．
∴，
由（1）和（2）的结论可知，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴I是的中点．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先根据三角形全等的判定与性质证明，进而得到，从而即可得到；（2），如图2，证明如下：先根据题意得到，进而得到，然后根据三角形全等的判定与性质证明，再结合题意即可求解；
（3）过E作于M，的延长线于N，进而得到，再根据（1）结合题意得到，然后运用三角形全等的判定与性质即可得到，进而即可求解。
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