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浙教版七（下）数学第三章 整式的乘除 单元测试培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．计算的结果为（　　）
A．2ab B．1 C．a-b D．a+b
【答案】B
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：原式.
故答案为：B.
【分析】先根据完全平方公式展开小括号，然后合并中括号内的同类项，进而根据单项式除以单项式法则计算可得答案.
2．（2025七下·福田期中）已知，则代数式的值为（　　）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴原式，
故答案为：D．
【分析】先根据多项式乘法法则计算得x2+3x-4，再乘以2将多项式整理为x(x+3)，再整体代入相应的值运算即可解答．
3．（2025七下·新田期中）若的计算结果中不含的二次项，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
，
∵的积中不含x的二次项，
，
解得：．
故答案为：A．
【分析】先根据多项式乘多项式的法则先把原式展开，再令x的二次项为零得到一元一次方程求解即可．
4．（2026七上·北京期末）如图1，长方形的长为2a，宽为3b（a>b），用剪刀沿图中虚线剪成六个相同的小长方形，然后按照图2的方式拼成一个新的长方形，则下列代数式不能表示图中阴影部分面积的是（　　）
A．（a-b）（a-2b） B．a（a+2b）-5ab
C． D．（a+b）（2b+a）-6ab
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：如图，
，故能表示图中阴影部分面积，Ａ错误.
如图，
，故不能表示图中阴影部分面积，故B正确.
如图，
，故能表示图中阴影部分面积，故Ｃ错误.
如图，
，故能表示图中阴影部分面积，故D错误.
故答案为：Ｂ.
【分析】A、阴影部分可以看成一个长为，宽为的长方形的面积即可，可判断A.
B、阴影部分的面积是一个长为，宽为a的长方形面积，减去2个长为，宽为2b的长方形面积，再减去3个长为a，宽为b的长方形面积，即可得，可判断B.
C、阴影部分的面积等于一个边长为a的正方形面积，减去2个长为a，宽为b的长方形面积，再减去一个长为，宽为b的长方形面积，得，可判断C.
D、阴影部分的面积等于一个长为，宽为的长方形面积减去6个长为a，宽为b的长方形面积得，可判断D.
5．我们定义：＝ab＋c，＝pm·qn.若＝27，则的值为(　　)
A．4 B．16 C．64 D．256
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：∵ ＝ab＋c
∴=3x+2y=27=33，
∴x+2y=3，
∵ ＝pm·qn
∴=16y·4x
=(42)y·4x
=42y+x
=43
=64.
故选：C.
【分析】根据三角形和四边形所定义的运算规则，分别计算出x、y的值，再代入四边形的运算中求解.
6．（2018七下·苏州期中）若(x2＋px＋q)(x－2)展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（　　）
A．p＝2q B．q＝2p C．p＋2q＝0 D．q＋2p＝0
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解 ：∵(x2＋px＋q)(x－2)=x3-2x2+px2-2px+qx-2q=x3-(2-p)x2-(2p-q)x-2q
又∵(x2＋px＋q)(x－2)展开后不含x的一次项
∴-2p+q=0
∴2p=q
【分析]根据多项式乘以多项式的乘法法则，先展开括号，然后合并同类项，再根据(x2＋px＋q)(x－2)展开后不含x的一次项从而得出-2p+q=0，进而得出答案。
7．（2025·厦门自主招生）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（　　）
A．1 B．4 C．11 D．12
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：，
，且、、为整数，
，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
的可能值为 ， ， ， ， ， ，其中最大值为 ．
故答案为：C .
【分析】由因式分解形式可得 且，其中 、为整数． 列举所有满足，计算，并找出最大值．
8．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图①所示的“表格算法”，图①表示132×23，运算结果为3 036.图②表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图②中现有数据进行推断，正确的是（　　)
　　　　　　　　　
A．“20”左边的数是16
B．“20”右边的“”表示5
C．运算结果小于6 000
D．运算结果可以表示为4 100a＋1 025
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：设一个三位数与一个两位数分别为100x＋10y＋z和10m＋n.
如图①，则由题意得mz＝20，nz＝5，ny＝2，nx＝a，
所以＝4，即m＝4n.
易知n＜，且x，y，z，m，n都是0～9中的整数，
当n＝2时，z＝2.5，2.5不是正整数，不符合题意，故舍去；
当n＝1时，y＝2，z＝5，m＝4，x＝a，如图②.
所以“20”左边的数是2×4＝8，故选项A不符合题意；
“20”右边的“”表示4，故选项B不符合题意；
由题意可得，a上面的数应为4a，如图③.
所以运算结果可以表示为1 000(4a＋1)＋100a＋25＝4 100a＋1 025，所以选项D符合题意；
当a＝2时，计算的结果大于6 000，故选项C不符合题意，
故选D.
【分析】设一个三位数与一个两位数分别为：100x+10y+z和10m+n，则mz=15，nz=5，ny=4，nx=a，a，即m=3n，可确定n=1，y=4时，则m=3，z=5，x=a，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：1000(1+3a)+100(3+a)+95=3100a+1395，故可判断CD选项.
9．（2024七下·义乌期末）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：由图可知，长方形的长为，宽为，
，
，
，
，
，，
，
，
解得，即，
故答案为：C．
【分析】先分别用含a，b，c的式子表示出，，，，求出，，再代入中，化简得出，即可求解.
10．（2024七下·南浔期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（　　）
①小长方形的较长边为；
②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系；整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm，
∴小长方形的长为，说法①符合题意；
∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm，
∴阴影A的较短边为，
阴影B的较短边为，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的周长为，
阴影B的周长为，
∴阴影A和阴影B的周长之和为，
∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的面积为，
阴影B的面积为，
∴阴影A和阴影B的面积之和为
，
当时，，说法④符合题意，
综上所述，正确的说法有①③④，共3个，
故答案为：B．
【分析】观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为(y-12)cm，阴影A的较长边为(y-12)cm，较短边为(x-8)cm，阴影B的较长边为12cm，较短边为(x-y+12)cm，然后根据整式加法法则、多项式乘多项式法则及单项式乘多项式运算法则分别计算后即可逐一判断得出答案.
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（2025七下·余姚期中）诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”，什么是阿秒？1阿秒是10-18秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一，目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒，将43阿秒用科学记数法表示为　 　秒.
【答案】4.3×10-17
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵1阿秒是10-18秒，
∴43阿秒=43×10-18=4.3×10-17
故答案为：4.3×10-17.
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂.
12．（2025七下·南县期中）已知，则　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【分析】先根据同底数幂的乘法化简，得到关于的方程，再求解出的值即可．
13．（2025七下·双峰期中）已知，代数式　 　．
【答案】2025
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴
．
故答案为：2025．
【分析】先利用完全平方公式进行展开，再整体代入求值即可．
14．（2025七下·竞赛）小天同学在课下研究两个有理数x和y，他发现若计算x+y，x-y，xy，x÷y的值，有三个结果恰好相同，请你帮小天算一算(2x)y+4的值是　 　.
【答案】±1
【知识点】整式的混合运算；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵y≠0，
∴x+y≠x-y，
∵x+y，x-y，xy，x÷y的值有三个结果恰好相同，
∴xy=x÷y，
∴x=0或y=±1.
当x=0时，x+y=y，x-y=-y，xy=0，x÷y=0，
∴此时不能有三个结果恰好相同；
当y=1时，x+y=x+1，x-y=x-1，xy=x，x÷y=x，
∴此时不能有三个结果恰好相同；
当y=-1时，x+y=x-1，x-y=x+1，xy=-x，x÷y=-x，
∴x-1=-x或x+1=-x，
∴或
当时，(2x)y+4=1；
当时，(2x)y+4=-1
综上所述，结果为±1.
故答案为：±1.
【分析】由题意可知x=0或y=±1，再分别对x、y的值进行讨论，可得y=-1，或，即可求解.
15．（2024七下·武侯月考）已知多项式为被除式，除式为，商式为，余式为1，则这个多项式为　 　．
【答案】
【知识点】整式的混合运算；多项式除以单项式
【解析】【解答】根据题意可得：，
∴x3-2x2+ax-1=bx3-（b+1）x2+（2b+1）x-1，
∴b=1，a=2b+1，
∴b=1，a=3，
∴=，
故答案为：.
【分析】根据题意可得，再利用待定系数法可得b=1，a=2b+1，求出a的值，即可得到=，从而得解.
16．（2025七下·嵊州期末） 图 1 是把两个边长为 的正方形纸片和一个边长为 的正方形纸片放置在长方形内，图 2 是把两个边长为 的正方形纸片和一个边长为 的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分. 设图 1 阴影部分面积为 ，图 2 阴影部分面积为 . 若 ，，则 =　 　（用含 m 的代数式表示）.
【答案】
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设 ，
.
.
故答案为： .
【分析】根据图形和题目中的数据，可以表示出S1和S2，然后作差化简即可得到答案．
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2024·七下成都期中） 已知x2﹣3x+1＝0．
（1）求的值；
（2）求x3﹣2x2﹣2x+2024的值．
【答案】（1）解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴x﹣3+＝0，
∴x+＝3，
∴（x+）2＝9，
∴x2+2+ ＝9，
∴x2+ ＝7；
（2）解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2﹣3x＝﹣1，x2＝3x﹣1，
∴x3﹣2x2﹣2x+2024
＝x（x2﹣2x﹣2）+2024
＝x（3x﹣1﹣2x﹣2）+2024
＝x（x﹣3）+2024
＝x2﹣3x+2024
＝﹣1+2024
＝2023．
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式值的实际应用
【解析】【分析】（1）首先将x2﹣3x+1＝0 根据等式性质变形为x﹣3+＝0，得到x+＝3，然后根据完全平方公式可得再把x+＝3代入计算即可；
（2）由，变形得， 将化简求值，然后将， 代入式子中进行计算即可求解。
18．（2025七下·高州期中）已知，B是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，试求
（1）的值；
（2）的值．
【答案】（1）解：由题意得：，
，
．
（2）解：由（1）可得，∴．
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式；整式的混合运算；多项式除以单项式
【解析】【分析】本题考查整式的乘除和加减运算。
(1)根据除法的逆运算，“被除数=商×除数”，用乘以错误计算的商可求出多项式，再将与进行整式的加法运算，合并同类项后得到的结果；
(2)先根据积的乘方计算，再计算，最后进行整式的减法运算，合并同类项得到的结果。
（1）解：由题意得：，
，
．
（2）解：由（1）可得，
∴．
19．（2024七下·耒阳月考）计算：
①
②
【答案】解：①
．
②
．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】①添一个，从而和凑成平方差，然后再连续运用平方差公式进行计算即可．
②添加，然后根据平方差公式进行计算即可．
20．（2025七下·碧江期中）我们在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为．
请你参考上面的计算方法，解答下列问题：
（1）计算求所得多项式的一次项系数；
（2）如果计算所得多项式中不含一次项，求常数的值．
【答案】（1）解：所得多项式的一次项系数为：
.
（2）解：根据题意，一次项系数，
依据题意：
解得：．
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法列出算式求解即可；
（2）先利用题干中的定义及计算方法列出算式求出一次项系数可得12a+30，再结合“ 多项式中不含一次项 ”可得，最后求出a的值即可.
（1）解：所得多项式的一次项系数为：
；
（2）根据题意，一次项系数，
依据题意：
解得：．
21．（2025七下·武侯期中）在图1中，三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
（1）根据图2中的阴影部分面积关系直接写出下列代数式，，之间的数量关系： 　；
（2）根据完全平方公式的变形，解决下列问题：
①已知，，求和的值；
②已知，则的值为 ．
【答案】（1）
（2）解：①，
，
；
②
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）观察图形，整个图2的面积为，阴影部分面积为，空白面积为，
根据整个图2的面积阴影部分面积空白部分面积，
即可得：．
故答案为：．
（2）②设，，则，
根据题意可得：，
，
即．
故答案为：15.
【分析】（1）整个图2的面积为，阴影部分面积为，空白面积为，根据面积关系列出式子即可；
（2）①根据完全平方公式的变形求解即可；
②根据完全平方公式的变形计算求解即可．
（1）解：观察图形，整个图2的面积为，阴影部分面积为，空白面积为，
根据整个图2的面积阴影部分面积空白部分面积，
即可得：．
（2）①，
，
；
②设，，则，
根据题意可得：，
，
即．
22．（2025七下·福田期中）【问题探究】
把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式：
（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来：______．
（2）利用（1）中所得到的结论，
已知，，求的值．
（3）如图3，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和．
①用含，的式子表示阴影部分的面积______
②若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）解：，
.

（3）①；
②由①知阴影部分面积为，
原式.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【解答】（1）解：由图可知：．
故答案为：.
（3）①
故答案为：.
【分析】（1）结合图形并利用长方形的面积公式列出代数式即可得到等式；
（2）利用（1）的等式直接求解即可；
（3）①利用三角形的面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可；
②利用直接代入计算即可.
（1）解：由图可知：．
故答案为：
（2）解：，
（3）解：①
②由①知阴影部分面积为，
原式
23．（2025七下·深圳期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张， B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片　 　张．
（2）根据所学知识，解决如下问题：
已知： ，，的值为　 　；
小明在数学课外书上看到了这样一道题：如果x满足． 求 的值，怎么解决呢？
小英给出了如下两种方法：
方法1∶ 设，则；
，
，
，
，
，
；
方法2：
∵，
，
，
．
（3）任务：
请你用材料中两种方法中的一种解答问题：若 ，求 的值．
（4）如图，在长方形中，，， E ， F分别是上的点，且 ，分别以为边在长方形外侧作正方形和若长方形的面积为 40，则图中阴影部分的面积和为　 　．
【答案】（1）3
（2）12
（3）解：方法1：设，
∴，
∵，
∴，
∴
；
方法2：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
；
（4）144
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）∵=a2+ab+2ab+2b2=a2+3ab+2b2，
∴ 要拼出一个面积为的长方形， 需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张。
故答案为：3；
（2）∵，
∴（a+b)2==49
∵，
∴2ab=49-25，
∴ab=12；
故第1空答案为：12；
（4）∵，，，
∴CF=14-x，CE=6-x，
∴长方形的面积=（14-x）（6-x）=40
∴x2-20x+44=0，
∴x2-20x=-44，
∴ 图中阴影部分的面积和 =（14-x）2+（6-x）2=2x2-40x+232=2(x2-20x)+232=-2×44+232=144.
故答案为：144.
【分析】（1）=a2+3ab+2b2，即可得出 C号卡片 3张；
（2）根据完全平方公式（a+b)2=，进行适当变形，即可得出的值 ；
方法1： 设， 已知条件则为mn=3，m+n=4，然后根据完全平方公式，进行适当变形即可求得m2+n2，即为的值 ；
方法2：由， 通过计算变形为：，要求的式子变形为2（x2-8x)+40，然后整体代入求值即可得出结果；
（3）方法1：，根据完全平方公式（a+b)2=，进行适当变形，即可求得结果；
方法2：由，得，再把要求的式子变形为，再整体代入求值即可得出结果；
（4）由题意可知：已知（14-x）（6-x）=40，要求（14-x）2+（6-x）2，根据（2）的方法2，首先由已知条件变形为：x2-20x=-44，然后再把要求的式子变形为2(x2-20x)+232，再整体代入求值，即可得出答案。
24．如图 1， 将一个长为 ， 宽为 的长方形， 沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形， 然后用四块小长方形拼成如图 2 的正方形．
（1） 由图 2 可以直接写出 之间的一个等量关系：　 　
（2） 根据 (1) 中的结论，解决下列问题： ， 求 的值．
（3） 两个正方形 如图 3 摆放， 边长分别为 ． 若 ，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）(a+b)2=(a-b)2+4ab
（2）解：∵3x+4y=10，
∴(3x+4y)2=100，
∵(3x-4y)2=(3x+4y)2-48xy，xy=2，
∴(3x-4y)2=100-96=4，
∴3x-4y=±2；
（3）解：∵四边形ABCD、AEFG都是正方形，边长分别为x、y，BE=2，
∴DG=BE=2，即x-y=2，x＞0，y＞0，
∴(x-y)2=4，即x2-2xy+y2=4，x+y＞0，
又∵x2+y2=34，
∴34-2xy=4，
∴xy=15，
∴(x+y)2=x2+2xy+y2=64，
∴x+y=8，
∴S阴影=S△CDF+S△BEF=.
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图2是一个边长为(a+b)的正方形，其面积为(a+b)2；
图2是由长为b，宽为a的四个小长方形及一个边长为(b-a)的小正方形密铺而成的，∴其面积为(b-a)2+4ab，
∴(a+b)2=(b-a)2+4ab，
即(a+b)2=(a-b)2+4ab；
故答案为：(a+b)2=(a-b)2+4ab；
【分析】（1）根据大正方形的面积等于四个小矩形的面积与一个小正方形的面积之和即可得出结论；
（2）由已知条件可得(3x+4y)2=100，进而根据（1）的结论可得(3x-4y)2=(3x+4y)2-48xy，从而整体代入计算后再开平方即可；
（3）由正方形的性质得DG=BE=2，即x-y=2，x＞0，y＞0，则(x-y)2=4，即x2-2xy+y2=4，x+y＞0，结合已知可求出xy=15，进而根据(x+y)2=x2+2xy+y2代入计算后再开平方可得x+y=8，最后根据S阴影=S△CDF+S△BEF结合三角形面积计算公式列式计算化简后整体代入可得答案.
1 / 1浙教版七（下）数学第三章 整式的乘除 单元测试培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．计算的结果为（　　）
A．2ab B．1 C．a-b D．a+b
2．（2025七下·福田期中）已知，则代数式的值为（　　）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
3．（2025七下·新田期中）若的计算结果中不含的二次项，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2026七上·北京期末）如图1，长方形的长为2a，宽为3b（a>b），用剪刀沿图中虚线剪成六个相同的小长方形，然后按照图2的方式拼成一个新的长方形，则下列代数式不能表示图中阴影部分面积的是（　　）
A．（a-b）（a-2b） B．a（a+2b）-5ab
C． D．（a+b）（2b+a）-6ab
5．我们定义：＝ab＋c，＝pm·qn.若＝27，则的值为(　　)
A．4 B．16 C．64 D．256
6．（2018七下·苏州期中）若(x2＋px＋q)(x－2)展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（　　）
A．p＝2q B．q＝2p C．p＋2q＝0 D．q＋2p＝0
7．（2025·厦门自主招生）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（　　）
A．1 B．4 C．11 D．12
8．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图①所示的“表格算法”，图①表示132×23，运算结果为3 036.图②表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图②中现有数据进行推断，正确的是（　　)
　　　　　　　　　
A．“20”左边的数是16
B．“20”右边的“”表示5
C．运算结果小于6 000
D．运算结果可以表示为4 100a＋1 025
9．（2024七下·义乌期末）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024七下·南浔期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（　　）
①小长方形的较长边为；
②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（2025七下·余姚期中）诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”，什么是阿秒？1阿秒是10-18秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一，目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒，将43阿秒用科学记数法表示为　 　秒.
12．（2025七下·南县期中）已知，则　 　．
13．（2025七下·双峰期中）已知，代数式　 　．
14．（2025七下·竞赛）小天同学在课下研究两个有理数x和y，他发现若计算x+y，x-y，xy，x÷y的值，有三个结果恰好相同，请你帮小天算一算(2x)y+4的值是　 　.
15．（2024七下·武侯月考）已知多项式为被除式，除式为，商式为，余式为1，则这个多项式为　 　．
16．（2025七下·嵊州期末） 图 1 是把两个边长为 的正方形纸片和一个边长为 的正方形纸片放置在长方形内，图 2 是把两个边长为 的正方形纸片和一个边长为 的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分. 设图 1 阴影部分面积为 ，图 2 阴影部分面积为 . 若 ，，则 =　 　（用含 m 的代数式表示）.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2024·七下成都期中） 已知x2﹣3x+1＝0．
（1）求的值；
（2）求x3﹣2x2﹣2x+2024的值．
18．（2025七下·高州期中）已知，B是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，试求
（1）的值；
（2）的值．
19．（2024七下·耒阳月考）计算：
①
②
20．（2025七下·碧江期中）我们在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为．
请你参考上面的计算方法，解答下列问题：
（1）计算求所得多项式的一次项系数；
（2）如果计算所得多项式中不含一次项，求常数的值．
21．（2025七下·武侯期中）在图1中，三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
（1）根据图2中的阴影部分面积关系直接写出下列代数式，，之间的数量关系： 　；
（2）根据完全平方公式的变形，解决下列问题：
①已知，，求和的值；
②已知，则的值为 ．
22．（2025七下·福田期中）【问题探究】
把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式：
（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来：______．
（2）利用（1）中所得到的结论，
已知，，求的值．
（3）如图3，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和．
①用含，的式子表示阴影部分的面积______
②若，，求阴影部分的面积．
23．（2025七下·深圳期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张， B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片　 　张．
（2）根据所学知识，解决如下问题：
已知： ，，的值为　 　；
小明在数学课外书上看到了这样一道题：如果x满足． 求 的值，怎么解决呢？
小英给出了如下两种方法：
方法1∶ 设，则；
，
，
，
，
，
；
方法2：
∵，
，
，
．
（3）任务：
请你用材料中两种方法中的一种解答问题：若 ，求 的值．
（4）如图，在长方形中，，， E ， F分别是上的点，且 ，分别以为边在长方形外侧作正方形和若长方形的面积为 40，则图中阴影部分的面积和为　 　．
24．如图 1， 将一个长为 ， 宽为 的长方形， 沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形， 然后用四块小长方形拼成如图 2 的正方形．
（1） 由图 2 可以直接写出 之间的一个等量关系：　 　
（2） 根据 (1) 中的结论，解决下列问题： ， 求 的值．
（3） 两个正方形 如图 3 摆放， 边长分别为 ． 若 ，求图中阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：原式.
故答案为：B.
【分析】先根据完全平方公式展开小括号，然后合并中括号内的同类项，进而根据单项式除以单项式法则计算可得答案.
2．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴原式，
故答案为：D．
【分析】先根据多项式乘法法则计算得x2+3x-4，再乘以2将多项式整理为x(x+3)，再整体代入相应的值运算即可解答．
3．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
，
∵的积中不含x的二次项，
，
解得：．
故答案为：A．
【分析】先根据多项式乘多项式的法则先把原式展开，再令x的二次项为零得到一元一次方程求解即可．
4．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：如图，
，故能表示图中阴影部分面积，Ａ错误.
如图，
，故不能表示图中阴影部分面积，故B正确.
如图，
，故能表示图中阴影部分面积，故Ｃ错误.
如图，
，故能表示图中阴影部分面积，故D错误.
故答案为：Ｂ.
【分析】A、阴影部分可以看成一个长为，宽为的长方形的面积即可，可判断A.
B、阴影部分的面积是一个长为，宽为a的长方形面积，减去2个长为，宽为2b的长方形面积，再减去3个长为a，宽为b的长方形面积，即可得，可判断B.
C、阴影部分的面积等于一个边长为a的正方形面积，减去2个长为a，宽为b的长方形面积，再减去一个长为，宽为b的长方形面积，得，可判断C.
D、阴影部分的面积等于一个长为，宽为的长方形面积减去6个长为a，宽为b的长方形面积得，可判断D.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：∵ ＝ab＋c
∴=3x+2y=27=33，
∴x+2y=3，
∵ ＝pm·qn
∴=16y·4x
=(42)y·4x
=42y+x
=43
=64.
故选：C.
【分析】根据三角形和四边形所定义的运算规则，分别计算出x、y的值，再代入四边形的运算中求解.
6．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解 ：∵(x2＋px＋q)(x－2)=x3-2x2+px2-2px+qx-2q=x3-(2-p)x2-(2p-q)x-2q
又∵(x2＋px＋q)(x－2)展开后不含x的一次项
∴-2p+q=0
∴2p=q
【分析]根据多项式乘以多项式的乘法法则，先展开括号，然后合并同类项，再根据(x2＋px＋q)(x－2)展开后不含x的一次项从而得出-2p+q=0，进而得出答案。
7．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：，
，且、、为整数，
，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
的可能值为 ， ， ， ， ， ，其中最大值为 ．
故答案为：C .
【分析】由因式分解形式可得 且，其中 、为整数． 列举所有满足，计算，并找出最大值．
8．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：设一个三位数与一个两位数分别为100x＋10y＋z和10m＋n.
如图①，则由题意得mz＝20，nz＝5，ny＝2，nx＝a，
所以＝4，即m＝4n.
易知n＜，且x，y，z，m，n都是0～9中的整数，
当n＝2时，z＝2.5，2.5不是正整数，不符合题意，故舍去；
当n＝1时，y＝2，z＝5，m＝4，x＝a，如图②.
所以“20”左边的数是2×4＝8，故选项A不符合题意；
“20”右边的“”表示4，故选项B不符合题意；
由题意可得，a上面的数应为4a，如图③.
所以运算结果可以表示为1 000(4a＋1)＋100a＋25＝4 100a＋1 025，所以选项D符合题意；
当a＝2时，计算的结果大于6 000，故选项C不符合题意，
故选D.
【分析】设一个三位数与一个两位数分别为：100x+10y+z和10m+n，则mz=15，nz=5，ny=4，nx=a，a，即m=3n，可确定n=1，y=4时，则m=3，z=5，x=a，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：1000(1+3a)+100(3+a)+95=3100a+1395，故可判断CD选项.
9．【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：由图可知，长方形的长为，宽为，
，
，
，
，
，，
，
，
解得，即，
故答案为：C．
【分析】先分别用含a，b，c的式子表示出，，，，求出，，再代入中，化简得出，即可求解.
10．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系；整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm，
∴小长方形的长为，说法①符合题意；
∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm，
∴阴影A的较短边为，
阴影B的较短边为，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的周长为，
阴影B的周长为，
∴阴影A和阴影B的周长之和为，
∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的面积为，
阴影B的面积为，
∴阴影A和阴影B的面积之和为
，
当时，，说法④符合题意，
综上所述，正确的说法有①③④，共3个，
故答案为：B．
【分析】观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为(y-12)cm，阴影A的较长边为(y-12)cm，较短边为(x-8)cm，阴影B的较长边为12cm，较短边为(x-y+12)cm，然后根据整式加法法则、多项式乘多项式法则及单项式乘多项式运算法则分别计算后即可逐一判断得出答案.
11．【答案】4.3×10-17
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵1阿秒是10-18秒，
∴43阿秒=43×10-18=4.3×10-17
故答案为：4.3×10-17.
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂.
12．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【分析】先根据同底数幂的乘法化简，得到关于的方程，再求解出的值即可．
13．【答案】2025
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴
．
故答案为：2025．
【分析】先利用完全平方公式进行展开，再整体代入求值即可．
14．【答案】±1
【知识点】整式的混合运算；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵y≠0，
∴x+y≠x-y，
∵x+y，x-y，xy，x÷y的值有三个结果恰好相同，
∴xy=x÷y，
∴x=0或y=±1.
当x=0时，x+y=y，x-y=-y，xy=0，x÷y=0，
∴此时不能有三个结果恰好相同；
当y=1时，x+y=x+1，x-y=x-1，xy=x，x÷y=x，
∴此时不能有三个结果恰好相同；
当y=-1时，x+y=x-1，x-y=x+1，xy=-x，x÷y=-x，
∴x-1=-x或x+1=-x，
∴或
当时，(2x)y+4=1；
当时，(2x)y+4=-1
综上所述，结果为±1.
故答案为：±1.
【分析】由题意可知x=0或y=±1，再分别对x、y的值进行讨论，可得y=-1，或，即可求解.
15．【答案】
【知识点】整式的混合运算；多项式除以单项式
【解析】【解答】根据题意可得：，
∴x3-2x2+ax-1=bx3-（b+1）x2+（2b+1）x-1，
∴b=1，a=2b+1，
∴b=1，a=3，
∴=，
故答案为：.
【分析】根据题意可得，再利用待定系数法可得b=1，a=2b+1，求出a的值，即可得到=，从而得解.
16．【答案】
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设 ，
.
.
故答案为： .
【分析】根据图形和题目中的数据，可以表示出S1和S2，然后作差化简即可得到答案．
17．【答案】（1）解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴x﹣3+＝0，
∴x+＝3，
∴（x+）2＝9，
∴x2+2+ ＝9，
∴x2+ ＝7；
（2）解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2﹣3x＝﹣1，x2＝3x﹣1，
∴x3﹣2x2﹣2x+2024
＝x（x2﹣2x﹣2）+2024
＝x（3x﹣1﹣2x﹣2）+2024
＝x（x﹣3）+2024
＝x2﹣3x+2024
＝﹣1+2024
＝2023．
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式值的实际应用
【解析】【分析】（1）首先将x2﹣3x+1＝0 根据等式性质变形为x﹣3+＝0，得到x+＝3，然后根据完全平方公式可得再把x+＝3代入计算即可；
（2）由，变形得， 将化简求值，然后将， 代入式子中进行计算即可求解。
18．【答案】（1）解：由题意得：，
，
．
（2）解：由（1）可得，∴．
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式；整式的混合运算；多项式除以单项式
【解析】【分析】本题考查整式的乘除和加减运算。
(1)根据除法的逆运算，“被除数=商×除数”，用乘以错误计算的商可求出多项式，再将与进行整式的加法运算，合并同类项后得到的结果；
(2)先根据积的乘方计算，再计算，最后进行整式的减法运算，合并同类项得到的结果。
（1）解：由题意得：，
，
．
（2）解：由（1）可得，
∴．
19．【答案】解：①
．
②
．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】①添一个，从而和凑成平方差，然后再连续运用平方差公式进行计算即可．
②添加，然后根据平方差公式进行计算即可．
20．【答案】（1）解：所得多项式的一次项系数为：
.
（2）解：根据题意，一次项系数，
依据题意：
解得：．
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法列出算式求解即可；
（2）先利用题干中的定义及计算方法列出算式求出一次项系数可得12a+30，再结合“ 多项式中不含一次项 ”可得，最后求出a的值即可.
（1）解：所得多项式的一次项系数为：
；
（2）根据题意，一次项系数，
依据题意：
解得：．
21．【答案】（1）
（2）解：①，
，
；
②
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）观察图形，整个图2的面积为，阴影部分面积为，空白面积为，
根据整个图2的面积阴影部分面积空白部分面积，
即可得：．
故答案为：．
（2）②设，，则，
根据题意可得：，
，
即．
故答案为：15.
【分析】（1）整个图2的面积为，阴影部分面积为，空白面积为，根据面积关系列出式子即可；
（2）①根据完全平方公式的变形求解即可；
②根据完全平方公式的变形计算求解即可．
（1）解：观察图形，整个图2的面积为，阴影部分面积为，空白面积为，
根据整个图2的面积阴影部分面积空白部分面积，
即可得：．
（2）①，
，
；
②设，，则，
根据题意可得：，
，
即．
22．【答案】（1）
（2）解：，
.

（3）①；
②由①知阴影部分面积为，
原式.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【解答】（1）解：由图可知：．
故答案为：.
（3）①
故答案为：.
【分析】（1）结合图形并利用长方形的面积公式列出代数式即可得到等式；
（2）利用（1）的等式直接求解即可；
（3）①利用三角形的面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可；
②利用直接代入计算即可.
（1）解：由图可知：．
故答案为：
（2）解：，
（3）解：①
②由①知阴影部分面积为，
原式
23．【答案】（1）3
（2）12
（3）解：方法1：设，
∴，
∵，
∴，
∴
；
方法2：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
；
（4）144
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）∵=a2+ab+2ab+2b2=a2+3ab+2b2，
∴ 要拼出一个面积为的长方形， 需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张。
故答案为：3；
（2）∵，
∴（a+b)2==49
∵，
∴2ab=49-25，
∴ab=12；
故第1空答案为：12；
（4）∵，，，
∴CF=14-x，CE=6-x，
∴长方形的面积=（14-x）（6-x）=40
∴x2-20x+44=0，
∴x2-20x=-44，
∴ 图中阴影部分的面积和 =（14-x）2+（6-x）2=2x2-40x+232=2(x2-20x)+232=-2×44+232=144.
故答案为：144.
【分析】（1）=a2+3ab+2b2，即可得出 C号卡片 3张；
（2）根据完全平方公式（a+b)2=，进行适当变形，即可得出的值 ；
方法1： 设， 已知条件则为mn=3，m+n=4，然后根据完全平方公式，进行适当变形即可求得m2+n2，即为的值 ；
方法2：由， 通过计算变形为：，要求的式子变形为2（x2-8x)+40，然后整体代入求值即可得出结果；
（3）方法1：，根据完全平方公式（a+b)2=，进行适当变形，即可求得结果；
方法2：由，得，再把要求的式子变形为，再整体代入求值即可得出结果；
（4）由题意可知：已知（14-x）（6-x）=40，要求（14-x）2+（6-x）2，根据（2）的方法2，首先由已知条件变形为：x2-20x=-44，然后再把要求的式子变形为2(x2-20x)+232，再整体代入求值，即可得出答案。
24．【答案】（1）(a+b)2=(a-b)2+4ab
（2）解：∵3x+4y=10，
∴(3x+4y)2=100，
∵(3x-4y)2=(3x+4y)2-48xy，xy=2，
∴(3x-4y)2=100-96=4，
∴3x-4y=±2；
（3）解：∵四边形ABCD、AEFG都是正方形，边长分别为x、y，BE=2，
∴DG=BE=2，即x-y=2，x＞0，y＞0，
∴(x-y)2=4，即x2-2xy+y2=4，x+y＞0，
又∵x2+y2=34，
∴34-2xy=4，
∴xy=15，
∴(x+y)2=x2+2xy+y2=64，
∴x+y=8，
∴S阴影=S△CDF+S△BEF=.
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图2是一个边长为(a+b)的正方形，其面积为(a+b)2；
图2是由长为b，宽为a的四个小长方形及一个边长为(b-a)的小正方形密铺而成的，∴其面积为(b-a)2+4ab，
∴(a+b)2=(b-a)2+4ab，
即(a+b)2=(a-b)2+4ab；
故答案为：(a+b)2=(a-b)2+4ab；
【分析】（1）根据大正方形的面积等于四个小矩形的面积与一个小正方形的面积之和即可得出结论；
（2）由已知条件可得(3x+4y)2=100，进而根据（1）的结论可得(3x-4y)2=(3x+4y)2-48xy，从而整体代入计算后再开平方即可；
（3）由正方形的性质得DG=BE=2，即x-y=2，x＞0，y＞0，则(x-y)2=4，即x2-2xy+y2=4，x+y＞0，结合已知可求出xy=15，进而根据(x+y)2=x2+2xy+y2代入计算后再开平方可得x+y=8，最后根据S阴影=S△CDF+S△BEF结合三角形面积计算公式列式计算化简后整体代入可得答案.
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