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浙教版七（下）数学第四章 因式分解 单元测试培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列各式中，分解因式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024七上·中江期中）下列各式去括号或添括号运算正确的是(　　)
A． B．
C． D．
3．（2025八上·潮阳月考）对于任意整数n，多项式都能（　　）
A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被12整除
4．多项式 加上一个单项式后，使它成为一个整式的平方，那么加上的单项式是(　　)
A． B．或
C． D．或 或 或
5．已知x3+x2+x+1=0，则x2 023+x2 022+x2 021+…+x2+x+2的值是(　　)
A．0 B．1 C．-1 D．2
6．（2024七下·石家庄期末）等式“”中的“□”表示的数是（ ）
A．4 B． C．16 D．
7．（2022八上·太原月考）若是完全平方式，则的值是（　　）
A．±10 B．±5 C．10 D．5
8．（2024八上·献县期末）如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图①（图中阴影部分是正方形），将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①，图②中阴影部分的面积分别为4，30，关于甲、乙的说法．甲：图②中新正方形的边长为6；乙：正方形A，B的面积差为16．判断正确的是（　　）
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲和乙都对 D．甲和乙都错
9．小明在抄分解因式的题目时， 不小心漏抄了 的指数，他只知道该数为不大于 5 的正整数，并且能利用平方差公式分解因式， 他抄在作业本上的式子是 ( “ ” 表示漏抄的指数)， 则这个指数可能的结果共有 （　　）
A．1 种 B．2 种 C．3 种 D．4 种
10．（2025八上·海淀期中）在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆.如将因式分解的结果为（x-3）（x+3），取个人年龄作为x的值，当x=13时，x-3=10，x+3=16，由此可以得到数字密码1016.小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（　　）
A．141414 B．141315 C．131413 D．151415
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025八上·江汉期末）多项式4x2+1加上一个单项式能成为一个整式的完全平方，这个单项式是　 　．
12．（2025七上·玉环期中） 已知m（m+n)=12， n（m+n)=24， 则m+n=　 　。
13．已知关于x，y的二元一次方程组则4x2-4xy+y2的值为　 　.
14．（2025八上·东坡期中）已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2025，且a≠b，则abc=　 　
15． 分解因式： 　 　.
16．（2024七下·义乌期末）将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：，
，，当时，多项式有最小值．
已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为　 　．
三、解答题（共8题，共72分）
17．因式分解：
（1）x4- 8x2y2+16y4
（2）（a2+1）2-4a2
（3）a2-2a（b+c） +（b+c）2
（4）（x2-6）2-6（x2-6）+9
18．（2025八上·龙州月考）已知是一个完全平方式，求常数m的值．
19．（2025七下·杭州月考）已知a＝4+n，b＝2+n，n为正整数．
（1）求5a÷5b的值．
（2）利用因式分解说明：2a﹣2b能被24整除．
20．如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形 图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形.
（1）观察图①、图②，当用不同的方法表示图中阴影部分的面积时，可以得出一个因式分解的等式，则这个等式是　 　；
（2）如果大正方形的边长a比小正方形的边长b多3，它们的面积相差57，试利用(1)中得到的等式求a，b的值.
21．（2024七下·宁海期中）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
【知识理解】：
（1）若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为 ；
（2）配方： ；
【知识运用】：
（3）已知，求m，n的值．
22．阅读下列因式分解的过程， 再回答所提出的问题：
（1） 上述因式分解的方法是　 　 法，共应用了　 　 次；
（2） 若分解 ，分解因式得到的结果是　 　
（3）用上述方法分解因式： (其中 为正整数)， 所得的结果是　 　
23．（2024七下·滨江期中）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
（1）分解因式：；
（2）已知，，求的值；
（3）的三边满足，判断的形状并说明理由．
24．（2024七下·慈溪期末）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法：
（1）观察老师的演算后，你认为　　　同学的想法是对的；
（2）已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解；
（3）若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：A、不符合因式分解的定义，故该选项不符合题意；
B、符合因式分解的定义，故该选项符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、不符合因式分解的定义，故该选项不符合题意；
故选：B
【分析】“a2-b2=（a+b）(a-b)”；因式分解是将一个多项式变成几个因式记得形式.
2．【答案】B
【知识点】去括号法则及应用；添括号法则及应用
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
【分析】利用去括号或添括号法则逐项判断解答即可．
3．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，
∵n是任意整数，
∴都能被8整除，
∴多项式都能被8整除．
故答案为：C．
【分析】本题先将9变形为32，然后利用平方差公式变形，合并计算后提取公因数8，最后得到，此时观察最后的计算结果即可得出答案。
4．【答案】D
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：
故选： D.
【分析】可根据 求出中间项或第一项；还可考虑，加上一个单项式后，结果可以是一个单项式，且能写成完全平方形式即可.
5．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：因为
所以
所以
因为
所以x+1=0，
所以x=-1，
所以原式= +(-1)+2=(-1)+2=1.
故选： B.
【分析】根据已知求出x=-1，然后代入代数式计算解题.
6．【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：-4a2+b2
=-（4a2-b2）
=-（2a-b）（2a+b），
即“□”表示的数是-4，
故答案为：B．
【分析】利用平方差公式因式分解即可。
7．【答案】A
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用完全平方式的特征可得。
8．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图①得：
，
∴，
∴，
∴，
∴，（负根舍去）
由图②得：
，
∴，
∴，
∴，
∴图②所示的大正方形的面积
，
∴，（负根舍去），故甲的说法错误；
∴．
故答案为：B．
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据题意列出等式得到，，再根据完全平方公式的变形求出，整体代入解题即可．
9．【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵x2-4y2=x2-（2y）2=（x+2y）（x-2y）；
x4-4y2=（x2）2-（2y）2=（x2+2y）（x2-2y）.
∴符合 这个指数可能的结果共有 2种：2或4.
故选：B.
【分析】根据已知x的指数为不大于 5 的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，结合平方差公式的特点所以x的指数只能是2或者4.
10．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
当ｘ＝14时，，，
∴他设置的密码可能是：141315.
故答案为：Ｂ.
【分析】先把提公因式得，再根据平方差公式得，当ｘ＝14时，，，即可写出可能得密码.
11．【答案】4x4或4x或 4x
【知识点】完全平方式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：∵多项式4x2+1加上一个单项式能成为一个整式的完全平方，
当这个单项式是4x4时，4x4+4x2+1=（2x2+1）2，
当这个单项式是4x时，4x2+1+4x=（2x+1）2；
当这个单项式是-4x时，4x2+1-4x=（2x-1）2．
∴这个单项式是4x4或4x或 4x．
故答案为4x4或4x或 4x．
【分析】根据完全平方式的意义，分添上的项是平方项、中间项，分别求解即可．
12．【答案】±6
【知识点】因式分解﹣提公因式法；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵m(m+n)=12，n(m+n)=24
∴m(m+n)+n(m+n)=12+24.
∴(m+n)(m+n)=36
即(m+n)2=36
∴m+n=±6
故答案为：±6.
【分析】将两式相加得出m(m+n)+n(m+n)=12+24，再利用提公因式法计算得出(m+n)2=36，即可求出m+n的值.
13．【答案】36
【知识点】解二元一次方程；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：
①+②得：2x-y=6，
则原式
故答案为：36.
【分析】方程组两方程相加表示出2x-y，原式分解后代入即可求出值.
14．【答案】-2025
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵a2（b+c）＝b2（a+c）＝2025
∴a2（b+c）-b2（a+c）＝0
∴
∴
∴
∴
∵a≠b
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故填：-2025
【分析】将条件灵活变形得到，再根据a≠b推出，进一步变形得到，从而得解。
15．【答案】-15(x-y)(2x-3y)(3x-2y)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式
=-15(x-y)(2x-3y)(3x-2y).
故答案为：-15(x-y)(2x-3y)(3x-2y).
【分析】从公式 入手，若能发现前两项与后一项的联系，则能获得简解.
16．【答案】3
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴.
∴当时，的最大值为，
故答案为：3．
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则和题意可得，，即可得出，代入ab，根据配方法可得当时，的最大值为.
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式 ；
（3）解：原式 ；
（4）解：原式
.
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）此题所给的三项式是一个完全平方式，先利用完全平方差公式分解因式，再将底数利用平方差公式继续分解，最后根据积的乘方运算法则计算即可；
（2）此题先把a2+1看成一个整体，利用平方差公式分解因式，再将每一个因式利用完全平方公式继续分解即可；
（3）把b+c看成一个整体，此题所给的三项式是一个完全平方式，先利用完全平方差公式分解因式即可；
（4）把x2-6看成一个整体，此题所给的三项式是一个完全平方式，先利用完全平方差公式分解因式，再将底数利用平方差公式继续分解，最后根据积的乘方运算法则计算即可.
18．【答案】解：，
，
∵多项式是一个完全平方式，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方式
【解析】【分析】本题考查完全平方公式的结构特征以及多项式乘法的运算，解题关键是对原式进行合理变形，使其呈现完全平方公式的形式。先将原式中与、与分别结合相乘，利用多项式乘法法则计算得到，令，转化为，即原式变为。由于完全平方公式为，对比可知则，，因此，解得。
19．【答案】（1）解：∵a＝4+n，b＝2+n，n为正整数，
∴a﹣b＝2，
∴5a÷5b＝5a﹣b＝52＝25
（2）解：∵a＝4+n，b＝2+n，n为正整数，
∴2a﹣2b
＝24+n﹣22+n
＝24 2n﹣22 2n
＝16×2n﹣4×2n
＝（16﹣4）×2n
＝12×2n，
∵n为正整数，
∴12×2n一定能被24整除，
∴2a﹣2b能被24整除
【知识点】同底数幂的除法；因式分解的应用-判断整除
【解析】【分析】(1)根据a=4+n，b=2-n，可以得到a-b=2，然后计算5a÷5b，再将a-b=2整体代入计算即可；
(2)将a、b的值代入2a-2b，然后计算，观察结果，即可说明结论成立.
20．【答案】（1）
（2）由题意可得 ∴，
联立解得∴，的值分别是11，8.
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：(1)由图1可得阴影部分的面积： 由图2可得阴影部分的面积：=(a-b)(a+b)，
∴可得公式为(
故答案为
【分析】(1)根据阴影部分的面积相等可得出公式；
(2)由平方差公式可求a+b=19，连接方程组可求解.
21．【答案】（1）±4
（2）10
（3），
，，
∴，．
答：m，n的值分别是－4和4
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方式
【解析】【解答】解：（1）多项式是一个完全平方公式，
，
，
故答案为：；
（2）
，
故答案为：；
【分析】（1）由于完全平方公式的展开式是两数的平方和加上或减去这两数乘积的2倍，因为4是2的平方，所以；
（2）当一个二次三项式的二次项系数为1时，可把常数项表示成一次项系数一半的平方与另一个常数的和，从而把这个整式表示一个平方式与常数和的形式；
（3）先把表示成即可得到两个完全平方式，由于平方式都是非负数，则当两个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，即可分别求出值．
22．【答案】（1）提取公因式；2
（2）
（3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：（1） 上述因式分解的方法是提取公因式法，第1次提取公因式1+x，第2次提取公因式也是1+x，共应用了2次，
故答案为：提取公因式；2．
(2)
…
=
故答案为：.
(3)
=
=[]
=[]
…
=
故答案为：.
【分析】（1）根据提取公因式法的意义解析；
（2）、（3）先将1+x用括号括起来，再提取公因式1+x，…，根据规律，写出分解因式结果.
23．【答案】（1）解：原式
，
；
（2）解：
，
，
当，时，
原式
；
（3）解：为等腰三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的三边长，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
【知识点】因式分解的应用；三角形三边关系；因式分解-分组分解法；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（）利用分组分解法将第1项与第三项结合，第2项与第4项结合，分别提取公因式，解答即可；
（）利用分组分解法对代数式因式分解，再把已知条件代入因式分解后的结果中计算即可求解；
（）先对移项，再利用分组分解法对左式因式分解，得到，由三角形三边性质可得，即得，据此即可求解；
24．【答案】（1）解：（1）根据题意观察老师列的竖式发现：
∴该整式一定有一个因式，没有因式是，
∴小磊同学的想法是对的
（2）解：根据题意得：
∴将多项式进行因式分解为：
（3）解：根据题意得：
∴
∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式，
∴是一个完全平方式，
∴，
∴，
n=m+4=4．
∴m=0， n=4
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）根据题意观察老师列的竖式发现原式除以（x+2）没有余数，原式除以（x-2）有余数，说明没有余数的是对的。
（2）根据老师提供的方法进行结合整数的竖式除法解答即可；
（3）根据题意列出竖式，得出，，根据多项式能因式分解成与另一个完全平方式，即是一个完全平方。得出，求出m=0、然后把m=0代入n-（m+4）中求出n的值．
（1）解：根据题意可得：，
，
∴该整式一定有一个因式，没有因式是，
∴小磊同学的想法是对的；
（2）解：根据题意得：
∴将多项式进行因式分解为：
．
（3）解：根据题意得：
∴，，
∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式，
∴是一个完全平方式，
∴，
∴，．
1 / 1浙教版七（下）数学第四章 因式分解 单元测试培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列各式中，分解因式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：A、不符合因式分解的定义，故该选项不符合题意；
B、符合因式分解的定义，故该选项符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、不符合因式分解的定义，故该选项不符合题意；
故选：B
【分析】“a2-b2=（a+b）(a-b)”；因式分解是将一个多项式变成几个因式记得形式.
2．（2024七上·中江期中）下列各式去括号或添括号运算正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】去括号法则及应用；添括号法则及应用
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
【分析】利用去括号或添括号法则逐项判断解答即可．
3．（2025八上·潮阳月考）对于任意整数n，多项式都能（　　）
A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被12整除
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，
∵n是任意整数，
∴都能被8整除，
∴多项式都能被8整除．
故答案为：C．
【分析】本题先将9变形为32，然后利用平方差公式变形，合并计算后提取公因数8，最后得到，此时观察最后的计算结果即可得出答案。
4．多项式 加上一个单项式后，使它成为一个整式的平方，那么加上的单项式是(　　)
A． B．或
C． D．或 或 或
【答案】D
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：
故选： D.
【分析】可根据 求出中间项或第一项；还可考虑，加上一个单项式后，结果可以是一个单项式，且能写成完全平方形式即可.
5．已知x3+x2+x+1=0，则x2 023+x2 022+x2 021+…+x2+x+2的值是(　　)
A．0 B．1 C．-1 D．2
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：因为
所以
所以
因为
所以x+1=0，
所以x=-1，
所以原式= +(-1)+2=(-1)+2=1.
故选： B.
【分析】根据已知求出x=-1，然后代入代数式计算解题.
6．（2024七下·石家庄期末）等式“”中的“□”表示的数是（ ）
A．4 B． C．16 D．
【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：-4a2+b2
=-（4a2-b2）
=-（2a-b）（2a+b），
即“□”表示的数是-4，
故答案为：B．
【分析】利用平方差公式因式分解即可。
7．（2022八上·太原月考）若是完全平方式，则的值是（　　）
A．±10 B．±5 C．10 D．5
【答案】A
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用完全平方式的特征可得。
8．（2024八上·献县期末）如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图①（图中阴影部分是正方形），将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①，图②中阴影部分的面积分别为4，30，关于甲、乙的说法．甲：图②中新正方形的边长为6；乙：正方形A，B的面积差为16．判断正确的是（　　）
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲和乙都对 D．甲和乙都错
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图①得：
，
∴，
∴，
∴，
∴，（负根舍去）
由图②得：
，
∴，
∴，
∴，
∴图②所示的大正方形的面积
，
∴，（负根舍去），故甲的说法错误；
∴．
故答案为：B．
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据题意列出等式得到，，再根据完全平方公式的变形求出，整体代入解题即可．
9．小明在抄分解因式的题目时， 不小心漏抄了 的指数，他只知道该数为不大于 5 的正整数，并且能利用平方差公式分解因式， 他抄在作业本上的式子是 ( “ ” 表示漏抄的指数)， 则这个指数可能的结果共有 （　　）
A．1 种 B．2 种 C．3 种 D．4 种
【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵x2-4y2=x2-（2y）2=（x+2y）（x-2y）；
x4-4y2=（x2）2-（2y）2=（x2+2y）（x2-2y）.
∴符合 这个指数可能的结果共有 2种：2或4.
故选：B.
【分析】根据已知x的指数为不大于 5 的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，结合平方差公式的特点所以x的指数只能是2或者4.
10．（2025八上·海淀期中）在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆.如将因式分解的结果为（x-3）（x+3），取个人年龄作为x的值，当x=13时，x-3=10，x+3=16，由此可以得到数字密码1016.小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（　　）
A．141414 B．141315 C．131413 D．151415
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
当ｘ＝14时，，，
∴他设置的密码可能是：141315.
故答案为：Ｂ.
【分析】先把提公因式得，再根据平方差公式得，当ｘ＝14时，，，即可写出可能得密码.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025八上·江汉期末）多项式4x2+1加上一个单项式能成为一个整式的完全平方，这个单项式是　 　．
【答案】4x4或4x或 4x
【知识点】完全平方式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：∵多项式4x2+1加上一个单项式能成为一个整式的完全平方，
当这个单项式是4x4时，4x4+4x2+1=（2x2+1）2，
当这个单项式是4x时，4x2+1+4x=（2x+1）2；
当这个单项式是-4x时，4x2+1-4x=（2x-1）2．
∴这个单项式是4x4或4x或 4x．
故答案为4x4或4x或 4x．
【分析】根据完全平方式的意义，分添上的项是平方项、中间项，分别求解即可．
12．（2025七上·玉环期中） 已知m（m+n)=12， n（m+n)=24， 则m+n=　 　。
【答案】±6
【知识点】因式分解﹣提公因式法；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵m(m+n)=12，n(m+n)=24
∴m(m+n)+n(m+n)=12+24.
∴(m+n)(m+n)=36
即(m+n)2=36
∴m+n=±6
故答案为：±6.
【分析】将两式相加得出m(m+n)+n(m+n)=12+24，再利用提公因式法计算得出(m+n)2=36，即可求出m+n的值.
13．已知关于x，y的二元一次方程组则4x2-4xy+y2的值为　 　.
【答案】36
【知识点】解二元一次方程；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：
①+②得：2x-y=6，
则原式
故答案为：36.
【分析】方程组两方程相加表示出2x-y，原式分解后代入即可求出值.
14．（2025八上·东坡期中）已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2025，且a≠b，则abc=　 　
【答案】-2025
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵a2（b+c）＝b2（a+c）＝2025
∴a2（b+c）-b2（a+c）＝0
∴
∴
∴
∴
∵a≠b
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故填：-2025
【分析】将条件灵活变形得到，再根据a≠b推出，进一步变形得到，从而得解。
15． 分解因式： 　 　.
【答案】-15(x-y)(2x-3y)(3x-2y)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式
=-15(x-y)(2x-3y)(3x-2y).
故答案为：-15(x-y)(2x-3y)(3x-2y).
【分析】从公式 入手，若能发现前两项与后一项的联系，则能获得简解.
16．（2024七下·义乌期末）将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：，
，，当时，多项式有最小值．
已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为　 　．
【答案】3
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴.
∴当时，的最大值为，
故答案为：3．
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则和题意可得，，即可得出，代入ab，根据配方法可得当时，的最大值为.
三、解答题（共8题，共72分）
17．因式分解：
（1）x4- 8x2y2+16y4
（2）（a2+1）2-4a2
（3）a2-2a（b+c） +（b+c）2
（4）（x2-6）2-6（x2-6）+9
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式 ；
（3）解：原式 ；
（4）解：原式
.
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）此题所给的三项式是一个完全平方式，先利用完全平方差公式分解因式，再将底数利用平方差公式继续分解，最后根据积的乘方运算法则计算即可；
（2）此题先把a2+1看成一个整体，利用平方差公式分解因式，再将每一个因式利用完全平方公式继续分解即可；
（3）把b+c看成一个整体，此题所给的三项式是一个完全平方式，先利用完全平方差公式分解因式即可；
（4）把x2-6看成一个整体，此题所给的三项式是一个完全平方式，先利用完全平方差公式分解因式，再将底数利用平方差公式继续分解，最后根据积的乘方运算法则计算即可.
18．（2025八上·龙州月考）已知是一个完全平方式，求常数m的值．
【答案】解：，
，
∵多项式是一个完全平方式，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方式
【解析】【分析】本题考查完全平方公式的结构特征以及多项式乘法的运算，解题关键是对原式进行合理变形，使其呈现完全平方公式的形式。先将原式中与、与分别结合相乘，利用多项式乘法法则计算得到，令，转化为，即原式变为。由于完全平方公式为，对比可知则，，因此，解得。
19．（2025七下·杭州月考）已知a＝4+n，b＝2+n，n为正整数．
（1）求5a÷5b的值．
（2）利用因式分解说明：2a﹣2b能被24整除．
【答案】（1）解：∵a＝4+n，b＝2+n，n为正整数，
∴a﹣b＝2，
∴5a÷5b＝5a﹣b＝52＝25
（2）解：∵a＝4+n，b＝2+n，n为正整数，
∴2a﹣2b
＝24+n﹣22+n
＝24 2n﹣22 2n
＝16×2n﹣4×2n
＝（16﹣4）×2n
＝12×2n，
∵n为正整数，
∴12×2n一定能被24整除，
∴2a﹣2b能被24整除
【知识点】同底数幂的除法；因式分解的应用-判断整除
【解析】【分析】(1)根据a=4+n，b=2-n，可以得到a-b=2，然后计算5a÷5b，再将a-b=2整体代入计算即可；
(2)将a、b的值代入2a-2b，然后计算，观察结果，即可说明结论成立.
20．如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形 图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形.
（1）观察图①、图②，当用不同的方法表示图中阴影部分的面积时，可以得出一个因式分解的等式，则这个等式是　 　；
（2）如果大正方形的边长a比小正方形的边长b多3，它们的面积相差57，试利用(1)中得到的等式求a，b的值.
【答案】（1）
（2）由题意可得 ∴，
联立解得∴，的值分别是11，8.
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：(1)由图1可得阴影部分的面积： 由图2可得阴影部分的面积：=(a-b)(a+b)，
∴可得公式为(
故答案为
【分析】(1)根据阴影部分的面积相等可得出公式；
(2)由平方差公式可求a+b=19，连接方程组可求解.
21．（2024七下·宁海期中）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
【知识理解】：
（1）若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为 ；
（2）配方： ；
【知识运用】：
（3）已知，求m，n的值．
【答案】（1）±4
（2）10
（3），
，，
∴，．
答：m，n的值分别是－4和4
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方式
【解析】【解答】解：（1）多项式是一个完全平方公式，
，
，
故答案为：；
（2）
，
故答案为：；
【分析】（1）由于完全平方公式的展开式是两数的平方和加上或减去这两数乘积的2倍，因为4是2的平方，所以；
（2）当一个二次三项式的二次项系数为1时，可把常数项表示成一次项系数一半的平方与另一个常数的和，从而把这个整式表示一个平方式与常数和的形式；
（3）先把表示成即可得到两个完全平方式，由于平方式都是非负数，则当两个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，即可分别求出值．
22．阅读下列因式分解的过程， 再回答所提出的问题：
（1） 上述因式分解的方法是　 　 法，共应用了　 　 次；
（2） 若分解 ，分解因式得到的结果是　 　
（3）用上述方法分解因式： (其中 为正整数)， 所得的结果是　 　
【答案】（1）提取公因式；2
（2）
（3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：（1） 上述因式分解的方法是提取公因式法，第1次提取公因式1+x，第2次提取公因式也是1+x，共应用了2次，
故答案为：提取公因式；2．
(2)
…
=
故答案为：.
(3)
=
=[]
=[]
…
=
故答案为：.
【分析】（1）根据提取公因式法的意义解析；
（2）、（3）先将1+x用括号括起来，再提取公因式1+x，…，根据规律，写出分解因式结果.
23．（2024七下·滨江期中）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
（1）分解因式：；
（2）已知，，求的值；
（3）的三边满足，判断的形状并说明理由．
【答案】（1）解：原式
，
；
（2）解：
，
，
当，时，
原式
；
（3）解：为等腰三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的三边长，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
【知识点】因式分解的应用；三角形三边关系；因式分解-分组分解法；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（）利用分组分解法将第1项与第三项结合，第2项与第4项结合，分别提取公因式，解答即可；
（）利用分组分解法对代数式因式分解，再把已知条件代入因式分解后的结果中计算即可求解；
（）先对移项，再利用分组分解法对左式因式分解，得到，由三角形三边性质可得，即得，据此即可求解；
24．（2024七下·慈溪期末）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法：
（1）观察老师的演算后，你认为　　　同学的想法是对的；
（2）已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解；
（3）若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值．
【答案】（1）解：（1）根据题意观察老师列的竖式发现：
∴该整式一定有一个因式，没有因式是，
∴小磊同学的想法是对的
（2）解：根据题意得：
∴将多项式进行因式分解为：
（3）解：根据题意得：
∴
∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式，
∴是一个完全平方式，
∴，
∴，
n=m+4=4．
∴m=0， n=4
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）根据题意观察老师列的竖式发现原式除以（x+2）没有余数，原式除以（x-2）有余数，说明没有余数的是对的。
（2）根据老师提供的方法进行结合整数的竖式除法解答即可；
（3）根据题意列出竖式，得出，，根据多项式能因式分解成与另一个完全平方式，即是一个完全平方。得出，求出m=0、然后把m=0代入n-（m+4）中求出n的值．
（1）解：根据题意可得：，
，
∴该整式一定有一个因式，没有因式是，
∴小磊同学的想法是对的；
（2）解：根据题意得：
∴将多项式进行因式分解为：
．
（3）解：根据题意得：
∴，，
∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式，
∴是一个完全平方式，
∴，
∴，．
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