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广东省A20联盟2025--2026学年上学期九年级数学期末质量检测（一）
1．（2026九上·广东期末）下列各AI软件的图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：四个选项中，只有D选项是中心对称图形。
故答案为：D．
【分析】旋转180度后与原图重合的图形是中心对称图形。本题根据中心对称图形的概念逐项分析即可。
2．（2026九上·广东期末）把函数的图象，先向右平移6个单位长度，再向下平移7个单位长度，可以得到函数图象的解析式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：原函数为，先将图象向右平移个单位长度，得到函数；再将所得图象向下平移个单位长度，得到，即．
故答案为：A．
【分析】本题结合二次函数的平移规律，即“左加右减，上加下减”，先根据向右平移的规则对自变量进行变换，得到，再根据向下平移的规则对函数整体进行变换，得到，最后化简即可得到平移后的函数解析式．
3．（2026九上·广东期末）用配方法解一元二次方程时，将方程化为的形式，则n的值为（　　）
A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.
故答案为：C．
【分析】把根据配方法进行配方得，再根据得即可.
4．（2026九上·广东期末）若一个圆锥的母线长为，它的底面半径为，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆心角度数为a°．
∵ 圆锥底面周长，
扇形弧长 ，
∴，
解得a=60．
∴圆心角的度数为．
故答案为：D．
【分析】本题首先根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面周长，而圆锥底面是一个圆形，因此可以先求出圆锥底面周长为20πcm；然后利用弧长公式求出扇形弧长，最后列方程求解圆心角即可．
5．（2026九上·广东期末）如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则度数是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】根据旋转性质可得，根据等边对等角可得，再根据直线平行判定定理可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
6．（2026九上·广东期末）电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，前三天累计票房收入达亿元，设增长率为x，则方程可以列为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意，则第一天票房为亿元，第二天票房为亿元，第三天票房为亿元．
∴．
故答案为：D．
【分析】本题根据增长率定义，分别计算第一天、第二天和第三天的票房，此时可以求和得累计票房为，而累计票房为2.56亿，此时即可列方程，即可选出正确选项．
7．（2026九上·广东期末）如图，是的外接圆，且为的直径，点为的内心，的延长线交于点，连接．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，连接，交于点，作于点，
∵点为的内心，
∴是的角平分线，是的角平分线，即，，
∴，
∴，
∵是直径得出，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】做辅助线后，依据三角形内心定义，即三角形内角平分线的交点，逐步推出，从而得到，根据圆周角定理得出，结合三角形外角计算公式列式并逐步推导证明得出是等腰直角三角形，从而得到，最后放到直角三角形ABD中，利用勾股定理列式计算得出。
8．（2026九上·广东期末）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　　）
A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C．任意写一个小于10的正整数，能被5整除
D．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，出现1点朝上
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】从图中可以看出，经过几次试验后，概率基本稳定在0.3到0.4之间。A选项，抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率，不在0.3-0.4之间，排除；
B选项，在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，在0.3-0.4之间，正确；
C选项，任意写一个小于10的正整数，能被5整除的概率为，不在0.3-0.4之间，排除；
D选项，掷一枚正六面体的骰子，出现1点朝上的概率为，不在0.3-0.4之间，排除．
故答案为：B
【分析】大量反复试验下，频率稳定值即为概率。本题首先分析统计图得出，实验结果在0.3-0.4之间波动，然后对四个选项进行分析和判断，即可得出答案．
9．（2026九上·广东期末）数学探究课上，小明用画图软件画出了图1所示的，其中，，小明将点D固定在边上，构造动点P，使点P从点A开始沿折线A→B→C运动，到达点C后停止．连接，令为y，点P的运动路程为x，画图软件生成图2所示的y关于x的函数图象，由图象可知点T的纵坐标为12．小明在图2的坐标系中画了一条与x轴平行的直线，且该直线与函数图象的三个交点M，N，R之间满足，则这三个点的纵坐标n的值为（　　）
A．5 B．5.25 C．5.5 D．6
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
由图象可知：当时，，即，
此时点A与点P重合，所以，
当时，过点D作于点H，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴该函数的对称轴为直线，
由小明在图2的坐标系中画了一条与x轴平行的直线，且该直线与函数图象的三个交点M，N，R之间满足，可知：M，N关于该函数的对称轴对称，
设点，则，
∴，
∴点R的横坐标为，即，
当时，如图所示：
∴，，
∴，
∴，
解得：；
故答案为：B．
【分析】由含30°角直角三角形的性质得，根据勾股定理算出AC=；由图象可知：当时，，即，此时点A与点P重合，所以；分类讨论：①当时， 过点D作于点H， 由含30读角直角三角形的性质得出DH=，根据勾股定理算出AH=3，则PH=|x-3|，由勾股定理建立出y关于x的函数解析式y=（x-3）2+3，故该抛物线的对称轴直线为x=3；根据抛物线的对称性，设点M(m，n)，则N(6-m，n)，由两点间的距离MN=NR=6-2m，则点R的横坐标为12-3m，由点的坐标与图形性质得R(12-3m，n)；②当时，CP=9-x，CD=，由勾股定理得出y=(9-x)2+3，然后将R点坐标代入y=(9-x)2+3，把点M的坐标代入y=（x-3）2+3，可得关于字母m、n的方程组，求解即可得出m、n的值.
10．（2026九上·广东期末）如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵∠DHC=90°，
∴∠AHD＝90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，且AB=2OB=2，
∴BD=＝＝12，
∴BM＝＝＝13，
∴BH的最小值为BM-MH＝13-5＝8．
故答案为：C．
【分析】做辅助线发现，点H在以M为圆心、MD为半径的⊙M上，此时即可得出，当M、H、B共线时，BH的值最小。然后结合圆周角定理得出∠ADB＝90°，此时可以利用勾股定理分别求出BD=12、BM=13，最后作差即可求出BH的最小值。
11．（2026九上·广东期末）若关于的一元二次方程有一个根为，则　 　．
【答案】
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将代入方程，得
，
，
，
解得或．
因为方程是一元二次方程，
所以二次项系数，即．
故答案为：．
【分析】将x=0代入方程即可求出答案.
12．（2026九上·广东期末）若点，在抛物线上，则与的大小关系为　 　（填“”，“”或“”）．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：当时，，
当时，，
∴，
故答案为：．
【分析】将点A，B坐标代入y值，再比较大小即可求出答案.
13．（2026九上·广东期末）如图，将矩形绕点旋转至矩形的位置，此时的中点恰好与点重合．若，则的长为　 　．
【答案】6
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；线段的中点
【解析】【解答】解：如图，连接，
由旋转可知：，，，
∵的中点恰好与点重合，
∴，
在矩形中，，，
∴，，
∴，
故答案为：6．
【分析】本题先根据旋转的性质得出，，，然后根据中点定义得出，再根据矩形的性质得到，，从而综合得出，，最后放到直角三角形AB'C'中，利用勾股定理列式计算即可求出AB'的长度。
14．（2026九上·广东期末）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段圆弧所在圆的圆心．已知米，C是上的一点，，垂足为D，米．则这段弯路的半径是　 　米．
【答案】145
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵C是上的一点，，垂足为D，
∴米，
设这段弯路的半径是x米，则米，
∴米，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴这段弯路的半径是145米，
故答案为：145．
【分析】根据垂径定理可得AD，设这段弯路的半径是x米，则米，根据边之间的关系可得OD，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
15．（2026九上·广东期末）七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”．小明利用七巧板拼成的正方形（如图所示）做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，则小球最终停留在阴影区域上的概率是　 　 ．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：如图，设大正方形的边长为，则，到的距离
∴阴影区域的面积为：，大正方形的面积是：，
∴小球最终停留在阴影区域上的概率是，
故答案为：．
【分析】设大正方形的边长为2，则，到的距离，再根据几何概率即可求出答案.
16．（2026九上·广东期末）如图，在中，，，，点是半径为4的上一动点，连接，点是的中点，当点落在线段上时，则的长度为　 　；若点在上运动，当取最大值时，的长度是　 　．
【答案】2；
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
点是半径为4的上一动点，
，
当点落在线段上时，；
点是的中点，
；
如图，取的中点，连接、、，
，
在中，，，
，
点是的中点，
是的中位线，
，
∴点E在以点F为圆心，半径为2的圆上运动，
，
，
∴当三点共线，且点F在上，有最大值；
如图所示，设有最大值时点E运动到，延长交于G，过点G作交延长线于H，连接，
∵，F为的中点，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
∵E为的中点，点D在上，且四点共线，
∴此时点D于点G重合，
∴点为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当取最大值时，的长度是，
故答案为：，．
【分析】由含角的直角三角形的性质可得，从而计算得出CD=4，即可得出的长为2；
做辅助线，由三角形中位线定理可得，由得到当三点共线，且点F在上，有最大值；此时可以假设有最大值时点E运动到，做辅助线后可以证明，从而得到是等边三角形，结合等边三角形的性质得出；再证明为的中位线，依据中位线性质得出，从而求出，并进一步计算得到AH=2，则CH=10，并依据勾股定理计算得出，然后继续利用勾股定理得到，则，即当取最大值时，的长度是．
17．（2026九上·广东期末）解方程：．
【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据因式分解法解方程即可求出答案.
18．（2026九上·广东期末）已知抛物线的图象顶点为，且过，试求a、b．c的值．
【答案】解：由题意设抛物线为；
把代入，得：
解得：
∴
∴，，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】由题意设抛物线为，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
19．（2026九上·广东期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标；
（2）画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的．
【答案】（1）解：如图所示，为所求，点的坐标为；
（2）解：如图所示，为所求．
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于原点的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据旋转性质作图即可.
（1）解：如图所示，为所求，点的坐标为；
（2）解：如图所示，为所求．
20．（2026九上·广东期末）消防教育进校园，消防安全记心间．为切实提升广大师生的自护自救能力，某中学组织全体师生开展了消防演练．在实际演练之前，学校提前制定好了活动方案，为了保证广大师生的安全，防止踩踏事件的发生，在各楼层的通道处安排了疏散引导员．该校决定在九年级的甲、乙、丙、丁4位老师中随机选取2位作为疏散引导员，其中甲、乙是男老师，丙，丁是女老师．
（1）请用画树状图法或列表法，表示出所有可能出现的结果；
（2）求被选到的2位老师恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）解：所有可能出现的结果列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
（2）解：由表格可知，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中选到一男一女的结果有8种，
恰好选到一男一女的概率为：。
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）用列表法先列出表格，然后表示出所有可能出现的结果即可；
（2）根据（1）中表格，得出共有12种可能出现的结果，然后进一步得出选到一男一女的结果有8种，最后利用概率公式列式计算即可．
（1）解：所有可能出现的结果列表如下：
　 甲 乙 丙 丁
甲 　 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） 　 （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） 　 （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 　
（2）解：由表格可知，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中选到一男一女的结果有8种，
恰好选到一男一女的概率为：
21．（2026九上·广东期末）如图，内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，使．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：连接，如图
是的直径，
，
，
，
，
，
，即，
，
为的半径，
是的切线。
（2）解：由（1）的结论得出，，
，
，
即，
，
，
，
的半径为．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理得出，从而依据直角三角形两个锐角互余得出，然后结合等腰三角形性质得出，此时结合已知角相等的条件，推导出，从而得出证明结果；
（2）结合（1）的结论，在直角三角形OCD中，根据“角所对直角边是斜边的一半”，可以得出，然后结合线段和差关系，列式计算即可得出半径的长度．
（1）证明：连接
是的直径，
，
，
，
，
，
，即，
，
为的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
即，
，
又，
，
的半径为．
22．（2026九上·广东期末）用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为米，设矩形菜园的一边长为米，如图所示．
（1）若矩形菜园的面积为平方米，求此时的值；
（2）设矩形菜园的面积为平方米，
①列出与的函数关系式；
②当为多少时，菜园面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）解：设矩形菜园的一边长为米，则矩形菜园的另一边长为米，
由题意可列方程为：（18-2x）x=40，
解这个方程，得：，，
当x=4时，18-2x=18-2×4=10，（与题意不符，舍去）
当x=5时，18-2x=18-2×5=8，
∴的值为.
（2）解：①根据题意可列函数关系为：，
∴与的函数关系式为：；
②根据题意可知，x的取值范围是：≤x＜9，
y与x的函数关系式，
根据二次函数的性质可知：当时，有最大值，最大值为，
答：当时，菜园面积最大，最大面积是平方米
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设矩形菜园的一边长为米，则另一边长为米，根据“矩形菜园的面积为平方米”列出方程求解即可；
（2）①根据题意列出与的函数关系式；
②根据篱笆的总长度为18米，墙长9米得出的取值范围，再将函数解析式转化为顶点式，根据二次函数的性质即可求解．
（1）解：设矩形菜园的一边长为米，则矩形菜园的另一边长为米，
由题意可得，
解得，，
当时，，
当时，，
∵墙长为米，
∴，
即的值为．
（2）解：①由题意可得，
即与的函数关系式为：；
②∵墙长为米，
∴，
解得：，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
即当时，菜园面积最大，最大面积是平方米．
23．（2026九上·广东期末）交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在11月和12月，分两次购入A、B两款头盔.11月购入了第一批，购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个，A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元，共用去资金43500元．
（1）求第一批购入A、B两款头盔的数量；
（2）12月2日，恰逢全国交通安全日，随着人们交通安全意识不断增强，头盔需求量增加．A款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数）．批发店决定，若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个．因B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了9000元，求A款头盔的单价上涨了多少元？
【答案】（1）解：设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为个，由题意得：，
解得：，
个，
∴第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个。
（2）解：设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为本，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（舍去），
∴A款头盔的单价上涨了10元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）依据条件“ 购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个 ”，此时得出第一批购入A款头盔的数量为个；然后结合条件“ A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元 ”，则购买A种头盔20（4x+300）元，B种头盔45x元，而“ 共用去资金43500元 ”，此时即可列出方程，求解x之后再进一步计算即可得出答案；
（2）结合（1）的计算结果以及条件“ 若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个 ”，得出当A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为本，此时得出A款头盔的总价为（20+y）（1500-50y）元；然后“ B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加 ”，得出B款头盔的总价为元；最后“ 费的总资金比第一批增加了9000元 ”，即总花费为9000+43500元，此时即可列出方程，求解y后去正数即可。
（1）解：设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为个，
由题意得：，
解得：，
∴，
答：第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个；
（2）解：设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为本，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：A款头盔的单价上涨了10元．
24．（2026九上·广东期末）如图，点是正方形中边上的任意一点，以点为中心，把旋转，得到．已知．
（1）求的度数．
（2）求证：．
（3）连接，线段交于点，交于点．试探索，，之间的数量关系并加以说明．
【答案】（1）解：四边形是正方形，
，，
，
，
由旋转可知：，
，
．
（2）解：由旋转可知：，，
由（1）得，
，
在和中，
，
，
，
．
（3）解：，理由如下：
如图，将绕点逆时针旋转得到，连接．
四边形是正方形，
，，
由旋转可知：，
，
，
在中，．
由（1），且由旋转可知，，
，
在和中，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；旋转的性质；旋转全等模型
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可知，旋转角相等，即，结合正方形的性质即可得出结论。
（2）通过证明三角形全等，可以得到对应边相等，再通过线段的和差关系即可完成证明。
（3）由旋转和正方形的性质可推导出直角关系，运用勾股定理得到。进一步证明三角形全等，得出对应边相等，最后通过线段转换与和差关系即可得出结论。
（1）解：四边形是正方形，
，，
，
，
由旋转可知：，
，
．
（2）解：由旋转可知：，，
由（1）得，
，
在和中，
，
，
，
．
（3）解：，理由如下：
如图，将绕点逆时针旋转得到，连接．
四边形是正方形，
，，
由旋转可知：，
，
，
在中，．
由（1），且由旋转可知，，
，
在和中，
，
，
，
．
25．（2026九上·广东期末）综合运用：
【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接和，
∵M是的中点，
∴，
∴（相等的弧所对的弦相等），
又∵（同弧所对的圆周角相等），
∴，∴，
又∵，∴，∴，即．
（1）【理解运用】如图1，是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则的长为________；
（2）【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断之间存在怎样的数量关系？并加以证明；
（3）【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长．
【答案】（1）2
（2）解：，
证明：在上截取，连接、、、，如图3，
是弧的中点，
，，
又，
，
，
，
又，
，
，即；
（3）解：如图4，当点在下方时，过点作于点，连接，
是圆的直径，
，
，圆的半径为10，
，
，
，
，
，
，
当点在上方时，，
同理得，
综上所述：的长为或．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：由题意得：，即，
，
，
，
故答案为：2；
【分析】（1）根据边之间的关系即可求出答案.
（2）在上截取，连接、、、，根据等弧所对的圆周角相等可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）当点在下方时，过点作于点，连接，根据圆周角定理的推论可得，根据勾股定理可得AC，再根据等腰直角三角形性质可得，当点在上方时，，同理得，即可求出答案.
（1）解：由题意得：，即，
，
，
，
故答案为：2；
（2）解：，
证明：在上截取，连接、、、，如图3，
是弧的中点，
，，
又，
，
，
，
又，
，
，即；
（3）解：如图4，当点在下方时，过点作于点，连接，
是圆的直径，
，
，圆的半径为10，
，
，
，
，
，
，
当点在上方时，，
同理得，
综上所述：的长为或．
1 / 1广东省A20联盟2025--2026学年上学期九年级数学期末质量检测（一）
1．（2026九上·广东期末）下列各AI软件的图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2026九上·广东期末）把函数的图象，先向右平移6个单位长度，再向下平移7个单位长度，可以得到函数图象的解析式是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2026九上·广东期末）用配方法解一元二次方程时，将方程化为的形式，则n的值为（　　）
A．12 B．9 C．6 D．3
4．（2026九上·广东期末）若一个圆锥的母线长为，它的底面半径为，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2026九上·广东期末）如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则度数是（　　）．
A． B． C． D．
6．（2026九上·广东期末）电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，前三天累计票房收入达亿元，设增长率为x，则方程可以列为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2026九上·广东期末）如图，是的外接圆，且为的直径，点为的内心，的延长线交于点，连接．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2026九上·广东期末）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　　）
A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C．任意写一个小于10的正整数，能被5整除
D．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，出现1点朝上
9．（2026九上·广东期末）数学探究课上，小明用画图软件画出了图1所示的，其中，，小明将点D固定在边上，构造动点P，使点P从点A开始沿折线A→B→C运动，到达点C后停止．连接，令为y，点P的运动路程为x，画图软件生成图2所示的y关于x的函数图象，由图象可知点T的纵坐标为12．小明在图2的坐标系中画了一条与x轴平行的直线，且该直线与函数图象的三个交点M，N，R之间满足，则这三个点的纵坐标n的值为（　　）
A．5 B．5.25 C．5.5 D．6
10．（2026九上·广东期末）如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
11．（2026九上·广东期末）若关于的一元二次方程有一个根为，则　 　．
12．（2026九上·广东期末）若点，在抛物线上，则与的大小关系为　 　（填“”，“”或“”）．
13．（2026九上·广东期末）如图，将矩形绕点旋转至矩形的位置，此时的中点恰好与点重合．若，则的长为　 　．
14．（2026九上·广东期末）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段圆弧所在圆的圆心．已知米，C是上的一点，，垂足为D，米．则这段弯路的半径是　 　米．
15．（2026九上·广东期末）七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”．小明利用七巧板拼成的正方形（如图所示）做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，则小球最终停留在阴影区域上的概率是　 　 ．
16．（2026九上·广东期末）如图，在中，，，，点是半径为4的上一动点，连接，点是的中点，当点落在线段上时，则的长度为　 　；若点在上运动，当取最大值时，的长度是　 　．
17．（2026九上·广东期末）解方程：．
18．（2026九上·广东期末）已知抛物线的图象顶点为，且过，试求a、b．c的值．
19．（2026九上·广东期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标；
（2）画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的．
20．（2026九上·广东期末）消防教育进校园，消防安全记心间．为切实提升广大师生的自护自救能力，某中学组织全体师生开展了消防演练．在实际演练之前，学校提前制定好了活动方案，为了保证广大师生的安全，防止踩踏事件的发生，在各楼层的通道处安排了疏散引导员．该校决定在九年级的甲、乙、丙、丁4位老师中随机选取2位作为疏散引导员，其中甲、乙是男老师，丙，丁是女老师．
（1）请用画树状图法或列表法，表示出所有可能出现的结果；
（2）求被选到的2位老师恰好是一男一女的概率．
21．（2026九上·广东期末）如图，内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，使．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的半径．
22．（2026九上·广东期末）用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为米，设矩形菜园的一边长为米，如图所示．
（1）若矩形菜园的面积为平方米，求此时的值；
（2）设矩形菜园的面积为平方米，
①列出与的函数关系式；
②当为多少时，菜园面积最大？最大面积是多少？
23．（2026九上·广东期末）交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在11月和12月，分两次购入A、B两款头盔.11月购入了第一批，购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个，A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元，共用去资金43500元．
（1）求第一批购入A、B两款头盔的数量；
（2）12月2日，恰逢全国交通安全日，随着人们交通安全意识不断增强，头盔需求量增加．A款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数）．批发店决定，若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个．因B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了9000元，求A款头盔的单价上涨了多少元？
24．（2026九上·广东期末）如图，点是正方形中边上的任意一点，以点为中心，把旋转，得到．已知．
（1）求的度数．
（2）求证：．
（3）连接，线段交于点，交于点．试探索，，之间的数量关系并加以说明．
25．（2026九上·广东期末）综合运用：
【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接和，
∵M是的中点，
∴，
∴（相等的弧所对的弦相等），
又∵（同弧所对的圆周角相等），
∴，∴，
又∵，∴，∴，即．
（1）【理解运用】如图1，是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则的长为________；
（2）【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断之间存在怎样的数量关系？并加以证明；
（3）【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：四个选项中，只有D选项是中心对称图形。
故答案为：D．
【分析】旋转180度后与原图重合的图形是中心对称图形。本题根据中心对称图形的概念逐项分析即可。
2．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：原函数为，先将图象向右平移个单位长度，得到函数；再将所得图象向下平移个单位长度，得到，即．
故答案为：A．
【分析】本题结合二次函数的平移规律，即“左加右减，上加下减”，先根据向右平移的规则对自变量进行变换，得到，再根据向下平移的规则对函数整体进行变换，得到，最后化简即可得到平移后的函数解析式．
3．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.
故答案为：C．
【分析】把根据配方法进行配方得，再根据得即可.
4．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆心角度数为a°．
∵ 圆锥底面周长，
扇形弧长 ，
∴，
解得a=60．
∴圆心角的度数为．
故答案为：D．
【分析】本题首先根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面周长，而圆锥底面是一个圆形，因此可以先求出圆锥底面周长为20πcm；然后利用弧长公式求出扇形弧长，最后列方程求解圆心角即可．
5．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】根据旋转性质可得，根据等边对等角可得，再根据直线平行判定定理可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意，则第一天票房为亿元，第二天票房为亿元，第三天票房为亿元．
∴．
故答案为：D．
【分析】本题根据增长率定义，分别计算第一天、第二天和第三天的票房，此时可以求和得累计票房为，而累计票房为2.56亿，此时即可列方程，即可选出正确选项．
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，连接，交于点，作于点，
∵点为的内心，
∴是的角平分线，是的角平分线，即，，
∴，
∴，
∵是直径得出，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】做辅助线后，依据三角形内心定义，即三角形内角平分线的交点，逐步推出，从而得到，根据圆周角定理得出，结合三角形外角计算公式列式并逐步推导证明得出是等腰直角三角形，从而得到，最后放到直角三角形ABD中，利用勾股定理列式计算得出。
8．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】从图中可以看出，经过几次试验后，概率基本稳定在0.3到0.4之间。A选项，抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率，不在0.3-0.4之间，排除；
B选项，在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，在0.3-0.4之间，正确；
C选项，任意写一个小于10的正整数，能被5整除的概率为，不在0.3-0.4之间，排除；
D选项，掷一枚正六面体的骰子，出现1点朝上的概率为，不在0.3-0.4之间，排除．
故答案为：B
【分析】大量反复试验下，频率稳定值即为概率。本题首先分析统计图得出，实验结果在0.3-0.4之间波动，然后对四个选项进行分析和判断，即可得出答案．
9．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
由图象可知：当时，，即，
此时点A与点P重合，所以，
当时，过点D作于点H，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴该函数的对称轴为直线，
由小明在图2的坐标系中画了一条与x轴平行的直线，且该直线与函数图象的三个交点M，N，R之间满足，可知：M，N关于该函数的对称轴对称，
设点，则，
∴，
∴点R的横坐标为，即，
当时，如图所示：
∴，，
∴，
∴，
解得：；
故答案为：B．
【分析】由含30°角直角三角形的性质得，根据勾股定理算出AC=；由图象可知：当时，，即，此时点A与点P重合，所以；分类讨论：①当时， 过点D作于点H， 由含30读角直角三角形的性质得出DH=，根据勾股定理算出AH=3，则PH=|x-3|，由勾股定理建立出y关于x的函数解析式y=（x-3）2+3，故该抛物线的对称轴直线为x=3；根据抛物线的对称性，设点M(m，n)，则N(6-m，n)，由两点间的距离MN=NR=6-2m，则点R的横坐标为12-3m，由点的坐标与图形性质得R(12-3m，n)；②当时，CP=9-x，CD=，由勾股定理得出y=(9-x)2+3，然后将R点坐标代入y=(9-x)2+3，把点M的坐标代入y=（x-3）2+3，可得关于字母m、n的方程组，求解即可得出m、n的值.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵∠DHC=90°，
∴∠AHD＝90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，且AB=2OB=2，
∴BD=＝＝12，
∴BM＝＝＝13，
∴BH的最小值为BM-MH＝13-5＝8．
故答案为：C．
【分析】做辅助线发现，点H在以M为圆心、MD为半径的⊙M上，此时即可得出，当M、H、B共线时，BH的值最小。然后结合圆周角定理得出∠ADB＝90°，此时可以利用勾股定理分别求出BD=12、BM=13，最后作差即可求出BH的最小值。
11．【答案】
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将代入方程，得
，
，
，
解得或．
因为方程是一元二次方程，
所以二次项系数，即．
故答案为：．
【分析】将x=0代入方程即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：当时，，
当时，，
∴，
故答案为：．
【分析】将点A，B坐标代入y值，再比较大小即可求出答案.
13．【答案】6
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；线段的中点
【解析】【解答】解：如图，连接，
由旋转可知：，，，
∵的中点恰好与点重合，
∴，
在矩形中，，，
∴，，
∴，
故答案为：6．
【分析】本题先根据旋转的性质得出，，，然后根据中点定义得出，再根据矩形的性质得到，，从而综合得出，，最后放到直角三角形AB'C'中，利用勾股定理列式计算即可求出AB'的长度。
14．【答案】145
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵C是上的一点，，垂足为D，
∴米，
设这段弯路的半径是x米，则米，
∴米，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴这段弯路的半径是145米，
故答案为：145．
【分析】根据垂径定理可得AD，设这段弯路的半径是x米，则米，根据边之间的关系可得OD，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：如图，设大正方形的边长为，则，到的距离
∴阴影区域的面积为：，大正方形的面积是：，
∴小球最终停留在阴影区域上的概率是，
故答案为：．
【分析】设大正方形的边长为2，则，到的距离，再根据几何概率即可求出答案.
16．【答案】2；
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
点是半径为4的上一动点，
，
当点落在线段上时，；
点是的中点，
；
如图，取的中点，连接、、，
，
在中，，，
，
点是的中点，
是的中位线，
，
∴点E在以点F为圆心，半径为2的圆上运动，
，
，
∴当三点共线，且点F在上，有最大值；
如图所示，设有最大值时点E运动到，延长交于G，过点G作交延长线于H，连接，
∵，F为的中点，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
∵E为的中点，点D在上，且四点共线，
∴此时点D于点G重合，
∴点为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当取最大值时，的长度是，
故答案为：，．
【分析】由含角的直角三角形的性质可得，从而计算得出CD=4，即可得出的长为2；
做辅助线，由三角形中位线定理可得，由得到当三点共线，且点F在上，有最大值；此时可以假设有最大值时点E运动到，做辅助线后可以证明，从而得到是等边三角形，结合等边三角形的性质得出；再证明为的中位线，依据中位线性质得出，从而求出，并进一步计算得到AH=2，则CH=10，并依据勾股定理计算得出，然后继续利用勾股定理得到，则，即当取最大值时，的长度是．
17．【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据因式分解法解方程即可求出答案.
18．【答案】解：由题意设抛物线为；
把代入，得：
解得：
∴
∴，，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】由题意设抛物线为，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
19．【答案】（1）解：如图所示，为所求，点的坐标为；
（2）解：如图所示，为所求．
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于原点的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据旋转性质作图即可.
（1）解：如图所示，为所求，点的坐标为；
（2）解：如图所示，为所求．
20．【答案】（1）解：所有可能出现的结果列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
（2）解：由表格可知，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中选到一男一女的结果有8种，
恰好选到一男一女的概率为：。
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）用列表法先列出表格，然后表示出所有可能出现的结果即可；
（2）根据（1）中表格，得出共有12种可能出现的结果，然后进一步得出选到一男一女的结果有8种，最后利用概率公式列式计算即可．
（1）解：所有可能出现的结果列表如下：
　 甲 乙 丙 丁
甲 　 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） 　 （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） 　 （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 　
（2）解：由表格可知，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中选到一男一女的结果有8种，
恰好选到一男一女的概率为：
21．【答案】（1）证明：连接，如图
是的直径，
，
，
，
，
，
，即，
，
为的半径，
是的切线。
（2）解：由（1）的结论得出，，
，
，
即，
，
，
，
的半径为．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理得出，从而依据直角三角形两个锐角互余得出，然后结合等腰三角形性质得出，此时结合已知角相等的条件，推导出，从而得出证明结果；
（2）结合（1）的结论，在直角三角形OCD中，根据“角所对直角边是斜边的一半”，可以得出，然后结合线段和差关系，列式计算即可得出半径的长度．
（1）证明：连接
是的直径，
，
，
，
，
，
，即，
，
为的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
即，
，
又，
，
的半径为．
22．【答案】（1）解：设矩形菜园的一边长为米，则矩形菜园的另一边长为米，
由题意可列方程为：（18-2x）x=40，
解这个方程，得：，，
当x=4时，18-2x=18-2×4=10，（与题意不符，舍去）
当x=5时，18-2x=18-2×5=8，
∴的值为.
（2）解：①根据题意可列函数关系为：，
∴与的函数关系式为：；
②根据题意可知，x的取值范围是：≤x＜9，
y与x的函数关系式，
根据二次函数的性质可知：当时，有最大值，最大值为，
答：当时，菜园面积最大，最大面积是平方米
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设矩形菜园的一边长为米，则另一边长为米，根据“矩形菜园的面积为平方米”列出方程求解即可；
（2）①根据题意列出与的函数关系式；
②根据篱笆的总长度为18米，墙长9米得出的取值范围，再将函数解析式转化为顶点式，根据二次函数的性质即可求解．
（1）解：设矩形菜园的一边长为米，则矩形菜园的另一边长为米，
由题意可得，
解得，，
当时，，
当时，，
∵墙长为米，
∴，
即的值为．
（2）解：①由题意可得，
即与的函数关系式为：；
②∵墙长为米，
∴，
解得：，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
即当时，菜园面积最大，最大面积是平方米．
23．【答案】（1）解：设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为个，由题意得：，
解得：，
个，
∴第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个。
（2）解：设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为本，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（舍去），
∴A款头盔的单价上涨了10元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）依据条件“ 购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个 ”，此时得出第一批购入A款头盔的数量为个；然后结合条件“ A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元 ”，则购买A种头盔20（4x+300）元，B种头盔45x元，而“ 共用去资金43500元 ”，此时即可列出方程，求解x之后再进一步计算即可得出答案；
（2）结合（1）的计算结果以及条件“ 若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个 ”，得出当A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为本，此时得出A款头盔的总价为（20+y）（1500-50y）元；然后“ B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加 ”，得出B款头盔的总价为元；最后“ 费的总资金比第一批增加了9000元 ”，即总花费为9000+43500元，此时即可列出方程，求解y后去正数即可。
（1）解：设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为个，
由题意得：，
解得：，
∴，
答：第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个；
（2）解：设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为本，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：A款头盔的单价上涨了10元．
24．【答案】（1）解：四边形是正方形，
，，
，
，
由旋转可知：，
，
．
（2）解：由旋转可知：，，
由（1）得，
，
在和中，
，
，
，
．
（3）解：，理由如下：
如图，将绕点逆时针旋转得到，连接．
四边形是正方形，
，，
由旋转可知：，
，
，
在中，．
由（1），且由旋转可知，，
，
在和中，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；旋转的性质；旋转全等模型
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可知，旋转角相等，即，结合正方形的性质即可得出结论。
（2）通过证明三角形全等，可以得到对应边相等，再通过线段的和差关系即可完成证明。
（3）由旋转和正方形的性质可推导出直角关系，运用勾股定理得到。进一步证明三角形全等，得出对应边相等，最后通过线段转换与和差关系即可得出结论。
（1）解：四边形是正方形，
，，
，
，
由旋转可知：，
，
．
（2）解：由旋转可知：，，
由（1）得，
，
在和中，
，
，
，
．
（3）解：，理由如下：
如图，将绕点逆时针旋转得到，连接．
四边形是正方形，
，，
由旋转可知：，
，
，
在中，．
由（1），且由旋转可知，，
，
在和中，
，
，
，
．
25．【答案】（1）2
（2）解：，
证明：在上截取，连接、、、，如图3，
是弧的中点，
，，
又，
，
，
，
又，
，
，即；
（3）解：如图4，当点在下方时，过点作于点，连接，
是圆的直径，
，
，圆的半径为10，
，
，
，
，
，
，
当点在上方时，，
同理得，
综上所述：的长为或．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：由题意得：，即，
，
，
，
故答案为：2；
【分析】（1）根据边之间的关系即可求出答案.
（2）在上截取，连接、、、，根据等弧所对的圆周角相等可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）当点在下方时，过点作于点，连接，根据圆周角定理的推论可得，根据勾股定理可得AC，再根据等腰直角三角形性质可得，当点在上方时，，同理得，即可求出答案.
（1）解：由题意得：，即，
，
，
，
故答案为：2；
（2）解：，
证明：在上截取，连接、、、，如图3，
是弧的中点，
，，
又，
，
，
，
又，
，
，即；
（3）解：如图4，当点在下方时，过点作于点，连接，
是圆的直径，
，
，圆的半径为10，
，
，
，
，
，
，
当点在上方时，，
同理得，
综上所述：的长为或．
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