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第 19 章 数据的分析
19.2 数据的离散程度
1. 方差
1. 理解离差平方和、方差的概念及统计学意义；
2. 会计算一组数据的离差平方和、方差；(重点)
3. 能够运用方差判断数据的波动程度，并解决简单的实际问题.（难点）
葫芦七兄弟要组队参加仙界运动会的 “ 整齐队列赛 ”，要求由大娃带队，队员身高尽量均匀。分成两组候选队员，大家来看看哪组更符合要求
甲组 (大娃、三娃、五娃、七娃):
身高：180cm、178cm、173cm、183cm。
乙组 (大娃、二娃、四娃、六娃):
身高：180cm、181cm、178cm、176cm
1. 计算一下两组队员的平均身高，对比一下每组队员的身高，哪一组队员看起来更整齐
2. 这种'不整齐"该怎么用数学方法衡量呢
乙组队员看起来更整齐.
方差的意义
问题1 下表显示的是 2022 年 7 月 20 日 8 时至 7 月 21 日 5 时天津和新加坡两地的气温，如何对两地在这个时间段内的气温进行比较呢
8 时 11 时 14 时 17 时 20 时 23 时 2 时 5 时
天津 27 30 32 31 26 25 24 23
新加坡 26 27 28 29 27 27 27 27
天津和新加坡的气温变化图 单位:℃
1
8 时 11 时 14 时 17 时 20 时 23 时 2 时 5 时
天津 27 30 32 31 26 25 24 23
新加坡 26 27 28 29 27 27 27 27
操作 试着计算两地这段时间的平均气温.
这能否说明两地的气温情况总体上没有什么差异呢
不能，数据的分布情况可能不一样.
气温/℃
35
30
25
20
15
10
5
0
8时 11时 14时 17时 20时 23时 2时 5时
气温/℃
35
30
25
20
15
10
5
0
8时 11时 14时 17时 20时 23时 2时 5时
① 天津
② 新加坡
观察下图，你感觉它们有没有差异呢
通过观察，我们可以发现：图 ① 中的点波动范围比较大—从 23℃ 到 32℃相差 9℃；图 ② 中的点波动范围比较小—从 26℃ 到 29℃ ，相差 3℃ .
(1) 比较两组数据时，通常可以先画图，直观地感受一下两组数据的整体特点.
(2) 即便两组数据的平均数相等，它们还可能在数据的波动大小上表现出差异，因此，不能只限于比较平均数.数据波动小，则平均数更具有代表性.
概括
比较两组数据的方法：
问题2 小明和小兵两人参加体育项目训练近期的 5 次测试成绩如表所示，谁的成绩较为稳定 为什么
第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次
小明 10 14 13 12 13
小兵 11 11 15 14 11
(1) 试着计算一下两人成绩的平均数和成绩最大值与最小值的差值.
小明：(10+14+13+12+13)÷5 = 12.4
小兵：(11+11+15+14+11)÷5 = 12.4
两人成绩的平均数相等
16
14
12
10
8
6
4
2
0
1 2 3 4 5
小明
小兵
体育项目测试成绩图
小明的成绩大部分集中在其平均数附近，而小兵的成绩与其平均数的离散程度略大.
(2) 观察右图，试着比较一下小明和小兵平均成绩的离散程度.
通常，如果一组数据与其平均数的离散程度较小，我们就说它比较稳定。
思考 怎样的指标能反映一组数据与其平均数的离散程度呢
我们已经看出，小兵的测试成绩与其平均数的偏差与小明的相比略大.
猜想 可以将各数据与其平均数的差进行累加来反映一组数据与其平均数的离散程度.
在下面的表格中填写你的计算结果：
第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 求和
小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13
每次成绩 - 平均成绩
小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11
每次成绩 - 平均成绩
-2.4
1.6
0.6
-0.4
0.6
2.6
0
1.6
-1.4
-1.4
-1.4
0
求和的结果都是 0 ，因此将各数据与其平均数的差进行累加无法反映数据的离散程度.
第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 求和
小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13
小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11
既然直接求和不行，那么用什么办法可以从
整体上反映各个数据远离平均数的情况呢 请你提出一个可行的方案，在下表中写出新的计算方案，并将计算结果填入表中.
我们可以用“先平均，再求差，然后平方，
最后求和”所得到的结果反映一组数据与其平均数的离散程度. 这个结果称为这组数据的离差平方和.
通常用 x1，x2，····xn 表示各个原始数据， 表示一组数据的平均数. 那么这组数据的离差平方和的计算式就是：
第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 求和
小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13
(每次成绩 - 平均成绩)2
小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11
(每次成绩 - 平均成绩)2
5.76
1.96
1.96
1.96
2.56
2.56
0.36
0.36
0.16
6.76
9.2
15.2
根据计算公式分别求出小明和小兵 5 次测试成绩的离差平方和并填入下面的表格中：
思考 如果一共进行了 7 次测试，小明因故缺席
了2 次，怎样比较谁的成绩更稳定 请将你的方法及数据填入表中.
第1次 第2次 第 3 次 第4次 第5次 第6次 第7次
小明 每次测试成绩 10 14 13 缺席 12 缺席 13
小兵 每次测试成绩 11 11 15 11 14 14 11
在计算一组数据的离差平方和时，随着数据个数的增多，和通常也会增大.因此，当两组数据所含数据的个数不同时，直接比较离差平方和显得不公平，还需要平均化，这样得到的结果称为方差，通常记为 σ 2，
我们通常用方差来衡量一组数据偏离其平均数的情况.
概括
设有 n 个数据 x1，x2，… xn，这组数据的平均数为 ，那么这组数据的离差平方和为：
平均化之后即为方差，即：
σ 2 =
方差的意义：方差越大，数据的波动越大；
方差越小，数据的波动越小．
【答】(1)平均数：6，方差：0；(2)平均数：6；方差：
(3)平均数：6，方差： ；(4)平均数：6，方差： .
【练一练】
1. 用条形图表示下列各组数据，计算并比较它们的平
均数和方差，体会方差是怎样刻画数据的波动程度的.
(1) 6 6 6 6 6 6 ； (2) 5 5 6 6 6 7 7；
(3) 3 3 4 6 8 9 9； (4) 3 3 3 6 9 9 9.
2.如图是甲、乙两射击运动员的10 次射击训练
成绩的折线统计图．观察图形，甲、乙这10 次射击成绩的方差哪个大？
【答】乙的射击成绩波动大，所以乙的方差大.
方差的简单应用
问题3 在这次篮球联赛中,最后是九班和三班争夺这次篮球赛冠军, 赛前两个班的拉拉队都表演了啦啦操,参加表演的女同学的身高(单位: cm)分别是：
九班 163 163 165 165 165 166 166 167
三班 163 164 164 164 165 166 167 167
哪班啦啦操队女同学的身高更整齐
(1) 你是如何理解“整齐”的？
(2) 从数据上看，你是如何判断哪个队更整齐？
2
方法一：
方法二：
解： 取 a = 165.
九班新数据为： -2，-2， 0， 0，0，1，1，2.
直接求原数据的方差.
（一个学生在黑板上板书，其他学生在本上作答）
三班新数据为：-2，-1，-1，-1，0，1，2，2.
求两组新数据方差.
方法拓展
任取一个基准数 a
将原数据减去 a，得到一组新数据
求新数据的方差
1
2
3
求一组较大数据的方差，有如下简便计算方法：
【练一练】3.甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如下表：
某同学分析上表后得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩平均水平相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字≥150个为优秀)；③甲班成绩的波动比乙班大.上述结论正确的有 .
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
①②③
① 对于数据 x1 - 3，x2 - 3，x3 - 3，…，xn - 3
平均数为 ，方差为 .
② 对于数据 x1 + 3，x2 + 3，x3 + 3，…，xn + 3
平均数为 ，方差为 .
若数据 x1、x2、…、xn 平均数为 ，方差为 σ 2 ，则
x
+ 3
x
- 3
x
σ 2
σ 2
结论(1)： 数据 x1±b、x2±b、…、xn±b ，
平均数为 ，方差为 .
±b
x
σ 2
【知识拓展】
③ 数据 3x1 ，3x2 ，3x3 ，…，3xn ，
平均数为 ，方差为 .
④ 数据 2x1 - 3，2x2 - 3，2x3 - 3 ，…，2xn - 3
平均数为 ，方差为 .
- 3
2x
9σ 2
4σ 2
3x
结论(2)：数据 ax1、ax2、…、axn，
平均数为 ，方差为 .
ax
a2σ 2
结论(3)： 数据 ax1±b、ax2±b、…、axn±b ，
平均数为 ，方差为 .
±b
ax
a2σ 2
方差
方差的统计学意义(判断数据的离散程度)：
方差越大(小)，数据的波动越大(小).
离差平方和的概念与计算方法
方差的概念与计算方法
1.样本方差的作用是（ ）
A.表示总体的平均水平
B.表示样本的平均水平
C.准确表示总体的波动大小
D.表示样本的波动大小,从而估计总体的波动大小
D
2. 人数相同的八年级 (1)、(2) 两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：
， ， ，则成绩较为稳定的班级是（ ）
A. 甲班 B. 乙班
C. 两班成绩一样稳定 D. 无法确定
B
3. 小凯同学参加数学竞赛训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示，则他这五次成绩的方差 为 .
100
4.在样本方差的计算公式
中， 数字 10 表示__________，数字 20 表示 _______.
样本容量
平均数
5. 五个数 1，3，a，5，8 的平均数是 4，则 a =_____，
这五个数的方差_____.
3
5.6
6.为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行 10次测验，成绩 (单位：分) 如下：
甲的成绩 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84
乙的成绩 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78
(1) 填写下表：
同学 平均成绩 中位数 众数 方差 85分以上的频率
甲 84 84 0.3
乙 84 84 34
84
90
0.5
14.4
(2) 利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行评价.
解：从众数看，甲成绩的众数为 84 分，乙成绩的众数是 90 分，乙的成绩比甲好；
从方差看，σ 2 甲 = 14.4， σ 2 乙 = 34，甲的成绩比乙相对稳定；从甲、乙的中位数、平均数看，中位数、平均数都是84 分，两人成绩一样好；
从频率看，甲 85 分以上的次数比乙少，乙的成绩比甲好.

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