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第 1 课时 菱形的判定定理1
18.2.2 菱形的判定
第18章 矩形、菱形与正方形
1. 运用菱形的定义来判定菱形；（重点）
2. 利用菱形的性质（四条边相等）来判定菱形.
（难点）
一组邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
平行四边形
菱形的性质
菱形
两组对边平行
四条边相等
两组对角分别相等
邻角互补
两条对角线互相垂直平分
每一条对角线平分一组对角
边
角
对角线
问题 菱形的定义是什么？性质有哪些？
根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法：
且 AB = AD，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
数学语言
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
A
B
C
D
思考 还有其他的判定方法吗？
四条边都相等的四边形是菱形
1
思考1 菱形是特殊的平行四边形，具有如下性质:
这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢
1. 四条边都相等:
2. 两条对角线互相垂直.
可以根据菱形的特殊性质来猜想菱形的判定方法.
思考2 对于一般的四边形，如何寻找判定它是不是菱形的方法呢
试着画一画，与周围的同学讨论，猜一猜结论是否成立.
由菱形的性质“四条边都相等”，你可能会想到菱形的一种判定方法:
如果一个四边形的_______________，那么它肯定是一个菱形.
四条边都相等
试一试 如图，作一个四条边都相等的四边形.
作法： (1) 作两条相等的线段 AB、AD；
(2) 分别以点 B 和点 D 为圆心、AB
长为半径作弧，两弧相交于点 C；
(3) 连结 BC、CD；四边形 ABCD
即为所要求作的四边形.
观察你所画的图形，它是菱形吗
D
A
B
C
菱形的判定定理 1 四条边都相等的四边形是菱形.
几何语言：
在四边形 ABCD 中，
∵ AB = BC = CD = AD，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
思考 三条边都相等的四边形是菱形吗？
不一定！
反例：
A
B
C
D
知识要点
证明：∵ AB = BC = CD = AD，
∴ AB = CD，BC = AD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
又∵ AB = BC，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
【定理证明】
已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD.
求证：四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
【练一练】
1.下列命题中正确的是 （ ）
A. 一组邻边相等的四边形是菱形
B. 三条边相等的四边形是菱形
C. 四条边相等的四边形是菱形
D. 四个角相等的四边形是菱形
C
例1 如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别是四条边的中点，试问：四边形 EFGH 是什么图形 并说明理由.
分析 四边形 EFCH 的四条边分别属于矩形四个角上的三角形，如果能够证明这四个三角形全等，那么就可以利用菱形的判定定理1，得出四边形 EFGH 是菱形.
典例精析
证明 ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AB = CD，∠A =∠D = 90°.
∵点 E、F、G 为 AB、AD、CD 的中点，
∴ AE = DG，AF = DF.
∴△AEF≌△DGF.∴ EF=FG.
同理可得 EF = EH = HG = FG.
∴ 四边形 EFGH 是菱形.
A
B
C
D
E
F
G
H
延伸 如图，顺次连接平行四边形 ABCD 各边中
点，得到四边形 EFGH 是什么四边形？
解：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AD = BC，AB = CD，∠A = ∠C，
∴四边形 EFGH 是平行四边形.
∵点 E、F、G、H 为各边中点，
∴△AEF≌△CGH.
∴EF = GH.
同理可得 FG = EH.
证明：∵∠1 =∠2，AE = AC，AD = AD，
∴ △ACD≌△AED (SAS).
同理，△ACF≌△AEF.
∴ CD = ED，CF = EF.
又∵ EF = ED，
∴ CD = ED = CF = EF.
∴ 四边形 CDEF 是菱形.
2
例2 如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点 E、F 分别在 AB、AD 上，且 AE = AC，EF = ED.
求证：四边形 CDEF 是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
典例精析
A
B
C
D
O
E
【练一练】
2. 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O ，DE∥AC , CE ∥BD. 求证：四边形 OCED 是菱形
证明 ∵ DE∥AC，CE∥BD，
∴ 四边形 OCED 是平行四边形，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ OC = OD，
∴ 四边形 OCED 是菱形．
例3 如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6 cm，
BC＝8 cm. 将△ABC 沿射线 BC 方向平移 10 cm，得到△DEF，A，B，C 的对应点分别是 D，E，F，连接AD. 求证：四边形 ACFD 是菱形．
证明：由平移的性质得 CF＝AD＝10 cm，DF＝AC.
∵∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，
∴ AC＝DF＝AD＝CF.
∴ 四边形 ACFD 是菱形．
典例精析
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
判定定理1：四边都相等的四边形是菱形.
菱形的判定
1. 如图，将△ABC 沿 BC 方向平移得到 △DCE，连接 AD，增加下列条件能够判定四边形 ACED 为菱形的是（　　）
A．AB = BC B．AC = BC
C．∠B = 60° D．∠ACB = 60°
B
解析：∵ 将△ABC 沿 BC 方向平移得到 △DCE，
∴ AC∥DE，AC = DE. ∴ 四边形 ACED 为平行四边形.
当 AC = BC 时，平行四边形 ACED 是菱形．故选 B．
2.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，延长 BA 到点 E，使 AE = AB，连接 ED、EC、AC．添加一个条件，能使四边形 ACDE 成为菱形的是（　　）
A．AB = AD B．AB = ED
C．CD = AE D．EC = AD
B
3.如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，
EF 垂直平分 AD 交 AB 于 E，交 AC 于 F．
求证：四边形 AEDF 是菱形．
证明：∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD = ∠CAD.
又∵EF⊥AD，∴∠AOE = ∠AOF = 90°.
∵在△AEO 和△AFO 中
∠EAO＝∠FAO，AO＝AO，∠AOE＝∠AOF，
∴△AEO≌△AFO（ASA），
∴ EO = FO，AE = AF.
∵ EF 垂直平分 AD，
∴ EF、AD 相互平分，
∴ 四边形 AEDF 是平行四边形.
又 ∵AE = AF，
∴ 平行四边形 AEDF 为菱形．
证明：由尺规作∠BAF 的平分线的过程可得
AB = AF，∠BAE =∠FAE.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC. ∴∠FAE =∠AEB.
∴∠BAE =∠AEB. ∴ AB = BE.
∴ BE = FA.
∴ 四边形 ABEF 为平行四边形.
∵ AB = AF，∴ 四边形 ABEF 为菱形.
4.如图，在平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作
∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，连接 EF．
（1）求证：四边形 ABEF 为菱形；
（2）AE，BF 相交于点 O，
若 BF = 6，AB = 5，求 AE 的长．
解：∵ 四边形 ABEF 为菱形，
∴ AE⊥BF，BO = FB = 3，AE = 2AO．
在 Rt△AOB 中，由勾股定理得 AO = 4，
∴ AE = 2AO = 8．

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