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18.2.2 菱形的判定
第 2 课时 菱形的判定定理2
第18章 矩形、菱形与正方形
1.利用菱形特有性质（对角线互相垂直）来判定平行四边形是否为菱形；（重点）
2.菱形的性质与判定的综合运用.（难点）
问题 上一课我们学习的菱形的判定方法有哪些？
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.定理：四边相等的四边形是菱形.
菱形的特有性质：对角线互相垂直平分
对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
能否判定？
思考：还有其他的判定方法吗？
做一做 将一张长方形的纸对折，再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就得到了一个菱形.
(1)
(2)
(3)
(4)
你能说说这样做的道理吗
猜想 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明这一猜想吗？
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
探索 取两根长度不等的细木棒，让这两个细木棒的中点如图重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线，转动其中一根木棒，重复上面的做法，当两根木棒之间的夹角等于 90°时，得到的是什么图形呢
1
试一试 作一个两条对角线互相垂直的平行四边形.
作法: (1) 作两条互相垂直的直线m、n，记交点为 O ；
(2) 以点 O 为圆心、适当长为半径作弧，在直线 m 上截取相等的两条线段 OA、OC ；
(3) 以点 O 为圆心、另一适当长
为半径作弧，在直线 n 上截取
相等的两线段 OB、OD；
(4) 顺次连结所得的四个点.
n
m
D
C
B
A
O
n
m
D
C
B
A
问题1 所画平行四边形是菱形吗？
O
是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
问题2 对角线互相垂直的四边形是菱形吗？
不一定！反例：比如筝形
几何语言
在 □ ABCD 中，AC⊥BD，
∴ □ ABCD 是菱形.
菱形的判定定理 2
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
B
C
D
知识要点
证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC.
又∵ AC⊥BD，
∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线.
∴ BA = BC.
∴ □ABCD 是菱形（菱形的定义）.
A
B
C
O
D
【定理证明】
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD.求证：□ ABCD 是菱形.
四边形
判定一个四边形是菱形的思路：
归纳总结
四条边都相等
菱形
平行四边形
一条邻边相等
菱形
对角线互相垂直
菱形
思考与动手：
1. 在一张纸上用尺规作图作出边长为 10 cm 的菱形；
2. 想办法用一张长方形纸剪出一个菱形；
3. 利用长方形纸你还能想到哪些制作菱形的方法？
请向同学们展示你的作品，全班交流.
想一想 把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分 ABCD 的形状吗？
A
C
D
B
四边形 ABCD 是菱形吗，为什么
证明：分别过点 A 作 AE⊥ BC，交 BC 于点 E， AF⊥DC 于点 F .
∵ AD∥BC，AB∥DC ，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ □ ABCD 的面积
= BC×AE = DC×AE
∵ AE = AF，
∴ BC = CD.
∴ □ ABCD 是菱形 .
A
C
D
B
例1 如图，□ ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交于点 O，AB = 5，AO = 4，BO = 3.
求证：四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
O
又∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
证明：∵ OA = 4，OB = 3，AB = 5，
即 AC⊥BD.
∴ AB2 = OA2 + OB2.
∴△AOB 是直角三角形，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
典例精析
【练一练】
1. 如图，在 □ ABCD 中，AC 平分∠DAB，AB = 2，求 □ ABCD 的周长.
解：在 □ABCD 中，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAC =∠ACB，∠BAC =∠ACD.
∵ AC 平分∠DAB，
∴∠DAC =∠BAC.
∴∠DAC =∠ACD.
∴ AD = CD.
∴ 平行四边形 ABCD 为菱形.
∴ 菱形 ABCD 的周长为 4AB = 4×2 = 8.
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AE∥FC，∴∠1 =∠2.
∵ EF 垂直平分 AC，∴ AO = OC.
在△AOE 和△COF 中，
∵∠1 =∠2，AO = OC，∠AOE =∠COF，
∴△AOE≌△COF. ∴EO = FO.
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形.又∵ EF⊥AC，
∴ 四边形 AFCE 是菱形
(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
例2 如图，已知矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于点 E、F.求证：四边形 AFCE 是菱形.
A
B
C
D
E
F
O
1
2
典例精析
【练一练】
2. 在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形 ABCD 是菱形，则这个条件可以是 （ 　 ）
A．∠ABC = 90°
B．AC⊥BD
C．AB = CD
D．AB∥CD
B
A
B
C
D
O
1. 判断下列说法是否正确：
(1) 对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2) 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
(3) 对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；
(4) 两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
√
╳
╳
╳
3.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在
一起，重叠的部分为四边形 ABCD，若 AC = 6cm , BD = 8cm,则重叠部分四边形 ABCD 的面积为 （ 　）
A．10cm2 B．12cm2 C．24cm2 D．48cm2
C
2. 一边长为 13 cm 的平行四边形的两条对角线的长
分别为 24 cm 和 10 cm，则其面积为 cm2.
120
3. 如图，将△ABC 沿 BC 方向平移得到 △DCE，连结 AD，增加下列条件能够判定四边形 ACED 为菱形的是（　　）
A．AB = BC
B．AC = BC
C．∠B = 60°
D．∠ACB = 60°
B
解析：∵ 将△ABC 沿 BC 方向平移得到 △DCE ，
∴ AC∥DE，AC = DE.∴ 四边形 ACED 为平行四边形.
当 AC = BC 时，平行四边形 ACED 是菱形．故选 B．
4.如图，在平行四边形 ABCD 中，AC = 6，BD = 8，AD = 5. 求 AB 的长.
解: ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ △DAO是直角三角形.
∴ ∠DOA = 90°，即DB⊥AC.
∴ 平行四边形 ABCD 是菱形.
（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
∴
又∵ AD = 5，满足
∴ AB = AD = 5 .
B
C
A
D
O
E
M
N
证明：∵ MN 是 AC 的垂直平分线，
∴ AE = CE，AD = CD，OA = OC，
∠AOD =∠EOC = 90°.
∵ CE∥AB，∴ ∠DAO =∠ECO.
∴ △ADO≌△CEO (ASA). ∴ AD = CE.
∴ 四边形 ADCE 是平行四边形.
又∵ DE⊥AC，∴ 四边形 ADCE 是菱形.
5. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB
于点 D，交 AC 于点 O，CE∥AB 交 MN 于点 E，连结 AE、CD.求证：四边形 ADCE 是菱形.
四条边都相等
菱形
一组邻边相等
对角线互相垂直
对角线互相平分
一组对边平行且相等
两组对边分别平行或相等
四边形
平行四边形
两组对角分别相等

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