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小结与复习
第18章 矩形、菱形与正方形
一、几种特殊四边形的性质
项目 四边形 边 角 对角线 对称性
对边平行且相等
对边平行且相等
对边平行
且四边相等
对边平行
且四边相等
对角相等
四个角
都是直角
对角相等
四个角
都是直角
互相平分
互相平分且相等
互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角
轴对称图形
轴对称图形
轴对称图形
互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角
中心对称图形
四边形 条件
平行 四边形
矩形
菱形
正方形
二、几种特殊四边形的常用判定方法：
1.定义：两组对边分别平行 2.两组对边分别相等
3.两组对角分别相等 4.对角线互相平分
5.一组对边平行且相等
1.定义：有一个角是直角的平行四边形
2.对角线相等的平行四边形
3.有三个角是直角的四边形
1.定义：一组邻边相等的平行四边形 2.对角线互相垂直的平行四边形 3.四条边都相等的四边形
1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
2.有一组邻边相等的矩形 3.有一个角是直角的菱形
5 种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角
且一组邻边相等
三、平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
例1：如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求矩形对角线的长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形.
∴AC = BD(矩形的对角线相等).
OA = OC = AC，OB = OD = BD，
(矩形对角线相互平分)
∴OA = OB.
A
B
C
D
O
考点一 矩形的性质和判定
A
B
C
D
O
∵∠AOD = 120°，
∴∠AOB = 60°.
∴△AOB 为等边三角形，
∴BD = 2OB = 2AB = 2×2.5 = 5.
1.如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，△ABO 是等边三角形，AB = 4，求□ABCD 的面积.
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD.
又∵△ABO 是等边三角形，
∴OA = OB = AB = 4，∠BAC = 60°.
∴AC = BD = 2OA = 2×4 = 8.
A
B
C
D
O
针对训练
∴□ABCD 是矩形 (对角线相等的平行四边形是矩形).
∴∠ABC = 90°(矩形的四个角都是直角) .
在Rt△ABC 中，由勾股定理，得
∴BC = .
∴S□ABCD = AB·BC = 4× =
A
B
C
D
O
2.如图，O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作 BE∥AC，CE∥BD，BE、CE 交于点 E，四边形 CEBO 是矩形吗？说出你的理由.
D
A
B
C
E
O
解：四边形 CEBO 是矩形.
理由如下：已知四边形 ABCD 是菱形.
∴AC⊥BD.∴∠BOC = 90°.
∵BE∥AC，CE∥BD，
∴四边形 CEBO 是平行四边形. ∴四边形 CEBO 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.
考点二 特殊平行四边形的性质与判定
例2 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 A 作 AE∥BD，过点 D 作 ED∥AC，两线相交于点 E.
求证：四边形 AODE 是菱形.
证明：∵AE∥BD，ED∥AC，
∴四边形 AODE 是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AC = BD，OA = OC = AC，OB = OD = BD，
∴OA = OC = OD，∴四边形 AODE 是菱形.
【变式题】如图，O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作BE∥AC，CE∥BD，BE、CE 交于点 E，四边形 CEBO是矩形吗？说出你的理由.
D
A
B
C
E
O
解：四边形 CEBO 是矩形.
理由如下：已知四边形 ABCD 是菱形.
∴AC⊥BD.
∴∠BOC = 90°.
∵ BE∥AC，CE∥BD，
∴ 四边形 CEBO 是平行四边形.
∴ 四边形 CEBO 是矩形.
证明：在△AOB中.
∵AB= ， OA = 2，OB = 1.
∴AB2 = AO2+OB2.
∴ △AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角.
∴AC⊥BD.∴ □ABCD 是菱形
(对角线垂直的平行四边形是菱形).
3. 已知：如右图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点O， AB= ，OA=2，OB=1. 求证： □ABCD 是菱形.
A
B
C
O
D
针对训练
4.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形 ABCD 是什么形状？说说你的理由.
A
B
C
D
E
F
解：四边形 ABCD 是菱形.
过点 C 作 AB 边的垂线，垂足为 E，作 AD 边上的垂线，垂足为 F.
S 四边形ABCD = AD · CF = AB ·CE .
由题意可知 CE = CF 且四边形 ABCD是平行四边形.
∴AD = AB . ∴四边形 ABCD 是菱形.
解：(1) 四边形 BECF 是菱形．
理由如下：∵EF 垂直平分 BC，
∴BF＝FC，BE＝EC，∴∠3＝∠1.
例3 如图，已知在四边形 ABFC 中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D，交AB 于点 E，且CF＝AE；
(1) 试判断四边形 BECF 是什么四边形？并说明理由；
(2) 当∠A 的大小满足什么条件时，四边形 BECF 是正方形？请回答并证明你的结论．
考点三 正方形的性质和判定
∵∠ACB＝90°，
∴∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°，∴∠2＝∠4，
∴EC＝AE，∴BE＝AE.
∵CF＝AE，
∴BE＝EC＝CF＝BF，
∴四边形 BECF 是菱形；
(2) 当∠A＝45°时，菱形 BECF 是正方形．
证明如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝45°，∴∠EBF＝2∠CBA＝90°，
∴菱形 BECF 是正方形．
正方形的判定方法：
① 先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
② 先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；
③ 还可以先判定四边形是平行四边形，再用 ①或 ②进行判定．
归纳总结
5. 如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.
求证：四边形 BECF 是正方形.
F
A
B
E
C
D
解析：先由两组平行线得出四边形 BECF为平行四边形；再由一组邻边相等，得出是菱形；最后由一个直角可得正方形.
45°
45°
针对训练
F
A
B
E
C
D
证明: ∵ BF∥CE，CF∥BE，
∴ 四边形 BECF 是平行四边形.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠ABC = 90°， ∠DCB = 90°，
∵ BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，
∴ ∠EBC = 45°，∠ECB = 45°，
∴ ∠ EBC = ∠ECB .
∴ EB = EC，∴□ BECF 是菱形 .
在△EBC 中
∵ ∠EBC = 45°，∠ECB = 45°，
∴∠BEC = 90°，
∴菱形 BECF 是正方形.
（有一个角是直角的菱形是正方形）
F
A
B
E
C
D
例6 如图，△ABC 中，点 O 是 AC 上的一动点，过点 O 作直线 MN∥BC，设 MN 交∠BCA 的平分线于点 E，交∠BCA 的外角∠ACG 的平分线于点 F，连接 AE、AF.
(1) 求证：∠ECF＝90°；
(2) 当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？请
说明理由；
(1) 证明：∵ CE 平分∠BCO，CF 平分∠GCO，
∴∠OCE＝∠BCE，
∠OCF＝∠GCF，
∴∠ECF＝ ×180°＝90°.
(2) 解：当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形. 理由如下：
∵ MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF.
又∵ CE 平分∠BCO，CF 平分∠GCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF.
∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC.
∴ OE＝OC，OF＝OC.
∴ OE＝OF.
当点 O 运动到 AC 的中点时，OA＝OC，
∴ 四边形 AECF 是平行四边形.
∵∠ECF＝90°，∴ 四边形 AECF 是矩形.
解：当点 O 运动到 AC 的中点，且满足∠ACB 为直角时，四边形 AECF 是正方形．
由 (2) 知四边形 AECF 是矩形，
而 MN∥BC，当∠ACB＝90° 时，
∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，
即AC⊥EF，∴ 四边形 AECF 是正方形．
(3) 在 (2) 的条件下，△ABC 满足什么条件时， 四边
形 AECF 为正方形？
分类讨论思想 例4 在一个平行四边形中，若一个角的平分线把一条边分成长是 2 cm 和 3 cm 的两条线段，求该平行四边形的周长是多少.
解：如图，∵在平行四边形ABCD中，
AB = CD，AD = BC，AD∥BC，
∴∠AEB = ∠CBE．
又∠ABE = ∠CBE，
∴∠ABE = ∠AEB，∴AB = AE．
(1)当AE = 2时，则平行四边形的周长 = 2×(2+5) = 14．
(2)当AE = 3时，则平行四边形的周长 = 2×(3+5) = 16．
考点四 本章解题思想方法
平行四边形的性质与判定中要是出现角平分线，常与等腰三角形的性质和判定结合起来考查，当边指向不明时需要分类讨论，常见的模型如下：
归纳总结
方程思想 例5 如图，折叠长方形一边AD，点 D
落在 BC 边的点 F 处，BC = 10 cm，AB = 8 cm，
求：(1) FC 的长； (2) EF 的长．
解：（1）由题意得AF=AD=10 cm，
在Rt△ABF 中，∵AB = 8，
∴BF = 6 cm，
∴FC = BC - BF = 10 - 6 = 4 (cm)．
（2）由题意可得 EF = DE，可设 DE 的长为 x，
在Rt△EFC 中，(8-x)2 + 42 = x2，
解得 x = 5， 即 EF 的长为 5 cm．
转化思想 例6 如图，平行四边形 ABCD 中，AC、BD 为对角线，其交点为 O，若 BC = 6，BC 边上的高为 4，试求阴影部分的面积．
解：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD.
∵AB∥CD，
∴∠EAO = ∠HCO.
又∵ ∠AOE = ∠COH，
∴△AEO≌△CHO（ASA），
同理可得△OAQ≌△OCG，△OPD≌△OFB，
∴S阴影 = S△BCD = S平行四边形ABCD = ×6×4 = 12．
E
H
F
P
G
Q
四边形的分类及转化
有一个角是90°
（或对角线相等）
有一对邻边相等
（或对角线互相垂直）
平行
四边形
矩形
菱形
正方形
一组邻边相等且一个内角为直角
（或对角线互相垂直且相等）
有一个角是90°
（或对角线相等）
有一对邻边相等
（或对角线互相垂直）

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