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18.2.1 菱形的性质
第 1 课时 菱形的性质
第18章 矩形、菱形与正方形
1. 了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.
2. 探索并证明菱形的性质定理.（重点）
3. 应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点）
欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗
欣赏视频：前面的图片中出现的图形是平行四边形，和视频中的菱形一样，那么什么是菱形呢？它有什么特点？这节课让我们一起来学习吧！
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做一做 将一张矩形的纸对折，再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形？
①
②
③
④
菱形的性质
1
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
A
B
C
D
几何语言
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， AB = BC，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
菱形的概念：
菱形是一种特殊的平行四边形，
它具有平行四边形的一般性质.
概括
【练一练】
1. 下列哪个图形能够反映四边形、平行四边形、菱形的关系的是（ ）
C
D.
C.
四边形
菱形
平行四边形
四边形
菱形
平行四边形
四边形
菱形
平行四边形
平行四边形
菱形
四边形
A.
B.
对称性 边 角 对角线
平行四边形的一般性质 中心对称
菱形的 特殊性质
对边平行且相等
对角相等
互相平分
中心对称
轴对称
四条边都相等
对角相等
互相平分
且垂直
问题1：为一种特殊的平行四边形，菱形具有平行四边形的一般性质，同时也具有一些特殊性质.将你的发填入下表中：
问题2：菱形是不是中心对称图形 如果是，那么对称中心是什么？
菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
由于菱形是平行四边形，因此
O
问题3：我们知道了菱形是中心对称图形，那么菱形是轴对称图形吗 ，它的对称轴在哪里？
③
④
D
A
B
C
O
┐
┐
菱形是轴对称图形，共有两条对称轴 ，对称轴是两条对角线所在的直线 .
做一做 把图中的菱形 ABCD 沿直线 DB 对折，点 A 的对应点是______， 点 C 的对应点是_____， 点 D 的对应点是_____，点 B 的对应点是_____，边 AD 的对应边 是 ，边 CD 的对应边是 ， 边 AB 的对应边是 ，边 CB 的对应边是 .
点 C
点 A
边 CD
点 B
点 D
边 AD
边 CB
边 AB
根据上面的探究，容易猜想菱形所具有的特殊性质:
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB =BC = CD = AD.
概括
几何语言
A
B
C
D
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD.
几何语言
菱形的性质定理 1 菱形的四条边都相等，
菱形的性质定理 2 菱形的对角线互相垂直.
求证：(1) AB = BC = CD = AD；
证明：(1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB = CD，AD = BC
(平行四边形的对边相等).
又∵ AB = AD，
∴ AB = BC = CD = AD.
A
B
C
O
D
【验证猜想】
如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.
如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = AD，
对角线 AC 与 BD 相交于点 O.
(2) 求证 AC⊥BD .
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB = BC，AO = OC，
∴ △ABC 是等腰三角形，
且 BO 是 △ABC 底边的中线，
∴ BO⊥AC，(三线合一)，即 AC⊥BD .
A
B
C
O
D
例1 如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝2∠B. 试求出∠B 的大小，并说明△ABC 是等边三角形.
解：在菱形 ABCD 中，
∵∠B＋∠BAD＝180°，∠BAD＝2∠B，
∴∠B＝60°.
在菱形 ABCD 中，
∵AB＝BC (菱形的四条边都相等)，∠B＝60°.
∴△ABC 是等边三角形.
A
B
C
D
典例精析
解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，
AO＝ AC，BO＝ BD.
∵AC＝6 cm，BD＝12 cm，
∴AO＝3 cm，BO＝6 cm.
在 Rt△ABO 中，由勾股定理得
∴菱形的周长＝4AB＝4× ＝ (cm).
例2 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD ＝ 12 cm，AC ＝ 6 cm，求菱形的周长．
典例精析
例3 如图，在菱形 ABCD 中，CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F，求证：AE＝AF.
证明：连接 AC. ∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC 平分∠BAD，
即∠BAC＝∠DAC.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
又∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF. ∴AE＝AF.
典例精析
2. 如图，在菱形 ABCD 中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD 的周长是 (　　)
A. 10 B. 12 C. 15 D. 20
C
3. 如图，菱形 ABCD 的周长为 48 cm，对角线 AC、BD 相交于 O 点，E 是 AD 的中点，连接 OE，则线段 OE 的长为_____cm.
第 2 题图
第 3 题图
6
【练一练】
问题1 菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形 ABCD 的面积呢
A
B
C
D
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形 ABCD 的面积呢
能. 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，
则 S菱形ABCD = 底×高
= BC·AE.
E
菱形的面积
2
解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD.
∴S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC
= AC·BO + AC·DO
= AC (BO + DO)
= AC·BD.
问题2 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积.
A
B
C
D
O
你有什么发现？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
例4 如图，在菱形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点，且在△AOB 中，OA＝5，OB＝12. 求菱形 ABCD 两对边的距离 h.
解：在 Rt△AOB 中，OA＝5，OB＝12，
∴S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12 ＝ 30.
∴S菱形ABCD＝ 4S△AOB＝ 4×30 ＝ 120.
又∵菱形两组对边的距离相等，
∴ S菱形ABCD＝AB·h＝13h. ∴13h＝120，得 h＝ .
典例精析
归纳 菱形的面积计算有如下方法：
(1) 一边长与对边的距离(即菱形的高)的积；
(2) 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)；
(3) 两条对角线长度乘积的一半．
4. 如图，已知菱形的两条对角线长分别为 6 cm 和
8 cm，则这个菱形的高 DE 为（　　）
A. 2.4 cm B. 4.8 cm C. 5 cm D. 9.6 cm
B
【练一练】
菱形的性质
菱形的性质
有关
计算
边
1. 周长 = 边长的四倍
2. 面积 = 两条对角线乘积的一半
角
对角线
1. 两组对边平行且相等；
2. 四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1. 两条对角线互相垂直平分；
2. 每一条对角线平分一组对角
是中心对称图形和轴对称图形
对称性
1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A. 对角相等 B. 对边相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等
C
2. 如图，在菱形 ABCD 中，AC = 8，BD = 6，则 △ABD的周长等于 （　　）
A. 18 B. 16
C. 15 D. 14
B
3. 根据下图填一填：
（1）已知菱形 ABCD 的周长是 12 cm，那么它的边长
是 ____cm.
（2）在菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°，则∠BAC＝
_______.
（3）菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，
则菱形的边长是____cm.
3
30°
A
B
C
O
D
5
(4) 菱形的一个内角为 120°，平分这个内角的对角线长为 11 cm，菱形的周长为______cm.
44
(5) 菱形的面积为 64 cm2，两条对角线的比为 1∶2 ， 那么菱形最短的那条对角线长为_____cm.
8
A
B
C
O
D
4.如图，四边形 ABCD 是边长为 13 cm 的菱形，其中对
角线 BD 长 10 cm.
求：(1) 对角线 AC 的长度；
(2) 菱形 ABCD 的面积.
解：(1)
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴∠AED = 90°，
(2)菱形ABCD的面积
∴AC = 2AE = 2×12 = 24 (cm).
D
B
C
A
E
5. 如图，四边形 ABCD 是菱形，F 是 AB 上一点，DF 交 AC 于 E． 求证：∠AFD = ∠CBE．
A
D
C
B
F
E
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴CB = CD， CA 平分∠BCD．
∴∠BCE = ∠DCE．又 CE = CE，
∴△BCE≌△DCE（SAS）．
∴∠CBE = ∠CDE．
∵在菱形 ABCD 中，AB∥CD，
∴∠AFD = ∠EDC.
∴∠AFD = ∠CBE．

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