资源简介

(共20张PPT)
18.1.2 矩形
第 2 课时 直角三角形斜边上的中线的性质
第18章 矩形、菱形与正方形
1. 理解并能推导直角三角形斜边上中线的性质，利用直角三角形斜边上中线的性质解决问题。（重点）
2.能够利用直角三角形斜边上中线的性质解决其他多边形的证明与判定类问题。（难点）
1. 矩形有哪些性质
2. 矩形有哪些常见的判定方法
性质定理 1 矩形的四个角都是直角.
性质定理 2 矩形的对角线相等.
判定定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形.
判定定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形.
思考 如图①所示，在矩形 ABCD 中，AC = BD，
AO = OC，BO = OD. 若擦去半个矩形，如图 ②，
BO 即Rt△ ABC 斜边 AC 上的中线，由此，你能发现 BO 与斜边 AC 的关系吗
A
B
C
D
O
A
B
C
O
①
②
直角三角形斜边上的中线的性质
1
证明：如图，延长 BO 至点 D，
使 OD = OB，连结 AD 和 CD.
在四边形 ABCD 中，
∵ OA = OC，OB = OD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
又 ∵∠ABC = 90°，∴ 四边形 ABCD 是矩形.
从而 AC = BD ，BO = BD = AC .
例1 如图 ，在 Rt△ ABC 中，BO 为斜边 AC 上的中线，求证：
A
B
C
O
典例精析
D
直角三角形的性质：
定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
概括
几何语言描述：
A
B
C
O
∵ BO 是 Rt△ABC 斜边 AC 上的中线
∴ BO = AC
例2 如图，在△ABC 中，AD 是高，E、F 分别是AB、AC 的中点．
(1) 若AB＝10，AC＝8，求四边形 AEDF 的周长；
解：∵AD 是 △ABC 的高，
E、F 分别是 AB、AC 的中点，
∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5，
DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4，
∴四边形AEDF的周长：
AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18 .
典例精析
(2) 求证：EF 垂直平分 AD .
证明：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴E、F 在线段 AD 的垂直平分线上，
∴ EF 垂直平分 AD .
归纳 当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
例3 如图，已知 BD ，CE 是△ ABC 不同边上的高，点 G，F 分别是 BC，DE 的中点，试说明 GF⊥DE .
解：连接 EG，DG .
∵BD，CE 是 △ABC 的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点 G 是 BC 的中点，
∴EG ＝ BC，DG＝ BC.
∴EG ＝ DG.
又∵点 F 是 DE 的中点，∴ GF⊥DE.
典例精析
在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．
方法归纳
【练一练】
1. 如图，在 △ABC 中，∠ABC = 90°，BD 是斜边 AC 上的中线.
(1) 若 BD = 3 cm，则 AC =_____cm;
(2) 若∠C = 30°，AB = 5cm，则 AC =_____cm，BD =_____cm.
A
B
C
D
6
10
5
试一试 写出上述结论的逆命题，观察下图，试判断该逆命题是否成立.
A
B
C
D
原命题
逆命题
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
分析 图中，CD = AD = BD .即边 AB 上的中线 CD 将整个三角形分成了两个等腰三角形利用等腰三角形两底角相等的性质，容易证明∠ACD 与∠BCD 的和为 90°，即该三角形确实是一个直角三角形.
A
B
C
D
【命题证明】
如图 ，在△ABC 中，CD 为斜边 AB 上的中线，AB = 2CD ，求证：△ABC 为直角三角形 .
A
B
C
D
证明：∵CD 是 AB 中线，∴ AD = BD = AB .
又∵AB = 2CD，
∵ AD = CD，BD = CD，
∴ ∠A =∠ACD ，∠B =∠BCD .
故 CD = AB， 即 AD = BD = CD.
在 △ABC 中，∠A+∠B+∠ACB = 180°，
且∠ACB =∠ACD +∠BCD ，
∴∠A +∠B +∠ACD +∠BCD = 180°，
∴2∠ACD + 2∠BCD =180°，即∠ACD +∠BCD = 90°.
∴ ∠ACB = 90°，即 △ABC 为直角三角形.
一个三角形一边上的中线等于
该边的一半，那么这个三角形是一
个直角三角形.
概括
几何语言描述：
∵ BD 是 △ABC 斜边 AC 上的中线，BO = AC
∴ △ABC 为直角三角形.
A
B
C
D
直角三角形斜边上的中线的性质
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
推论：一个三角形一边上的中线等于
该边的一半，那么这个三角形是一
个直角三角形
1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，∠B = 30°，
CD⊥AB 于点 D，E 是 AB 的中点.若 AB = 8，则 DE 的长为 ( )
A. 1 B.2
C.4 D.6
B
2. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 20°，CD 为 AB 边上的中线，DE⊥AC ，则图中与 ∠A 互余的角共有 ( ) .
A. 2 个 B. 3 个
C. 4 个 D. 5 个
C
3. 如图，△ABC 中，AB = AC = 10，BC = 6，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，点 E 为 AC 的中点，连接 DE ，求 △CDE 的周长.
解：∵AB = AC，AD 平分 ∠BAC，
∴AD⊥BC，CD = BC = 3，
∵AD⊥BC，点 E 为 AC 的中点，
∴DE = EC = AC = 5，
∴△CDE 的周长 = CD + DE + EC = 13.
4 .如图，在 Rt△ABC 中，D 是斜边 BC 的中点，以 AD 为边作正方形 ADEF. 若 BC = 10 ，求正方形 ADEF 的面积.
解：在 Rt△ ABC 中，
D 是斜边 BC 的中点，BC = 10，
∴ AD = BC = ×10 = 5，
∴ S正方形ADEF = 5×5 = 25，
故正方形 ADEF 的面积为 25 .

展开更多......

收起↑