资源简介

(共29张PPT)
17.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定定理1，2
第 17 章 平行四边形
学习目标
1.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程 ，体会类比思想及探究图形判定方法的一般思路. (难点)
2.掌握平行四边形的判定定理 1 和 2 ，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证. (重点)
思考 根据上一节的知识，平行四边形有哪些性质？
两组对边分别相等
两组对角分别相等
两组对角线互相平分
B
D
A
C
根据平行四边形的性质，你认为可能有哪些判定方法？
数学来源于生活，高铁被外媒誉为我国新四大发明之一 ，我们知道铁路的两条直铺的铁轨互相平行，那么铁路工人是怎样的确保它们平行的呢
条件 结论
平行四边形的两组对边分别相等
逆命题
一个四边形是平行四边形
这个四边形的两组对边分别相等
这个四边形的两组对边分别相等
这个四边形的两组对边分别相等
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
思考 由平行四边形的性质“平行四边形的两组对边分别相等”，逆向思考，互换条件与结论，试写出它的逆命题.你认为它是一个真命题吗
1
试一试 作一个两组对边分别相等的四边形.
B
D
A
C
1.任取两点 B 、D；
2.分别以点 B 和点 D 为圆心、任意长为半径，分别在线段 BD 的两侧画弧；
3.再分别以点 D 和点 B 为圆心、适当长为半径画弧，与前面所画的弧分别交于点 A 和点 C；
4.顺次连结各点.四边形 ABCD 即为所要求作的四边形.
猜想 观看视频，将两长两短的四根细木条用小钉固定在一起，任意拉动，所得的四边形是平行四边形吗
点击视频
开始播放
→
证一证 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝DC，AD＝BC.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
证明：连接 BD.
∵AB＝CD，AD＝CB，
BD＝DB，
∴△ABD≌△CDB (SSS) .
∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠4.
∴ AD∥CB，AB∥CD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).
1
3
4
2
平行四边形的判定定理 1
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，
∵AB＝CD，AD＝BC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
B
D
A
C
归纳总结
概括
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
例1 如图，在 Rt△MON 中，∠MON＝90°.
求证：四边形 PONM 是平行四边形．
证明：Rt△MON 中，
由勾股定理得 (x－5)2＋42＝(x－3)2，
解得 x＝8.
∴ PM ＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.
∴ PM＝ON，OP＝MN.
∴ 四边形 PONM 是平行四边形．
典例精析
例2 如图，在 △ABC 中，分别以 AB、AC、BC 为边在 BC 的同侧作等边 △ABD、等边 △ACE、等边 △BCF.试说明四边形 DAEF 是平行四边形．
解：∵△ABD 和△FBC 都是等边三角形，
∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠FBA＝60°.
∴∠DBF＝∠ABC.
又∵BD＝BA，BF＝BC，
∴△ABC≌△DBF (SAS).
∴AC＝DF＝AE.
同理可证△ABC ≌ △EFC，
∴AB＝EF＝AD.
∴四边形 DAEF 是平行四边形．
练一练 如图， AD⊥AC，BC⊥AC，且 AB = CD，
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：在 Rt△ABC 和 Rt△CDA 中，
∵ AC = CA，AB = CD，
∴ Rt△ABC ≌ Rt△CDA ( HL ).
∴ BC = DA.
又 ∵ AB = CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形．
思考 从边的角度看，把你认为需要再增加的条件填入下面的空框内：
一组对边相等
平行四边形
一组对边平行
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2
试一试 作一个两组对边分别相等的四边形
1.任意画两条平行线 m 、n；
2.在直线 m、n 上分别截取AB、CD，使 AB = CD；
n
·
·
C
D
·
A
·
B
m
3.分别连结点B、C和点 A、D.
四边形 ABCD 即为所要求作的四边形.
思考 四边形 ABCD 是平行四边形吗？
A
B
C
D
证明思路
作对角线构造全等三角形
一组对应角相等
两组对边分别平行
四边形 ABCD 是平行四边形
证一证 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝CD 且 AB∥CD，求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
2
1
证明：连接 AC.
∵AB∥CD， ∴∠1＝∠2.
在 △ABC 和 △CDA 中，
AB＝CD，
AC＝CA，
∠1＝∠2，
∴△ABC≌△CDA (SAS).
∴∠ACB＝∠CAD ，∴AD∥CB.
又∵AB∥CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
平行四边形的判定定理 2
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
B
D
A
C
概括
“平行且相等”常用符号“ ”来表示.
如图，AB = CD 且 AB∥CD，可以记作“AB CD”，读作“AB 平行且等于 CD ”.
∥
=
∥
=
B
D
A
C
知识要点
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥CB (平行四边形的对边平行)，
即 AF∥CE．
又∵AF＝CE，
∴四边形 EBFD 是平行四边形
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
例3 如图 ，在□ABCD 中，点 E，F 分别是AB，CD 对边 BC 和 DA 上，且 AF = CE. 求证：四边形 EBFD 是平行四边形.
典例精析
例4 如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，点 E， F 分别在直线 AD 的两侧，AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC．求证：四边形 BFCE 是平行四边形．
证明：∵AB＝CD，
∴AB＋BC＝CD＋BC，即 AC＝BD.
在 △ACE 和 △DBF 中，
AC＝DB ，∠A＝∠D， AE＝DF，
∴ △ACE≌△DBF(SAS).
∴ CE＝BF，∠ACE＝∠DBF. ∴ CE∥BF.
∴ 四边形 BFCE 是平行四边形．
典例精析
1. 已知四边形 ABCD 中有四个条件：AB∥CD，AB＝CD，BC∥AD，BC＝AD，从中任选两个，不能使四边形 ABCD 成为平行四边形的选法是 ( )
A．AB∥CD，AB＝CD
B．AB∥CD，BC∥AD
C．AB∥CD，BC＝AD
D．AB＝CD，BC＝AD
C
练一练
平行四边形的判定
判定定理1
判定定理2
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
1. 如图所示，△ABC 是等边三角形，P 是其内任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC 的周长为 24，则 PD + PE + PF = .
A
F
B
D
C
E
P
8
2.已知 AD∥BC ，要使这个四边形 ABCD 为平行四边形，需要增加条件 .
AD = BC 或 AB∥CD
∵E，F 分别是 AD，BC 的中点，
3. 已知：如图，E，F 分别是平行四边形
ABCD 的边 AD，BC 的中点.
求证：BE = DF.
D
F
E
C
B
A
证明：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD = BC.
∴ED = BF，即 ED BF.
∥
=
∴四边形 EBFD 是平行四边形(一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形).
∴BE = DF (平行四边形的对边分别相等).
证明：在平行四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，AD = BC，
又∵BF = DH，
∴AH = CF.
又∵AE = CG，
∴△AEH≌△CGF（SAS）.
∴EH = GF.
同理得△BEF≌△DGH（SAS）∴GH = EF.
∴四边形 EFGH 是平行四边形．
4. 如图，已知 E，F，G，H 分别是□ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上的点，且 AE = CG，BF = DH．求证：四边形 EFGH 是平行四边形．
5. 现有一块等腰直角三角形铁板，要求切割一次，焊接成一个含有 45° 角的平行四边形 (不能有余料)，请你设计一种方案，并说明该方案正确的理由.
A
B
C
能力提升
C
A
B
F
E
D
D
C
A
B
E
A
B
C
F
D
E

展开更多......

收起↑