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17.2 平行四边形的判定
第 2 课时 平行四边形的判定定理3
第 17 章 平行四边形
学习目标
1. 利用对角线互相平分判定平行四边形; (重点)
2. 平行四边形对角线互相平分的相关运用; (难点)
3. 利用两组对角相等判定平行四边形. (重点)
问题1 除了两组对边分别平行或相等外，平行四边形还有哪些性质？
平行四边形的两组对角相等.
平行四边形的对角线互相平分.
角：
对角线：
思考 我们得到的这些逆命题是否都成立
问题2 上面的两条性质的逆命题各是什么？
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形
思考 由平行四边形的性质“平行四边形的两条对角线互相平分”，逆向思考，互换条件和结论，试写出它的逆命题，并且你认为它是真命题吗？
条件 结论
平行四边形的两条对角线互相平分
逆命题
一个四边形是平行四边形
这个四边形的两条对角线互相平分
一个四边形的两条对角线互相平分
这个四边形是平行四边形
1
试一试 如图，作一个两条对角线互相平分的四边形
1. 任意画两条相交直线 m 、n，记交点为 O；
2.以点 O 为中心，分别在直线 m、n 上截取 OB 与 OD 、OA 与 OC，使 OB = OD，OA= OC，顺次连结所得到的四点，
四边形 ABCD即为所要求作的四边形.
m
n
O
D
A
C
B
A
B
C
D
O
证一证 已知：四边形 ABCD 中，OA = OC，OB = OD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：
在 △AOB 和 △COD 中，
OA = OC (已知)，
OB = OD (已知)，
∠AOB = ∠COD (对顶角相等)，
∴△AOB≌△COD (SAS).
∴∠BAO = ∠OCD，∠ABO =∠CDO.
∴ AB∥CD，AD∥BC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
平行四边形的判定定理 3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，
∵AO = CO，DO = BO，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
B
O
D
A
C
归纳总结
例1 如图，在□ ABCD 中，点 E、F是对角线 AC 上的两点，且AE=CF. 求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
分析：连结 BD，交 AC 于点 O，
由四边形 ABCD 是平行四边形，
可得OB = OD.如果能证明OE = OF，
就可以根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得到四边形 BFDE 是平行四边形.
典例精析
证明：如图，连结 BD ，交 AC 于点 O .
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ BO=DO，OA=OC(平行四边形的对角线互相平分).
又∵ AE = CF ，
∴ OA - AE = CO - CF，即 OE = OF.
∴四边形 BFDE 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
例1 如图，在□ ABCD 中，点 E、F是对角线 AC 上的两点，且AE=CF. 求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
解：四边形 BMDN 是平行四边形．
理由如下：连结 BD 交 AC 于 O．
∵ BM⊥AC 于 M，DN⊥AC 于 N，
∴∠AND = ∠CMB = 90°．
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OB = OD，AO = CO，
AD = BC，AD∥BC，∴∠DAN = ∠BCM.
∴△ADN≌△CBM. ∴ AN = CM. ∴OA -AN = OC-CM，
即 ON = OM. ∴四边形 BMDN 是平行四边形．
O
【变式题】如图，AC 是平行四边形 ABCD 的一条对 角线，BM⊥AC 于 M，DN⊥AC 于 N，四边形 BMDN 是平行四边形吗？说说你的理由．
例2 如图，在□ ABCD 中，点 F、H 分别在边 AB、CD 上，且 BF = DH .求证：AC 和 HF 互相平分.
分析：因为 AC 和 HF 是四边形AFCH 的对角线，所以要证明 AC和 HF 互相平分，只需证明四边形 AFCH 是平行四边形.
典例精析
例2 如图，在 □ ABCD 中，点 F、H 分别在边 AB、CD 上，且 BF = DH . 求证：AC 和 HF 互相平分.
解：分别连结 AH、CF.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD (平行四边形的对边平行)，
AB=CD (平行四边形的对边相等).
又∵BF=DH，
∴AB - BF = CD - DH，即 AF=CH，
∴四边形 AFCH 是平行四边形
∴AC 和 HF 互相平分.
1. 根据下列条件，不能判定四边形为平行四边形的是( )
A. 两组对边分别相等 B. 两条对角线互相平分
C. 两条对角线相等 D. 两组对边分别平行
2. 如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O.
如果 AC = 8 cm，BD = 10 cm，
那么当 AO =____cm，BO =___cm 时，
四边形 ABCD 是平行四边形.
B
O
D
A
C
C
4
5
练一练
例3 如图，四边形 ABCD 中，∠A=∠C，∠B=∠D，
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
证明 ∵∠A +∠C +∠B +∠D = 360°，
∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴ 2∠A + 2∠B = 360°，
即 ∠A+∠B=180°，
∴ AD∥BC.
同理得 AB∥ CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
典例精析
两组对角分别
相等的四边形是平行四边形
1. 判断下列四边形是否为平行四边形：
A
D
C
B
110°
70°
110°
A
B
C
D
120°
60°
是
不是
2. 能判定四边形 ABCD 是平行四边形的条件：
∠A∶∠B ∶∠C∶∠D 的值为 (　　)
A. 1∶2∶3∶4
B. 1∶4∶2∶3
C. 1∶2∶2∶1
D. 3∶2∶3∶2
D
练一练
阅读思考 卢师傅要做一个平行四边形木框.他要从图中几根木条中选出四根来制作，可是他不知道该怎样选，请同学们帮他选一选，哪四根木条可以制作成平行四边形木框，为什么？
7 cm
4 cm
3 cm
3 cm
5 cm
4 cm
4 cm
4 cm
4 cm
4 cm
3 cm
3 cm
3 cm
3 cm
发现：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形. 两组边相等四边形也不一定是平行四边形.
3 cm
4 cm
4 cm
7 cm
想一想 判定一个四边形是平行四边形可以从哪些角度思考 具体有哪些方法
从边考虑
两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理 2)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(判定定理 1）
从对角线考虑
平行四边形的判定方法
对角线互相平分的四边形是平行四边形(判定定理 3)
1. 判断对错:
(1) 有一组对边平行的四边形是平行四边形. ( )
(2) 有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形. ( )
(3) 对角线互相平分的四边形是平行四边形. ( )
(4) 一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形. ( )
(5) 有一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行四边形. ( )
√
×
×
×
√
2. 如图，四边形 ABCD 的对角线交于点 O，下列哪组条件不能判断四边形 ABCD 是平行四边形 (　)
A．OA = OC，OB = OD
B．AB = CD，AO = CO
C．AB = CD，AD = BC
D．∠BAD = ∠BCD，AB∥CD
B
O
D
A
C
B
3. 如图，△ABC 中，AB = AC = 10，D 是 BC
边上的任意一点，分别作 DF∥AB 交 AC 于 F，DE∥AC 交 AB 于 E，求 DE + DF 的值．
解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形 AEDF 是平行四边形.
∴DE = AF.
又∵AB = AC = 10，∴∠B = ∠C.
∵DF∥AB，
∴∠CDF = ∠B. ∴∠CDF = ∠C.
∴ DF = CF.
∴ DE + DF = AF + FC = AC = 10．
拓展探究 昨天小李同学在生物实验室做实验时，
不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片，只剩下如图所示部分，他想回家去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来 然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么给它画出来呢
( A，B，C 为三顶点，即找出第四个顶点 D )？
A
B
C
D
A
B
C
方法一依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
方法一：
D
A
B
C
方法二依据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
方法二：
D
O
A
B
C
方法三依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
方法三：

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