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17.1 平行四边形的性质
第 2 课时 平行四边形与邻边有关
的计算和证明
第 17 章 平行四边形
学习目标
1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质. (重点)
2.运用平行四边形的性质求平行四边形的周长和面积. (难点)
平行四边形的性质定理1
平行四边形的对边相等
平行四边形的性质定理2
平行四边形的对角相等
这些性质如何利用呢？今天我们就来学习一下吧！
例1 已知平行四边形的周长是 24，相邻两边的长度相差 4，求该平行四边形相邻两边的长.
解：设 AB 的长为 x，则 BC 的长为 x + 4.
根据已知，可得 2(AB + BC) = 24，
即 2(x + x + 4) = 24，
4x + 8 = 24，
解得 x = 4. x + 4 = 8.
所以，该平行四边形相邻两边的长分别为 4 和 8.
B
C
D
A
平行四边形与邻边的相关计算和证明
1
1. 已知平行四边形 ABCD 的周长为 32，AB = 4，则BC 的长为________.
解析：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB = CD，AD = BC，
∵平行四边形 ABCD 的周长是 32，
∴2(AB+BC) = 32，
∴2(4+BC) = 32，
∴BC = 12．
12
B
C
D
A
练一练
2. 如图，平行四边形 ABCD 周长是 28 cm，△ABC 的周长是 22 cm，则 AC 长 ( )　　
A.14 cm B.12 cm C.10 cm D.8 cm
解析：∵□ABCD 的周长是 28 cm，
∴AB+BC = 14 cm，
∵△ABC 的周长是 22 cm，
∴AC = 22-(AB+BC) = 8 cm，
故选 D．
D
1. 在平行四边形中，两邻边长之和等于周长的一半.
2. 在求平行四边形各边长时，可设一元一次方程或二元一次方程组求解.
概括
例2 如图，在 □ ABCD 中，∠ADC 的平分线与 AB 相交于点 E ，求证 ：BE + BC = CD .
证明 ∵ 四边形 ABCD 是平行四形，
∴ AB = CD，(平行四边形的对边相等)
AB∥CD ，(平行四边形的对边平行)
∴∠CDE =∠AED，
又∵ DE 是 ∠ADC 的平分线 ，
∴∠ADE =∠CDE. ∴∠ADE =∠AED . ∴AD = AE .
又∵ AD = BC(平行四边形的对边相等)，
∴ AE = BC ∴ BE+BC = BE+AE = AB = CD.
典例精析
1. 如图，平行四边形 ABCD 的周长为 20，AE 平分∠BAD，若 CE = 2，则 AB 长为 ( )　　
A.8 B.10 C.6 D.4
D
练一练
2.在平行四边形 ABCD 中，若 AE 平分∠DAB，
AB＝5 cm，AD＝9 cm，则EC＝ cm.
C
4
A
B
D
E
3. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AE 平分∠BAD，已知∠AEB = 63°，则∠D 的度数为 ( )　　
A.63° B.72°
C.54° D.60°
C
4. 如图，在平行四边形 ABCD 中，P 是 CD 边上一点，且 AP 和 BP 分别平分∠DAB 和∠CBA，若 AD = 5，AP = 8，则△APB 的周长为_______.
24
解析：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥CB， AB∥CD，∠DAB+∠CBA = 180°.
又∵AP 和 BP 分别平分∠DAB 和∠CBA，
∴∠APB =180° - (∠PAB +∠PBA) = 90°.
∵ AP 平分∠DAB，∴∠DAP =∠PAB.
∵ AB // CD，∴∠PAB =∠DPA，∴∠DAP =∠DPA，∴△ADP 是等腰三角形，
∴ AD = DP = 5. 同理可得 PC = CB = 5，
即AB = DC = DP + PC = 10.
在Rt△APB 中，∵AB = 10，AP = 8，
∴BP = = 6，
∴△ APB 的周长为 6 + 8 + 10 = 24.
平行四边形一内角的平分线与对边相交于一点，可得到一个等腰三角形.
归纳总结
1.已知如图：□ABCD 中，AD = 8，AB = 6，DE 平分∠ADC 交 BC 于 E，则BE = ．
解析：∵DE 平分∠ADC，
∴ ∠ADE = ∠CDE，
∵□ABCD中 AD∥BC，
∴∠ADE = ∠CED，∴∠CDE = ∠CED ∴CE = CD，
∵在□ABCD 中，AB = 6，AD = 8，
∴CD = AB = 6，BC = AD = 8，(平行四边形的对边相等)
∴BE = BC-CE = 8-6 = 2．
2
2. 如图，在□ABCD中，BF 平分∠ABC，交 AD 于点 F，CE 平分∠BCD，交 AD 于点 E，AB = 6，EF = 2，则 BC长为（　　）
A.8 B.10 C.12 D.14
解析：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，DC = AB = 6，AD = BC，∴∠AFB = ∠FBC，
∵BF 平分∠ABC，∴∠ABF = ∠FBC，
则∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=6，同理可证：DE=DC=6，
∵EF=AF+DE-AD=2，即6+6-AD=2，解得：AD = 10.
B
3.如图，在□ABCD 中，∠B = 80°，∠ADC 的平分线 DE 与 BC 交于点 E．若BE = CE，则∠DAE = 度．
解析：∵在□ ABCD中，∠B = 80°，
∴AD∥BC，AB = CD，
∴∠ADE = ∠CED，
∵DE 是∠ADC 的平分线，∴∠ADE = ∠CDE，
∴∠CED = ∠CDE，∴CE = CD，
∵BE = CE，∴AB = BE，∴∠AEB = ∠BAE = 50°，
∴∠DAE = ∠AEB = 50°．故答案为：50．
50
3.如图，在□ ABCD 中，DE ，AE 分别为∠ADC，
∠BAD 的平分线，与 BC 交于点 E．求证：AD = 2CD．
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AB = CD，AD = BC，
∴∠ADE = ∠CED，∠DAE = ∠AEB，
∵DE，AE 分别是∠ADC，∠BAD 的平分线，
∴∠ADE = ∠CDE，∠DAE = ∠BAE，
∴∠CED = ∠CDE，∠BAE = ∠AEB，
∴CE = CD，BE = AB，
∴AD = BC = CE+BE = CD+AB = 2CD.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D，
∴∠1＝∠BCE.
∵AF∥CE，∴∠AFB＝∠ECB,
∴∠AFB＝∠1.
在△ABF 和△CDE 中，
∠B＝∠D，∠AFB＝∠1，AB＝CD ∴△ABF≌△CDE.
4.已知平行四边形 ABCD 中，CE 平分∠BCD 交
AD 于点 E，AF∥CE，且交 BC 于点 F.
(1) 求证：△ABF≌△CDE；
(2) 如图，若∠1 = 65°，求∠B 的大小.
解：由 (1) 得∠1＝∠BCE，
∵CE 平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE，
∴∠DCE＝∠1＝65°，
∴∠B＝∠D＝180°－2×65°＝50°.
平行四边形两邻边的特点
2.平行四边形一内角的平分线与对边相交于一点，可得到一个等腰三角形.
1. 在平行四边形中，两邻边长之和等于周长的一半.

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