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17.1 平行四边形的性质
第3课时 平行四边形的性质定理3
第 17 章 平行四边形
学习目标
1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用. (重点)
2.综合运用平行四边形的性质进行有关的计算和证明. (难点)
问题 之前我们学行四边形的哪些性质？
平行四边形的对边相等.
平行四边形的对角相等.
思考 平行四边形除了以上边和角的特征，其对角线有什么特征呢？这堂课我们一起探讨一下吧.
平行四边形的邻角互补.
思考 如下图，在之前的探究中，我们知道了平行四边形是中心对称图形，你观察到 OA 与 OC 、OB 与 OD 各有什么关系
平行四边形的对角线的性质
猜想 OA = OC，OB = OD.
1
证一证 如图，□ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O.求证：OA = OC，OB = OD.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD = BC，AD∥BC.
∴ ∠1 = ∠2，∠3 = ∠4.
∴ △AOD≌△COB (ASA).
∴ OA = OC，OB = OD.
A
C
D
B
O
3
2
4
1
A
C
D
B
O
平行四边形的对角线互相平分.
应用格式：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD.
平行四边形的性质定理 3
归纳总结
例1 如图，□ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，△AOB 的周长为15，AB＝6，那么对角线 AC 与 BD 的和是多少？
解：在 □ABCD 中：
∵AB = 6，AO+BO+AB = 15，
∴AO + BO = 15 - 6 = 9.
又∵AO=OC且BO = OD(平行四边形的对角线互相平分)，∴ AC+BD = 2AO + 2BO = 2(AO + BO) = 2×9 = 18 .
A
C
D
B
O
典例精析
例2 如图，平行四边形 ABCD 中，AC，BD 交于 O 点，点 E，F 分别是 AO，CO 的中点，试判断线段 BE，DF 的关系并证明你的结论．
解：BE ＝ DF，BE∥DF.
理由如下：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA ＝ OC，OB ＝ OD.
∵点 E，F 分别是 AO，CO 的中点，
∴OE ＝ OF.
典例精析
在 △OFD 和 △OEB 中，
OF ＝ OE，
∠DOF ＝ ∠BOE，
OD ＝ OB，
∴△OFD≌△OEB (SAS).
∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF.
∴BE∥DF.
例3 如图，□ ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，EF过点 O 且与边AB，CD 分别相交于点 E，F.求证：OE = OF.
A
B
C
D
F
E
O
证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠ODF = ∠OBE，
∠DFO = ∠BEO.
∴△DOF≌△BOE（AAS）.
∴AB∥CD， OD = OB.
∴OE = OF.
思考 改变直线 EF 的位置，OE = OF 还成立吗
●
O
D
C
B
A
E
F
●
O
D
C
B
A
E
F
(1)
(2)
议一议 在上述问题中，若直线 EF 与边 DA、BC 的延长线交于点 E、F，(如图2)，上述结论是否仍然成立？试说明理由．
●
●
●
●
议一议 若将直线 EF 绕点 O 旋转至下图 (3) 的位置，
上述结论是否仍然成立？
F
E
F
●
O
D
C
B
A
E
(1)
●
O
D
C
B
A
E
F
(3)
(3)
(4)
●
O
D
C
B
A
E
F
(4)
●
●
●
●
再变一变
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等．
归纳总结
1.如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，若AD = 16，AC = 24，BD = 12，则△OBC 的周长为 (　)
A.26 B.34 C.40 D.52
B
第 1 题图
练一练
2.如图，在□ABCD中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，△AOB 的周长为 15，AB = 6，则对角线 AC，BD 的长度的和是 ( )
A.9 B.18 C.27 D.36
B
第 2 题图
平行四
边形对角线的
性质
平行四边形对角线互相平分
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
1.如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是（　　）
A．∠ABO = ∠CDO B．∠BAD = ∠BCD
C．AO = CO D．AC⊥BD
B
C
D
A
O
D
2.在□ ABCD 中，AC = 24，BD = 38，AB = m，则m 的取值范围是 ( )
A. 24＜m＜39 B.14＜m＜62
C.7＜m＜31 D.7＜m＜12
B
C
D
A
O
C
3.如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AB⊥AC，AB = 3，AD = 5，则 BD 的长是 .
4. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AB = 10，AD = 8，AC⊥BC，求 BC、CD、AC、OA 的长.
8
10
B
C
D
A
O
解：
∴ △ABC 是直角三角形.
又∵ AC⊥BC，
∴ BC = AD = 8，CD = AB = 10.
又∵ OA = OC，
∴
∴
？
？
？
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
5. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 分别是 OA，OC 的中点，连接 BE，DF. 求证：BE = DF.
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD 相交于点 O，
∴ OB = OD，OA = OC.
∵ E，F 分别是 OA，OC 的中点，
A
B
C
D
O
E
F
∴ △BEO≌△DFO (SAS).
∴ OE = OF.
又∵∠BOE =∠DOF，
∴ BE = DF.

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