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17.2 平行四边形的判定
第 3 课时 平行四边形性质和判定
的综合运用
第 17 章 平行四边形
学习目标
1.能运用平行四边形的性质进行计算和证明; (重点)
2.掌握平行四边形的判定定理; (重点)
3.能够综合运用平行四边形的性质和判定定理.
(难点)
从边考虑
两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (定义法)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (判定定理1)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (判定定理2)
从对角线考虑
平行四边形的判定方法
对角线互相平分的四边形是平行四边形 (判定定理3)
A
B
C
D
E
F
证明：∵四边形 AEFD 和 EBCF都是平行四边形，
∴AD EF，EF BC.
∴AD BC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
//
=
//
=
//
=
例1 四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形，
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
平行四边形性质与判定的综合运用
1
练一练 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD相交于点O，E、F 是对角线 AC 上的两点，给出下列四个条件：①AE = CF；②DE = BF；③∠ADE = ∠CBF；④∠ABE = ∠CDF．其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有 ( )　
A．0 个 B．1 个
C．2 个 D．3 个
【解析】由平行四边形的判定方法可知：若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，② 不能证明对角线互相平分，只有①③④ 可以，故选 B ．
例2 如图，G、H 是 □ ABCD 对角线 AC 上的两点，且 AG = CH，E、F 分别是边 AB 和 CD 的中点.
求证：四边形 EHFG 是平行四边形.
证明：连结 EF 交 AC 于点 O .
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB = CD.
又∵E、F 分别是边 AB、CD 的中点，
∴ AE = CF .
又∵AB // CD，∴∠EAO =∠FCO.
典例精析
O
在△AOE 和△COF 中，
∠EAO =∠FCO，
∠AOE =∠COF，
AE = CF，
∴ △AOE≌△COF. ∴ OE = OF，OA = OC.
又 ∵AG = CH， ∴ OG = OH.
∴ 四边形 EHFG 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.
O
例3 如图，在□ ABCD 中，AE⊥BD 于 E，CF⊥BD 于 F，连接 AF，CE．求证：AF = CE．
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB = CD，AB∥CD，
∴∠ABE = ∠CDF．
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB = ∠CFD = 90°，AE∥CF，
典例精析
在△ABE 和△CDF 中，
∠ABE＝∠CDF， ∠AEB＝∠CFD，AB＝CD，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AE = CF，
∵AE∥CF，
∴四边形 AECF 是平行四边形，
∴AF = CE．
例4 如图，AB、CD 相交于点 O，AC∥DB，AO＝BO，E、F 分别是 OC、OD 的中点．
求证：(1) △AOC≌△BOD；
(2) 四边形 AFBE 是平行四边形．
证明：(1) ∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.
又∵∠COA＝∠DOB，AO＝BO ，
∴△AOC≌△BOD (AAS)；
典例精析
(2) ∵△AOC≌△BOD，∴ CO＝DO.
∵E、F 分别是 OC、OD 的中点，
∴ EO＝FO.又∵AO＝BO，
∴ 四边形 AFBE 是平行四边形．
例5 如图，AB、CD 相交于点 O，AC∥DB，AO＝BO，E、F 分别是 OC、OD 的中点．
求证：(2) 四边形 AFBE 是平行四边形．
典例精析
例6 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝12 cm，BC＝15 cm，点 P 自点 A 向 D 以 1 cm/s 的速度运动，到 D 点即停止．点 Q 自点 C 向 B 以 2 cm/s的速度运动，到 B 点即停止，点 P，Q 同时出发，设运动时间为 t (s)．
(1) 用含 t 的代数式表示：
AP=_____； DP=________；
BQ=________；CQ=________；
t cm
(12-t) cm
(15-2t)cm
2t cm
典例精析
(2) 当 t 为何值时，四边形 APQB 是平行四边形
解：根据题意有 AP = t cm，BQ = (15-2t) cm．
∵AD∥BC，
∴当AP = BQ 时，四边形 APQB 是平行四边形．
∴ t = 15-2t，解得 t = 5．
∴ t = 5 s 时四边形 APQB 是平行四边形；
解：由题意知 CQ = 2t cm，PD = (12-t) cm，
∵AD∥BC，
∴当 PD=QC 时，四边形 PDCQ 是平行四边形．
即12-t = 2t，解得t = 4 s，
∴当t = 4 s 时，四边形PDCQ是平行四边形．
(3) 当 t 为何值时，四边形 PDCQ 是平行四边形？
平行四边形的性质
判定
得出
所求四边形是否为平行四边形
1. (1) 在□ABCD 中，∠A = 150°，AB = 8 cm，BC = 10 cm，则 S□ABCD= cm2..
提示：过点 A 作AE⊥BC 于 E，然后利用勾股定理求出 AE 的值.
40
(2) 若点 P 是□ABCD 上 AD 上任意一点，那么△PBC 的面积是 cm2..
20
提示：△PBC 与□ABCD 是同底等高.
2. 如图，平行四边形 ABCD 中，EF∥GH∥BC，MN∥AB，则图中平行四边形的个数是（　　）
A．13 B．14 C．15 D．18
【解析】根据平行四边形的定义：两组
对边分别平行的四边形是平行四边形，
则图中的四边形AEOM、AGPM、
ABNM、EGPO、EBNO、GBNP、MOFD、MPHD、MNCD、OPHF、ONCF、PNCH、AEFD、AGHD、ABCD、EGHF、EBCF 和 GBCH 都是平行四边形，共 18 个．
D
3. 在□ABCD 中，E、F 分别在 BC、AD 上，若想要使四边形 AFCE 为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是 ( )
A．AF = CE
B．AE = CF
C．∠BAE =∠FCD
D．∠BEA =∠FCE
B
4. 如图，□ABCD 中，E，F 分别为 AD，BC 边上的点，要使四边形 BEDF 为平行四边形，需添加一个条件：
______________________________________________.
AE = FC 或∠ABE =∠CDF 或 BE = DF (答案不唯一)
5. 如图，在□ABCD 中，E、F 分别为边 AD、BC
的中点，对角线 AC 分别交 BE，DF 于点 G、H．
求证：AG = CH．
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC.
∴∠ADF =∠CFH，∠EAG =∠FCH.
∵ E、F 分别为 AD、BC 边的中点，
∴ AE = DE = AD，CF = BF = BC.
∴ DE∥BF，DE = BF.
∴ 四边形 BFDE 是平行四边形.
∴ BE∥DF.
∴∠AEG =∠ADF. ∴∠AEG =∠CFH.
在△AEG 和△CFH 中，
∠EAG＝∠FCH，
AE＝CF，
∠AEG＝∠CFH，
∴△AEG≌△CFH（ASA）.
∴ AG = CH．

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