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17.2 平行四边形的判定
第 4 课时 平行四边形的证明
与三角形的中位线
第 17 章 平行四边形
学习目标
1. 能够利用平行四边的判定定理解决多个四边形综合的证明问题. (重、难点 )
2. 理解三角形的中位线的相关概念，利用三角形的中位线解决实际问题. (重点)
1.两组对边分别相等
2.两组对角分别相等
3.两条对角线互相平分
1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
3.对角线互相平分的四边形是平行四边形
平行四边形的性质
平行四边形的判定
三角形的中位线
例1 如图，已知□ ABCD ，延长边 AD 至点 F ，使 DF = DA . 连结 BF，交边 DC 于点 E .求证: EF = EB .
证明 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形
∴ DA CB
(平行四边形的对边平行且相等).
∴ ∠FDE=∠BCE，∠DFE=∠CBE
又∵ DA = DF
∴ DF = CB.
∥
=
1
在 △DFE 与 △CBE 中
∵∠FDE =∠BCE，DF = CB，
∠DFE =∠CBE .
∴ △DFE ≌ △CBE
∴ EF = EB.
思考 观察一下， DE 与 AB 两条线段在位置和长度上有何关系。
如图，点 D、E 分别是 △ABC 的两边 AC、BC 的中点，即 DE 是连结 △ABC 的两边中点的线段，连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线.
知识要点
问题1 一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？
有三条，如图，△ABC 的中位线是 DE、DF、EF.
问题2：如图，DE 是△ABC 的中位线，
DE 与 BC 有怎样的关系？
两条线段的关系
位置关系
数量关系
分析：
DE与BC的关系
猜想：
DE∥BC
？
D
E
问题3：如何证明你的猜想？
例1 如图 △ABC 中，点 D 、E 分别是边 AB 和 AC 的中点. 求证：DE∥BC，DE BC .
∥
=
典例精析
平行
角
平行四边形
或
线段相等
一条线段是另一条线段的一半
倍长短线
分析：
D
E
证明：
延长 DE 到 F，使 EF = DE．
F
∴ 四边形 BCFD 是平行四边形．
∴△ADE≌△CFE．
∴∠ADE =∠F，AD = CF.
连接 FC．
∵∠AED = ∠CEF，AE = CE，
证法：
∴ BD CF．
又∵ ，
∴ DF BC .
∴ DE∥BC， ．
∴ CF AD.
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
用符号语言表示：
∵ DE 是 △ABC 的中位线，
∴ DE∥BC，
D
E
概括
A
B
C
D
E
F
重要发现：
①中位线 DE、EF、DF 把△ABC分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE 和 BDEF，四边形 BFED 和 CFDE，四边形 ADFE 和 DFCE.
②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.
由此你知道怎样分蛋糕了吗
例2 证明三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 已知:如图，在△ABC 中，AD = DB，BF = FC，AE = EC . 求证: AF 与 DE 互相平分.
证明：如图，连结 DF 、EF.
∵ AD = DB，BF = FC，
∴ DF∥AC (三角形的中位线平行于第三边).
同理可得 ，EF∥BA .
∴ 四边形 ADFE 是平行四边形
(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).
∴ AF 与 DE 互相平分.
典例精析
试一试 从定义、性质和相互联系等几方面比较三角形的中线与中位线两个概念.
三角形的中线 三角形的中位线
比较维度 三角形的高线 三角形的中位线
定义 连接三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段 连接三角形两边中点的线段
性质 把三角形分成面积相等的两部分；三条中线交于一点(重心) 平行于第三边，且长度是第三边的一半
相互联系 均与“中点”有关，都是三角形中的重要线段，在三角形的周长、面积、全等证明等问题中都有应用. 例3 如图，在△ABC 中，D、E 分别为 AC、BC 的中点，AF 平分∠CAB，交 DE 于点 F. 若 DF＝3，求 AC 的长
解：∵ D、E 分别为 AC、BC 的中点，
∴ DE∥AB，
∴∠2＝∠3.
又∵ AF 平分∠CAB，
∴ ∠1＝∠3，
∴ ∠1＝∠2，
∴ AD＝DF＝3，
∴ AC＝2AD＝2DF＝6.
1
2
3
例4 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.
证明：取 AC 的中点 F，连接 BF.
∵ BD＝AB，
∴ BF 为△ADC 的中位线，∴DC＝2BF.
∵ E 为 AB 的中点，AB＝AC，
∴ BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.
∵ BC＝CB，∴ △EBC≌△FCB.
∴ CE＝BF. ∴ CD＝2CE.
F
构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键.
归纳
1. 如图，△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 中点．
(1) 若 DE = 5，则 BC = ．
(2) 若 ∠B = 65°，则∠ADE = °．
(3) 若 DE + BC = 12，则 BC = ．
10
65
8
练一练
2.如图，A，B 两点被池塘隔开，在 A，B 外选一点 C，连接 AC 和 BC，并分别找出 AC 和 BC 的中点 M，N，如果测得 MN = 20 m，那么 A，B 两点间的距离为______m．
N
M
40
例4 如图，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA 中点．
求证：四边形 EFGH 是平行四边形．
四边形问题
连接对角线
三角形问题
（三角形中位线定理）
三角形的中位线与平行四边形的综合运用
分析：
2
证明：连接 AC.
∵ E，F，G，H 分别为各边的中点，
∴ EF∥HG， EF = HG.
∴ EF∥AC，
HG∥AC，
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.
顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.
归纳
【变式题】如图，E、F、G、H 分别为四边形 ABCD 四边之中点．求证：四边形 EFGH 为平行四边形.
证明：如图，连接 BD.
∵ E、F、G、H 分别为四边形 ABCD 四边之中点，
∴EH 是△ABD 的中位线，
FG 是△BCD 的中位线，
∴ EH∥BD 且 EH = BD，
FG∥BD 且 FG = BD，
∴ EH∥FG 且 EH = FG，
∴ 四边形 EFGH 为平行四边形.
证明：∵ D、E 分别为 AB、AC 的中点，
∴ DE 为△ABC 的中位线，
∴ DE∥BC，DE = BC.
∵ CF = BC，
∴ DE = FC．
例5 如图，等边△ABC 的边长是 2，D、E 分别为 AB、AC 的中点，延长 BC 至点 F，使 CF = BC，连接 CD 和 EF．
(1) 求证：DE = CF；
(2) 求 EF 的长.
解：∵ DE∥FC，DE = FC，
∴四边形 DEFC 是平行四边形，
∴ DC = EF，
∵ D 为 AB 的中点，等边△ABC 的边长是 2，
∴ AD = BD = 1，CD⊥AB，BC = 2，
∴ EF = DC = ．
3.如图，在△ABC 中，AB = 6，AC = 10，点 D，E，F分别是 AB，BC，AC 的中点，则四边形 ADEF 的周长为 （　　）
A. 8 B. 10
C. 12 D. 16
D
练一练
4.如图， ABCD 的周长为 36，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 是 CD 的中点，BD = 12，求△DOE 的周长.
解：∵ ABCD 的周长为36，
∴ BC + CD = 18．
∵ 点 E 是 CD 的中点，
∴ OE 是△BCD 的中位线，DE = CD.
∴ OE = BC.
∴△DOE 的周长为 OD+OE+DE = (BD+BC+CD) = 15，
即△DOE 的周长为15．
三角形的中位线
三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半
三角形的中位线定理
三角形的中位线定理的应用
1.如图，在△ABC 中，点 E、F 分别为 AB、AC 的中点．若 EF 的长为 2，则 BC 的长为 （　　）
A.1 B.2
C.4 D.8
2.如图，在 ABCD 中，AD = 8，点 E，F 分别是 BD，CD 的中点，则 EF 等于 （　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
第2题图
第1题图
C
C
3.如图，点 D、E、F 分别是 △ABC 的三边 AB、BC、 AC 的中点.
(1) 若∠ADF = 50°，则∠B= °；
(2) 已知三边 AB、BC、AC 分别为 12、10、8，
则△ DEF 的周长为 .
50
15
A
B
C
D
F
E
4.在△ABC 中，E、F、G、H 分别为 AC、CD、 BD、 AB 的中点，若 AD = 3，BC = 8，则四边形 EFGH 的周长是 .
A
B
D
C
E
F
G
H
11
5.如图，在△ABC 中，AB = 6 cm，AC = 10 cm，AD 平分∠BAC，BD⊥AD 于点 D，BD 的延长线交 AC 于点 F，E 为 BC 的中点，求 DE 的长．
解：∵ AD 平分∠BAC，BD⊥AD，
∴ AB = AF = 6 cm，BD = DF，
∴ CF = AC - AF = 4 cm.
∵ BD = DF，E 为 BC 的中点，
∴ DE = CF = 2 cm．
6.如图，E 为 ABCD 中 DC 边的延长线上一点，且CE＝DC，连接 AE，分别交 BC、BD 于点 F、G，连接 AC 交 BD 于 O，连接 OF，判断 AB 与 OF 的位置关系和大小关系，并证明你的结论．
解：AB∥OF，AB＝2OF.
证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，
∴ ∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.
∵ CE＝DC，∴AB＝CE.
∴ △ABF≌△ECF(ASA). ∴BF＝CF.
∵ OA＝OC，∴OF 是 △ABC 的中位线，
∴ AB∥OF，AB＝2OF.
7. 如图，在四边形 ABCD 中，AC⊥BD，BD = 12，AC = 16，E，F分别为 AB，CD 的中点，求 EF 的长．
解：取 BC 边的中点 G，连接 EG、FG.
∵ E，F 分别为 AB，CD 的中点，
∴ EG 是 △ABC 的中位线，FG 是 △BCD 的中位线，
又 BD = 12，AC = 16，AC⊥BD，
∴ EG = 8，FG = 6，EG⊥FG.
∴
∴ EG∥AC，
FG∥BD，
G

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