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小结与复习
第 17 章 平行四边形
几 何 语 言
文字叙述
对边平行
对边相等
对角相等
∴ AD = BC，AB = DC.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠BAD =∠BCD，∠ABC =∠ADC.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
一、平行四边形的性质
对角线
互相平分
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，AB∥DC.
A
B
C
D
O
平行四边形是中心对称图形.
几 何 语 言
文字叙述
两组对边分别相等
一组对边平行且相等
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ AD = BC，AB = DC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ AB = DC，AB∥DC，
二、平行四边形的判定
对角线互相平分
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ OA = OC，OB = OD，
两组对边分别平行（定义）
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ AD∥BC，AB∥DC，
平行线之间的距离处处相等
A
B
C
D
O
三、三角形的中位线
如图，点 D、E 分别是 △ABC 的两边 AC、BC 的中点，即 DE 是连结 △ABC 的两边中点的线段，连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
用符号语言表示：
∵ DE 是 △ABC 的中位线，
∴ DE∥BC，
D
E
考点一 平行四边形的性质
例1 如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是 ( )　　
A．∠1 =∠2 B．∠BAD =∠BCD
C．AB = CD D．AC = BC
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB∥CD，∴∠1 = ∠2，故 A 正确；∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠BAD =∠BCD，故 B 正确；∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB = CD，故 C 正确.
D
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠B =∠D，AD = BC，AB = CD，∠BAD =∠BCD，
（平行四边形的对角相等，对边相等）
∵ AE 平分∠BAD，CF 平分∠BCD，
∴∠EAB = ∠BAD，∠FCD = ∠BCD，
∴∠EAB =∠FCD.
1. 如图，已知□ ABCD 中，AE 平分∠BAD，CF 平分∠BCD，分别交 BC、AD 于 E、F．求证：AF = EC．
针对训练
在△ABE 和△CDF 中，
∠B＝∠D，
AB＝CD，
∠EAB＝∠FCD，
∴△ABE≌△CDF.
∴ BE = DF．
∵ AD = BC，
∴ AF = EC．
例2 如图，在□ ABCD 中，∠ODA = 90°，AC = 10 cm，BD = 6 cm，则 AD 的长为 ( )　　
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
AC = 10 cm，BD = 6 cm
∴ OA = OC = AC = 5 cm，
OB = OD = BD = 3 cm.
∵∠ODA = 90°，
∴ AD = = 4 cm．
A
主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用.
方法总结
归纳总结
【解析】∵ 在 ABCD中，对角线 AC 和 BD 交于点 O，AC = 24 cm，BD = 38 cm，AD = 28 cm，
∴ AO = CO = 12 cm，BO = 19 cm，AD = BC = 28 cm.
∴△BOC 的周长是 BO + CO + BC = 12 + 19 + 28 = 59(cm).
2. 如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于点 O，AC = 24 cm，BD = 38 cm，AD = 28 cm，则△BOC 的周长是 ( )　
A. 45 cm B. 59 cm C. 62 cm D. 90 cm
B
考点二 平行四边形的判定
例3 如图，四边形 ABCD 的对角线交于点 O，下列哪组条件不能判断四边形 ABCD 是平行四边形 ( )　
A．OA = OC，OB = OD
B．∠BAD =∠BCD，AB∥CD
C．AD∥BC，AD = BC
D．AB = CD，AO = CO
D
平行四边形的判定方法：
① 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
② 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
④ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
⑤ 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
方法总结
3. 如图，点 D、C 在 BF 上，AC∥DE，∠BAC = ∠FED，BD = CF，
（1）求证：AB = EF．
证明：∵ AC∥DE，∴∠ACD = ∠EDF.
∵ BD = CF，
∴ BD + DC = CF + DC，即 BC = DF.
又∵∠BAC = ∠FED，
∴△ABC≌△EFD（AAS）.∴ AB = EF.
针对训练
(2) 连接 AF，BE，猜想四边形 ABEF 的形状，并说明
理由．
解：猜想：四边形 ABEF 为平行四边形，
理由如下：由 (1) 知△ABC≌△EFD，
∴∠ABC =∠EFD. ∴AB∥EF.
又∵AB = EF，
∴ 四边形 ABEF 为平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
考点三 平行四边形性质和判定的综合应用
例4 如图，已知 E，F 分别是□ ABCD 的边 BC、AD 上的点，且BE = DF．求证：四边形 AECF 是平行四边形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，且 AD = BC
(平行四边形的对边平行且相等).
∴ AF∥EC.
∵ BE = DF，∴ AF = EC.
∴ 四边形 AECF 是平行四边形.
4.如图，已知凸五边形 ABCDE 的边长均相等，且∠DBE = ∠ABE+∠CBD，AC = 1，则 BD 必定满足 ( )
A．BD＜2 B．BD = 2
C．BD＞2 D．以上情况均有可能
针对训练
解析：∵AE = AB，
∴∠ABE = ∠AEB，同理∠CBD = ∠CDB.
∵∠ABE+∠CBD = ∠DBE，
∴∠AEB+∠CDB = ∠DBE，
∴∠AED+∠CDE = 180°，∴AE∥CD，
∵AE = CD，∴四边形 AEDC 为平行四边形．
∴DE = AC = AB = BC．
∴△ABC 是等边三角形，∴BC = CD = 1，
在△BCD 中，∵ BD＜BC+CD，∴ BD ＜ 2．故选 A ．
考点四 中位线和中位线定理
A
B
C
E
F
D
例5 如图，已知△ABC，D、E、F 分别是 BC、AB、AC 边上的中点.
(1) 若∠AEF=60°，则∠B = 度；
(2) 若BC=8cm，则 EF = cm；
(4) 若△ABC的面积为 S ，则 △DEF 的面积_____.
(3) 若△ABC的周长为18cm，则△DEF的周长是_____；图中有_____个平行四边形；
60
4
9cm
3
5.如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（　　）
A.8 B.10 C.12 D.16
D
针对训练
例6 如图，E 为□ ABCD 中 DC 边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交 BC、BD 于点 F、G，连接 AC 交 BD 于O，连接 OF，判断 AB 与 OF 的位置关系和大小关系，并证明你的结论．
解：AB∥OF，AB＝2OF.
证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，
∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.
∵ CE＝DC，∴AB＝CE,
∴ △ABF ≌ △ECF (ASA)，
∴ BF ＝CF.
∵ OA ＝OC，
∴ OF 是 △ABC 的中位线，
∴ AB∥OF，AB＝2OF.
6. 如图，已知 E 为平行四边形 ABCD 中 DC 边延长线
上一点，且 CE＝DC ，连接 AE ，分别交 BC ，BD 于点 F，G，连接 AC 交 BD 于点 O ，连接 OF.
求证：AB＝2OF.
针对训练
证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ AB∥CD，AB＝CD.
∵E 为平行四边形 ABCD 中 DC 边延长线上一点，
且 CE＝DC，
∴AB∥CE，AB＝CE，
∴四边形 ABEC 是平行四边形，
∴点 F 是 BC 的中点．
又∵点 O 是 AC 的中点，
∴ OF 是 △ABC 的中位线，
∴ AB＝2OF.
平 行 四 边 形
性质
①对边平行且相等
②对角相等，邻角互补
③对角线互相平分
判定
①两组对边分别平行的
②两组对边分别相等的
③一组对边平行且相等的
④对角线互相平分的
四 边 形
平行四边形

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