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17.1 平行四边形的性质
第 17 章 平行四边形
第 1 课时 平行四边形的
性质定理 1 ，2
学习目标
1. 认识平行四边形.
2. 探索并掌握平行四边形对边相等、对角相等的性质. (重点)
3.能计算平行四边形性质相关问题. (难点)
观察下图，平行四边形在生活中无处不在.
你还能举出其他的例子吗？
观看下面视频，一起来了解平行四边形吧.
点击视频播放
平行四边形的定义
1
两组对边都不平行
一组对边平行，
一组对边不平行
两组对边分别平行
问题1 观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？
问题2 你们还记得我们以前对平行四边形的定义吗？
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2.平行四边形用“ ” 表示，如图，平行四边形 ABCD
记作 ABCD ( 要注意字母顺序).
1.定义：
A
B
D
C
语言表述：
∵ AD∥BC，AB∥DC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
知识要点
BEKH， CHKF， BEFC， CDGH， ABCD.
例1 如图，DC∥GH∥AB，DA∥FE∥CB，图中的平行四边形有多少个？将它们表示出来.
D
A
B
C
H
G
F
E
解：∵DC∥GH ∥AB，DA∥FE∥CB，
∴根据平行四边形的定义可以判定
图中共有 9 个平行四边形，即
AEKG， ABHG， AEFD， GKFD，
K
归纳 用定义判定平行四边形，即看四边形两组对边是否分别平行.
典例精析
你能从以下图形中找出平行四边形吗？
(2)
(3)
(1)
(4)
(5)
练一练
平行四边形的性质1,2
(1) 任意作一条直线 m ；
(2) 在直线 m 上任取点 A ，在直线 m 外任取点 B ，连结 AB ；
(3) 过点 B 作直线 m 的平行线 n，在直线 n 上任取点 C ；
(4) 过点 C 作直线 AB 的平行线，
交直线 m 于点 D ，就得到 □ ABCD.
试一试 作一个平行四边形.
2
步骤1：在□ABCD 中连接 AC，BD，它们的交点为O；
步骤3：把两个平行四边形叠合在一起，用一枚图钉在 O 点穿过，将 □ ABCD 绕点 O 旋转 180°.
步骤2：用剪刀把 □ ABCD 从方格纸上剪下,再在白纸上沿□ABCD的边沿，画一个平行四边形记为□ EFGH；
按照下面步骤操作，思考并解决问题：
(1) 观察旋转后的□ ABCD 和画出来的□ EFGH 是否重合？平行四边形是什么样的对称图形？
(2) 你能从中得出□ ABCD 的一些边、角关系吗？
重合；平行四边形是中心对称图形，O是对称中心.
平行四边形的对边相等，对角相等
你能证明这些结论吗？
证明：如图，连接 AC.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，AB∥CD.
∴ ∠1 =∠2，∠3 =∠4.
∴ △ABC≌△CDA.
∴ AD = BC，AB = CD，∠ABC =∠ADC.
∵∠BAD =∠1 +∠4 ∠BCD =∠2+∠3，
∴∠BAD =∠BCD.
A
B
C
D
1
4
3
2
证一证 已知：四边形 ABCD 是平行四边形.
求证：AD = BC，AB = CD，∠BAD = ∠BCD，
∠ABC = ∠ADC.
思考 不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的
定义，证明其对角相等？
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC，AB∥CD.
∴∠A +∠B = 180°，
∠A +∠D = 180°.
∴ ∠B =∠D.
同理可得∠A =∠C.
平行四边形的性质定理
性质定理 1：平行四边形的对边相等.
性质定理 2：平行四边形的对角相等.
几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠ A =∠C，∠ B =∠D.
几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ，
∴ AD = BC ，AB = DC.
B
A
D
C
知识要点
做一做 如图，剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，线段 AD 和 BC 的长度有什么关系？为什么？
A
B
C
D
解：AD 和 BC 的长度相等.
理由如下：
由题意知 AB//CD，AD//BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∴AD = BC.
例2 如图，在 □ ABCD 中，∠A = 40°，求其他各内角的大小.
B
C
D
A
解：在 □ ABCD 中，
∴∠A =∠C 且∠B =∠D
(平行四边形的对角相等).
∵∠A = 40°， ∴∠C = 40°.
又∵AD∥BC，∴∠A +∠B = 180°.
∴∠B = 180° - ∠A = 180° - 140° = 140°.
∴∠D =∠B = 140°.
平行四边形的邻角互补.
典例精析
例3 如图，在 □ ABCD 中，AB = 8，周长是 24 ，求其余三条边的长.
解：在 □ ABCD 中，
∴ AB = DC，AD = BC (平行四边形的对边相等).
∵ AB = 8 ， ∴ DC = 8，
又∵ AB + BC + CD + DA = 24，
∴ AD = BC = (24 - 2AB) = 4.
典例精析
1.如图，在□ ABCD中.
(1)若∠A = 130°，则∠B =_____°，∠C =_____°，
∠D =_____°.
(3)若∠A+∠C = 200°，则∠A =____°，∠B =____°.
(2)若AB = 3，BC = 5，则它的周长 = ______.
C
D
A
B
50
130
50
100
80
16
练一练
平行线间的距离
试一试 如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺量出平行线之间这些垂线段的长度.
3
你能发现什么结论？试用平行四边形的性质定理加以说明.
平行线之间的距离处处相等.
C
B
F
E
A
D
若 m // n，作 AB // CD // EF，分别交 m 于 A 、C、E，交 n 于B、D、F.
由平行四边形的性质得 AB = CD = EF.
两条平行线之间的平行线段相等.
m
n
四边形ABDC，CDFE 均为平行四边形.
若m // n，AB、CD、EF垂直于 n，交 n 于B、D、F，交 m 于 A、C、E.
B
F
E
A
n
m
C
D
点到直线的距离
同前面易得 AB = CD = EF.
平行线之间的距离处处相等.
两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离
例4 如图，在□ABCD 中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别是 E，F．求证：AE = CF．
证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ∠A = ∠C，AD = CB.
又∵∠AED = ∠CFB = 90°，
∴ △ADE≌△CBF（AAS）.
∴AE = CF.
思考 在上述证明中还能得出什么结论？
D
A
B
C
F
E
DE = BF.
典例精析
如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB = 4 cm，S△ABC = 12 cm2，求△ABD 中 AB 边上的高．
解：S△ABC = AB BC，
= ×4 ×BC = 12 cm2，
∴ BC = 6 cm.
∵AB∥CD，
∴点 D 到 AB 边的距离等于 BC 的长度.
∴△ABD 中 AB 边上的高为 6 cm．
练一练
平行
四边形
定义
两组对边分别平行的四边形
性质
两组对边分别平行且相等
平行线之间的距离处处相等
两组对角分别相等，邻角互补
1.在□ ABCD中，M 是 BC 延长线上的一点，
若∠A = 135°，则∠MCD 的度数是 ( )
A .45° B. 55° C. 65° D. 75°
A
A
B
C
M
D
2. 判断题(对的在括号内填“√”，错的填“×”)：
(1)平行四边形两组对边分别平行且相等. ( )
(2)平行四边形的四个内角都相等. ( )
(3)平行四边形的相邻两个内角的和等于180°. ( )
(4)如果平行四边形相邻两边长分别是 2 cm 和
3 cm，那么周长是10 cm. ( )
(5)在平行四边形 ABCD 中，如果∠A = 42°，
那么∠B = 48°. ( )
(6)在平行四边形 ABCD中，如果∠A = 35°，
那么∠C = 145°. ( )
√
√
√
×
×
×
4.如图，直线AE∥BD，点C 在BD上，若 AE = 5，BD = 8，
△ABD 的面积为 16，则△ACE 的面积为 .
A
B
C
D
E
10
3.如图，D、 E、F 分别在△ABC 的边 AB、BC、AC上，且DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，则图中有___个平行
四边形.
第3题图
第4题图
3
证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD，AD = BC.
∴ ∠CDE = ∠DEA，∠CFB = ∠FBA.
又∵DE，BF 分别平分
∠ADC，∠ABC，
∴∠CDE = ∠ADE，∠CBF = ∠FBA.
∴ ∠DEA = ∠ADE，∠CFB =∠CBF.
∴AE = AD， CF = BC.
∴AE = CF.
5.已知在平行四边形 ABCD 中，DE 平分∠ADC，BF 平分∠ABC.求证：AE = CF.
A
B
D
C
E
F
6.有一块形状如图所示的玻璃，不小心把 EDF 部分打碎了，现在只测得 AE = 60 cm，BC = 80 cm，∠B = 60°，且 AE∥BC，AB∥CF，你能根据测得的数据计算出 DE 的长度和∠D 的度数吗？
解：∵AE∥BC，AB∥CF，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∴∠D = ∠B = 60°，
AD = BC = 80 cm.
∴ ED = AD - AE = 20 cm.
答：DE 的长度是 20 cm，∠D 的度数是 60°.
B
D
C
E
F
A
M
证明： ∵ 四边形 BEFM 是平行四边形，
　 ∴BM = EF，AB//EF.
∵ AD 平分∠BAC，
∴∠BAD = ∠CAD.
∵AB//EF，
∴ ∠BAD = ∠AEF.
∴∠CAD = ∠AEF.
∴ AF = EF. ∴ AF = BM.
7.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，点 M、E、F分别是 AB，AD，AC 上的点，四边形 BEFM 是平行四边形.求证：AF = BM.

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