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17.1 平行四边形的性质
第 4 课时 平行四边形中周长与
面积的相关计算
第 17 章 平行四边形
学习目标
1. 巩固平行四边形的相关性质；
2. 灵活运用平行四边形的性质求平行四边形的周长和面积. (重、难点)
分享蛋糕的故事
视频中的小朋友所说的那块蛋糕是最大的吗？为什么
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例1 如图，□ ABCD 的的对角线 AC 与 BD 相交于点O，其周长为 16，△AOB 的周长比△BOC 的周长小 2. 求边AB 和 BC 的长.
∴ AB = 3，BC = 5.
又∵△AOB 的周长+2 = △BOC的周长，
解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC(平行四边形的对角线互相平分).
又∵□ ABCD 的周长等于 16，
∴AB+OA+OB+2 = BC+OB+OC，即 AB+2 = BC.
∴2(AB+BC) = 16，即 4AB + 4 = 16.
平行四边形周长的计算
1
【变式题】如图，在平行四边形 ABCD 中，对角
线AC、BD 相交于点 O，平行四边形 ABCD 的周长是100 cm，△AOB 与△BOC 的周长的和是 122 cm，且AC : DB = 2 : 1，求 AC 和 BD 的长．
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD = BC，AB = CD，OB = OD，
∴AB+BC = 50.
∵△AOB 与△BOC 的周长的和是 122 cm，
∴OA+OB+AB+OB+OC+BC=122，即AC+BD=122-50=72.
又∵AC:DB = 2:1，∴AC = 48 cm，BD = 24 cm．
练一练 1.如图，在□ABCD 中，AB = cm，AD = 4 cm，AC⊥BC，求△DBC 比△ABC 的周长长多少．
解：在□ABCD 中，∵AB = CD = cm，
AD = BC = 4 cm，AO = CO，BO = DO，
又∵AC⊥BC，∴AC = = 6 cm，
∴OC = 3 cm，∴BO = = 5 cm，
∴BD = 10 cm，
∴△DBC 的周长-△ABC的周长 = BC+CD+BD-（AB+BC+AC）= BD-AC = 10-6 = 4(cm).
【思考与反思】
1. 四边形 AEFD 与四边形 BEFC 的周长有何关系
证明：易得△DOF≌△BOE，
∴DF＝BE.
又∵ 在 □ ABCD 中，AB＝DC，
∴AB－BE＝DC－DF.∴ AE＝CF.
又∵在□ ABCD中，AD＝BC，
四边形 AEFD 的周长＝AE＋EF＋DF＋AD，
四边形 BEFC 的周长＝CF＋EF＋BE＋BC，
∴四边形 AEFB 与四边形 DEFC 的周长相等．
A
B
C
D
F
E
O
例2 如图，在□ ABCD 中，AC = 21，BE⊥AC，垂足为点E，且BE = 5 cm，AD = 7 cm. 求 AD 和 BC 之间的距离.
解 设 AD 和 BC 之间的距离为 x，
则□ ABCD 的面积等于 AD x.
A
B
C
D
E
∵S □ABCD = 2S△ABC = AC BE
∴AD x = AC BE， 即 7x = 21×5. ∴ x = 15 (cm)
即 AD 和 BC 之间的距离为 15 cm.
平行四边形面积的计算
2
A
B
C
D
O
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
根据勾股定理得
∴BC = AD = 8，CD = AB = 10.
是直角三角形.
又∵OA=OC，
例3　如图，在□ABCD中，AB = 10，AD = 8，AC⊥BC. 求 BC，CD，AC，OA 的长，以及 □ ABCD 的面积．
典例精析
解：设 AB = x，则 BC = 24 - x.
根据平行四边形的面积公式可得
5x = 10 ( 24 - x )，解得 x = 16．
则平行四边形 ABCD 的面积为 5×16 = 80．
例4 如图，平行四边形 ABCD 中，DE⊥AB 于 E，DF⊥BC 于 F，若平行四边形 ABCD 的周长为 48，DE = 5，DF = 10，求平行四边形 ABCD 的面积.
归纳 已知平行四边形的高DE，DF，根据“等面积法”及平行四边形的性质列方程求解.
典例精析
问题 平行四边形的对角线分平行四边形 ABCD 为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？
解：相等.理由如下：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵△ADO 与△ODC 等底同高，
∴S△ADO=S△ODC.
同理可得S△ADO=S△ODC=S△BCO=S△AOB.
还可结合全等来证哟.
归纳 平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等.
∵AD∥BC，
∴∠NAO = ∠MCO，∠ANO = ∠CMO.
M
N
A
B
C
D
O
F
E
例5 如图，AC，BD 交于点 O，EF 过点 O，平行四边形ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等吗？
解：设直线 EF 交 AD，BC 于点 N，M.
又∵AO = CO∴△NAO≌△MCO，
∴S四边形ANMB=S△NAO+S△AOB+S△MOB=S△MCO+S△AOB+S△MOB
=S△AOB+S△COB= .
∴S四边形ANMB=S四边形CMND.
即平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等.
典例精析
A
B
D
O
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A
B
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F
C
A
B
C
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E
F
思考 如图，AC，BD交于点O，EF 过点O，平行四边形ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等吗？
归纳 过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.
同例 5 易求得平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等.
1.把一个平行四边形分成 3 个三角形，已知两个阴影三角形的面积分别是 9 cm2和 12 cm2，求平行四边形的面积．
解：( 9+12 )×2
= 21×2
= 42 (cm2)
答：平行四边形的面积是 42 cm2．
练一练
2.如图，欢欢看到平行四边形的草地中间有一水井，为了浇水的方便，欢欢建议我们经过水井修小路，一样可以把草地分成面积相等的两部分，同学们，你知道聪明的欢欢是怎么分的吗？
B
M
C
●
D
A
O
解：如图所示．
1.如图， □ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC+BD = 16，CD = 6，则△ABO 的周长是（ ）
A. 10 B. 14 C. 20 D. 22
B
B
C
D
A
O
2.如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于 O，EF过点 O 与 AD，BC 分别相交于 E，F，如果 AB = 4，BC = 5，OE = 1.5，那么四边形 EFCD 的周长为（　　）
A.16 B.14 C.12 D.10
A
D
C
B
F
E
O
C
3.如图，平行四边形 ABCD 的面积为 20，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别是 AB，CD 上的点，且 AE = DF，则图中阴影部分的面积为_______．
5
4.如图，平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，且 AB≠AD，过 O 作 OE⊥BD，交 BC 于点 E.若△CDE 的周长为 10，则平行四边形 ABCD 的周长是多少？
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB = CD，BC = AD，OB = OD.
∵OE⊥BD，
∴BE = DE.
∵△CDE 的周长为 10，
∴DE+CE+CD = BE+CE+CD = BC+CD = 10，
∴平行四边形 ABCD 的周长为 2×(BC+CD) = 20．
5.如图，已知 O 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点，AC = 24，BD = 18，AB = 16，求△OCD 的周长及 AD 边的取值范围．
解：由题意得OA=OC=12，OB=OD=9，CD=AB=16，
∴△OCD的周长为12+9+16=37.
在△ACD中，24-16＜AD＜24+16，∴8＜AD＜40；
在△ABD中，18-16＜AD＜18+16，∴2＜AD＜34；
在△AOD中，12-9＜AD＜12+9，∴3＜AD＜21．
综上所述，AD的取值范围应是8＜AD＜21．
与三角形三边关系结合
能力提升
平行四边形中周长与面积的相关计算
平行四边形的周长 =
平行四边形的面积

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