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2025-2026学年山东省泰安市博文中学九年级（上）诊断数学试卷（1月份）（五四学制）
一、选择题：本题共16小题，每小题4分，共64分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.从实数1、、2中随机选择一个数，再从剩下的两个数中随机选择一个，则第一次选择的数大于第二次选择的数的概率为（　　）
A. B. C. D.
2.若反比例函数的图象经过第二、四象限，则点（k,3）在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.如图是一个空心圆柱，关于它的主视图和俯视图正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
4.已知抛物线y=ax2+bx+c,y与x的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（　　）
x -1 0 1 2 3
y 1 3 4 3 m
A. m=1 B. 当x＜1时，y随x的增大而减小
C. 顶点坐标为（1，4） D. 开口向下
5.某景点的“喷水巨龙”喷嘴C处的水流呈抛物线状流出，该水流喷出的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A.已知OC=OB=8m,OA=2m,则AD的长为（　　）
A. 8.3m
B. 8.6m
C. 8.8m
D. 9m
6.如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，过点C的⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB，若∠ABC=2∠PCB，⊙O的半径为1，则图中阴影部分的面积为（　　）
A.
B.
C.
D.
7.将抛物线y=-4x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为（　　）
A. y=-（x-2）2+3 B. y=-4（x-3）2+2 C. y=-4（x+2）2+3 D. y=-4（x-2）2+3
8.如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上.若∠A=40°，则∠C为（　　）
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
9.若点，，C（-1，y3）三点在抛物线y=-x2-2x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A. y3＞y2＞y1 B. y2＞y1＞y3 C. y2＞y3＞y1 D. y3＞y1＞y2
10.如图，AB是⊙O的直径，若AC=2，∠D=60°，则BC的长为（　　）
A. 4
B.
C.
D.
11.函数y=ax2-2x+1和y=ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
12.将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA=2，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A′的坐标为（）
A. B. C. D.
13.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，且，若BD=9，则AD的长为（　　）
A.
B. 6
C.
D.
14.关于x的函数y=kx-k和，它们在同一坐标系内的图象大致是（　　）
A. B. C. D.
15.下列关于反比例函数的说法正确的是（　　）
A. 其图象位于第一、第三象限 B. y随x的增大而增大
C. 当x＜-3时，0＜y＜1 D. 其图象经过点（-3，-1）
16.如图，抛物线y=ax2+bx+c过点A、B，已知A（-1，0），点B在点（0，-2）与点（0，-3）之间（包含端点），顶点的坐标为（1，n）.则下列结论正确的是（　　）
A. 3a+c＞0
B. 若-2≤x≤t-2，当x=-2时函数取得最大值，当x=1时函数取得最小值，则t的取值范围为2≤t≤4
C. 关于x的方程ax2+bx+c=n-1有实数根
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
17.如图，函数y=ax2+c与y=mx+n的图象交于A（-1，p），B（3，q）两点，则关于x的不等式ax2-mx+c＞n的解集是______．
18.计算的值为 .
19.如图，△ABC中，点C在x轴上，A（1，2），AB∥x轴，S△ABC=1，若反比例函数的图象经过点B，则k的值为 .
20.如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知∠ABC=90°，CM=2，AM=3，则⊙O的半径为 .
21.如图1是某款“不倒翁”，其上方为圆锥，下方为球的一部分，图2是其轴截面图，O为圆心，PA，PB是⊙O的切线，切点为A，B.若该圆半径是5cm,AB的长为8cm,则此“不倒翁”上方圆锥的表面积为 cm2.
22.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线.给出下列四个结论：①a＞0；②a-b+c＞0；③2a+3b＜0；④（m≠）.上述结论中，正确结论的序号有 .
三、解答题：本题共6小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
23.(本小题10分)
某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件.设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元.
（1）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
24.(本小题10分)
如图1、图2，是一款家用的垃圾箱，踏板AB（与地面平行）绕定点P（固定在垃圾箱底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持AP=A′P，BP=B′P），通过向下踩踏点A到A′（与地面接触点）使点B上升到点B′，与此同时传动杆BH运动到B′H′位置，点H绕固定点D旋转点D旋转（DH为旋转半径）至点H′，从而使桶盖打开一个张角∠HDH′.如图3，桶盖打开后，传动杆B′H′所在直线分别与水平直线AB、DH垂直，垂足为点M、C，设H′C=B′M.测得AP=6cm,PB=12cm,DH′=8cm,要使桶盖张开的角度∠HDH′不小于60°，那么踏板AB离地面的高度至少等于多少cm？（结果保留两位有效数字，
25.(本小题10分)
如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP=90°，连接PC.
（1）求证：PC与⊙O相切；
（2）若，OP=10，求⊙O的半径.
26.(本小题10分)
某校以传扬蜀绣文化为契机，组织全体学生参加蜀绣文化学习活动，并随机调查了部分学生，对他们每个人的学习时长进行统计，最终，根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表.根据图表信息，解答下列问题：
组别 时长t（单位：小时） 人数 所占百分比
A 0≤t＜2 16 x
B 2≤t＜4 20
C 4≤t＜6 40%
D t≥6 12 15%
（1）本次调查的学生总人数为______，表中x的值为______.
（2）该校共有学生1200人，请你估计等级为B的学生人数.
（3）已知学习时长属于组别D的4人中，有两名男生和两名女生.若从中随机抽取两人进行交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率.
27.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于A（3，m），B两点，过点A作AC∥y轴，交x轴于点C，连接BC.
（1）求反比例函数的解析式并直接写出点B的坐标；
（2）若点D在该反比例函数的图象上，当时，求点D的坐标.
28.(本小题12分)
如图①，位于贵州省安顺市关岭布依族苗族自治县与黔西南州贞丰县交界处北盘江花江段、国家3A级景区花江大峡谷风景区上空的悬索桥——花江峡谷大桥于2025年9月28日建成通车.花江峡谷大桥主桥跨径超越贵州北盘江大桥，居山区桥梁跨径世界第一、桥梁高度居世界第一，被称为“横竖都是第一”的“世界第一高桥”.小星在国庆期间游览该大桥时，被这座宏伟壮观的大桥所吸引.他通过查找资料了解到此桥的相关信息由图②所示：该桥缆索形状近似于抛物线，它的最低点是点P；两端的索塔高度相同，即AO=BC≈160m,且两个索塔均与桥面垂直；主桥的跨径OC约为1400m,它的中点是点Q，PQ≈20m,且PQ⊥OC；缆索与主桥之间通过200多根垂直于桥面的吊杆连接（如吊杆PQ）.现以O为原点，桥面OC所在直线为x轴，索塔OA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，请你根据相关数据帮助小星解决以下问题：
（1）求缆索所在抛物线的解析式；
（2）花江峡谷大桥作为贵州“桥旅融合”.30版本的代表作，大桥中间建有水幕灯光秀设备，能实现“光影魔术”吸引游客.
①已知该桥的吊杆上装有与吊杆等长的灯带，工作人员在检修灯光设备的过程中发现在距离点Q水平距离100m处的两根灯带损坏，那么完成更换工作需要准备多长的灯带？
②若点Q处设有一颗激光射灯，该射灯光线恰好经过索塔BC的顶端点B，求缆索与该光线的最大竖直距离.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】C
12.【答案】C
13.【答案】D
14.【答案】A
15.【答案】C
16.【答案】D
17.【答案】x＜-1或x＞3
18.【答案】
19.【答案】4
20.【答案】1
21.【答案】
22.【答案】①②④
23.【答案】当售价定为每件51或60元，每个月的利润恰为2200元 当售价定为55或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2400元
24.【答案】踏板AB离地面的高度至少等于3.5cm．
25.【答案】连接OC，则OC=OA=OB，
∴∠OCA=∠A，
∵OP∥AC，
∴∠POC=∠OCA，∠POB=∠A，
∴∠POC=∠POB，
在△POC和△POB中，
，
∴△POC≌△POB（SAS），
∴∠OCP=∠OBP=90°，
∵OC是⊙O的半径，且PC⊥OC，
∴PC与⊙O相切 ⊙O的半径长为6
26.【答案】80;20% 300人
27.【答案】反比例函数的解析式为；B（-3，-4） 点D的坐标或
28.【答案】抛物线解析式为y=（x-700）2+20 ①更换工作需要准备灯管长约为46米；②缆索与该光线的最大竖直距离为26米
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