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蕲春一中 2025-2026 学年下学期开学考试模拟预测 数学试卷
★祝大家学习生活愉快！★ 考试时间:2026 年 02 月 试卷满分:150 分
一、单项选择题(本大题共 8 小题，共 40 分. 在每个小题给出的选项中，只有 一项是符合题目要求的)
1. 设集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知不等式 的解集为 ,则不等式 的解集为 ( )
A. B. C. D.
3. 已知命题 “ ” 是假命题，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. 某学生准备测量如图中某建筑物 高度,选择高为 的大楼 进行测量,在大楼顶部 处测得该建筑物的顶部 的仰角为 ，底部 的俯角为 ，则该建筑物的高度为 ( )
A. B.
C. D.
5. 已知函数 为奇函数，则实数 的值为( )
A. 0 B. 1 C. ln 2 D.
6. 要得到函数 的图象,只要将函数 的图象 ( )
A. 向右平移 个单位 B. 向左平移 个单位
C. 向右平移 个单位 D. 向左平移 个单位
7. 已知函数 的部分图象如图所示, 为 图象与 轴交点且满足 为等边三角形,则 ( )
A. 1 B. C. D. 2
8. 设函数 的定义域为 ,满足 ,且当 时,
. 若对任意 ,都有 ,则 的取值范围是
A. B.
C. D.
二、多选题(本大题共 3 小题，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求, 全部选对的得 6 分, 有选错的得 0 分, 部分选对的得部分分)
9. 若正实数 满足 ,则下列结论正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为 9
10. 下列求最值的运算中，运算方法错误的有( )
A. 当 时, ,故 时的最大值是 -2
B. 当 时, ,当且仅当 取等,解得 或 2,又由 , 所以 ,故 时, 的最小值为 4
C. 由于 ,故 的最小值是 2
D. 当 ,且 时,由于 ,又 ,故当 ,且 时, 的最小值为 4 .
11. 下列不等关系中, 正确的是 ( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共计 15 分.
12. 若函数 定义域为 ，则 的取值范围是_____.
13. 已知函数 . 若存在 使得关于 的不等式 成立,则实数 的取值范围是_____.
14. 在 中给出下列四个命题:
① 若 ，则 是等腰三角形；
② 若 且 ，则 是直角三角形；
③若 ，则 是等边三角形；
④若 ，则 是等腰三角形.
其中正确的是_____.
四、解答题 (本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程成演算 步骤)
15. 化简求值
(1)
(2)
16. 记 内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，且外接圆直径为 ，求 的取值范围.
17. 某企业参加 项目生产的工人为 1000 人，平均每人每年创造利润 10 万元. 根据现实的需要,从 项目中调出 人参与 项目的售后服务工作,每人每年可以创造利润
万元 项目余下的工人每人每年创造利图需要提高
(1)若要保证 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来 1000 名工人创造的年总利润， 则最多调出多少人参加 项目从事售后服务工作
(2)在(1)的条件下，当从 项目调出的人数不能超过总人数的 40% 时，才能使得 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数 的取值范围.
18. 在锐角 中，角 的对边分别为 ，且 ， .
(1)求角 的大小；
(2)求 的取值范围；
(3)设 是 的重心,求 的最小值.
19. 定义: 若函数 对于其定义域内的某一数 ,有 ,则称 是 的一个不动点. 已知函数 .
(1)当 ， 时，求函数 的不动点；
(2)若对任意的实数 ，函数 恒有两个不动点，求实数 的取值范围；
(3)在(2)的条件下，若 图象上两个点 、 的横坐标是函数 的不动点，且线段 的中点 在函数 的图象上,求实数 的最小值.
1. D
由题意,集合 ,可得 ,
所以
故选: D
2. C
不等式 的解集为 ,
和 2 是方程 的两个根,且 ,
,可得 ,
则不等式 等价于 ,
即 ,解得 或 ,
故不等式 的解集为 .
故选: C.
3. C
由题意可知,命题“ ”是真命题.
当 时,则有 ,不合乎题意;
当 时,由 ,可得 ,则有 ,
,当且仅当 时,等号成立,
所以, .
综上所述,实数 的取值范围是 .
故选: C.
4. B
如图,过点 作 的垂线,垂足为 ,则 ,
得到 ,则该建筑物的高度 .
故选: B.
5. C
因 时 无意义,故 时, 也无意义,
则 ,即 ,
此时 ,
由 ,得 ,
此时 ,则 ,
且定义域为 关于原点对称,
故 是奇函数,符合题意,故 .
故选:
6.
因为 , 由 向左平移 ,即得 . 故选: D.
7. C
观察图象得,正 的高为 ,则 ,又 ,因此 ,
线段 中垂线方程分别为 ,即 是函数 图象相邻两条对称轴,
则函数 的最小正周期 ,所以 .
故选: C
8. B
时, ,即 右移 1 个单位, 图像变为原来的 2 倍.
如图所示: 当 时, ,令 ,整理得: (舍), 时, 成立,即 ,故选 B.
9. ACD
因为正实数 满足 ,
对 选项: ，当且仅当 时等号成立，故 A 正确；
对 选项: ， ，当 ， 时等号成立, 故 B 错误;
对 选项: 由 ,则 ,当且仅当 时等号成立, 故 C 正确;
对 选项: ,当且仅当 时,等号成立, 故 D 正确.
故选: ACD.
10. BCD
解: 对于 ,符合基本不等式中的 “一正二定三相等”,即 的运算方法正确; 对于 ,当 时, , 当且仅当 ,即 时,等号成立,即 的运算方法错误;
对于 ,取等的条件是 ,即 ,显然均不成立,即 的运算方法错误; 对于 ,第一次使用基本不等式的取等条件为 ,而第二次使用基本不等式的取等条件为 ,两者不能同时成立,即 的运算方法错误.
故选: BCD.
11. ACD
对 ,由三角函数线可知当 时, ,
令 ,可得 ,所以 ,故 对;
对 ,构造函数 ,则 ,
当 时, 在 上单调递减,
当 时, 在 上单调递增,
所以 ,
所以当 且 时， ，
令 ,可得 ,即 ,故 错;
对 ,因为当 且 时, ,故 ,
所以当 且 时, ,
令 ,得 ,即 ,故 对.
对 ,构造函数 ,
则 ,
所以 在 单调递增,故 ,即 , 令 ,得 ,故 对.
故选: ACD.
12.
对一切实数均成立,
所以当 时,显然成立;
当 时, ,
解得 ；
故 的取值范围为 .
故答案为:
13.
由题意,当 时,不等式 可化为 显然不成立;
当 时,不等式 可化为 ,所以 ,
又当 时, ,
当且仅当 ,即 时,等号成立;
当 时,不等式 可化为 ,
即 ;
因为存在 使得关于 的不等式 成立,
所以,只需 或 .
故答案为: .
14. ②③④
在 中，当 时， ，显然 不是等腰三角
形, ①不正确；
在 中， ，则 为锐角，由 得: 为锐角，且 ，
因此有 ,即 ,则有 是直角三角形,②正确；
在 中, ,则 ,
因 ,则有 ,
于是得 是等边三角形，③正确；
在 中， ，则
,
即 ,而 ,则有 是等腰三角形,④正确.
故答案为:②③④
15. ;
(2)
(1)原式分子:
分母:
则原式 .
(2)原式分子:
分母:
则原式 .
16.
(2)
(1) 易得 ,
由正弦定理得 ,
而 ,
故 ,
易知 ,
故 ,
即 ,
又因为 ,
所以 ,
所以 ,
解得 ;
(2)因外接圆直径为 ，
则由正弦定理可知 ，
故 ,
因为 是锐角三角形，
所以 ,
得 ,
则 ,
所以
由对勾函数的性质可知, 在 上单调递减,
故 的取值范围为 .
17. (1) .
设调出 人参加 项目从事售后服务工作
(1)由题意得: ,
即 ,又 ,所以 . 即最多调整 500 名员工从事第三产业.
(2)由题知， ，
从事第三产业的员工创造的年总利润为 万元，
从事原来产业的员工的年总利润为 万元,
则 ,
所以 ,
所以 ,
即 恒成立,
因为 ,
所以 ,
所以 ,
又 ,所以 ,
即 的取值范围为 .
18.
(2)
(3) .
(1) 由 和正弦定理,可得 ,
去分母得 ,即 ,
由余弦定理,可得 . 又 ,所以 .
(2)由正弦定理，可得
.
因为三角形为锐角三角形,所以 ,解得 . 则 , 则 ,故 .
(3)设 的中点为 ，因 是 的重心，则 ，
由余弦定理, ,
故当 时， 取得最小值 ，此时 的最小值为
19. (1)-1 和 3
(2)
(3)-1
(1) 当 时 ,由 ,解得 或 , 故所求的不动点为 -1 和 3 .
(2)令 ，则 ①
由题意,方程①恒有两个不等实根,所以 ,
即 对任意的 恒成立,
则 .
(3)依题意设 ，则 中点 的坐标为 ，
又 的中点在直线 上,
,
又 是方程①的两个根， ，即 ，
,
. 所以 时, 的最小值为 -1 .

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