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浠水一中 2026 年高一下开学考试数学试题
满分:150 分
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 的值为
A. B.
C. D.
2. 已知角 的终边与单位圆的交点为 ，则 ( )
A. -1 B. C. -2 D. 2
3. 已知 ,则 ( )
A. B.
C. D.
4. 化简 的结果是( )
A. -cos1 B. cos1 C. D.
5. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
7. 在 中, ,则 的最大值是
A. B. C. D.
8. 若函数 有 4 个零点,则正数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列化简中, 正确的是 ( )
A. B.
C. D.
10. 在 中，下列判断正确的是( )
A. 若 ,则 是钝角三角形
B. 若 ，则 是等腰三角形
C. 若 ，那么 一定是直角三角形
D. 若 ，且 ，则 “ ” 是 “ 为锐角三角形” 的充分不必要条件
11. 若 ,则下列说法正确的有( )
A. 的最小正周期是 B. 方程 是 的一条对称轴
C. 的值域为 D. 在 上都不可能单调
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. _____.
13. 公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形, 发现了黄金分割值约为 0.618 , 这一数值 (记为 ) 也可以表示为 . 若 ,则 _____.
14. 已知函数 在 上单调递增,若对任意 ,都有 ，则实数 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 已知
(1)求 的值；
( 2 )求 的值.
16. 设 .
(1)若 ，求 的值:
(2)若 ,且 ,求 的值.
17. 已知函数 ,其最小正周期与 相同.
(1)求 单调减区间和对称中心；
( 2 )若方程 在区间 上恰有三个实数根，分别为 ，求 的值.
18. 如图有一块半径为 1,圆心角为 的扇形铁皮 是圆弧 上一点(不包括 , ,点 分别半径 上.
(1)若四边形 为矩形，求其面积最大值；
(2)若 和 均为直角三角形，求它们面积之和的取值范围.
19. 已知函数 .
(1)求 的定义域；
(2)证明: 图像是中心对称图形；
(3)若 ,且 当且仅当 ,求实数 的值.
1. D
故选: D.
2. D
由三角函数定义知 ,
根据诱导公式可得 .
故选: D
3. B
因为 ,
所以 ,
所以 ,
故选: B.
4. C
由于 ,故 ,原式 .
5. A
因为 ,所以 ,
又 ,
所以 ,
因此
.
故选: A.
6. C
由题得 , .
故选:
7. D
因为 ,所以
.
因为 ,所以 .
所以当 时, 取得最大值 .
故选: D
8. A
函数 在 上单调递增,
则函数 在 上单调递增,而 ,
则存在 ,使得 ,函数 在 上有 1 个零点,
由函数 有 4 个零点,则函数 在 有 3 个零点,
由 ,得 ,
则 ,解得 ,所以正数 的取值范围是 .
故选: A
9. ACD
对于 正确,
对于 ,故 错误,
对于 正确, 对于 ,
，故 D 正确，
故选: ACD
10. ABD
对于 ,由 ,得 ,则 ,所以 ,所以 ,所以 为钝角三角形,故 正确. 对于 ,因为 ,所以 . 又 ,则 ,所以 ,故 正确. 对于 ,在 中, ,则 ,而
,则有 ,即 ,因为
,所以 . 因此 ,即 ,所以 是等腰三角形,但不一定是直角三角形,故 错误. 对于 , 解得 . 又 ,则 ,即 ,所以 . 若 ,则 ,此时 为锐角三角形. 若 为锐角三角形,取 ,则 ,不满足 ,故 “ ,是 为锐角三角形的充分不必要条件,故 正确.
11. BCD
对 ,因为 ,所以 ,故 是 的一个周期,故最小正周期是 是错误的,故 错误
对 ,因为 ,故 是 的一条对称轴是正确的,
对 ,当 时, ,由 ,则
,故 ,则 ,
因为 在 上为增函数,
所以当 时, ,由 知 是 的周期,故 的值域为 ,
C 正确,
对 ,当 时, ,
令 ,
由复合函数单调性可得 的单调性与 的单调性一致,
由于 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 ,
由于 的最小正周期为 ,所以 单调递增区间为 ,
单调递减区间为 ,
所以 单调区间的长度为 ,
由于 ,区间 的长度为 ,
则 在 上都不可能单调,故 正确.
故选: BCD
12. -2
原式 . 故答案为: -2 .
13.
,故 ,
故 .
故答案为:
14.
令 且定义域为 ,
又 ,所以 为奇函数,
而 在 上单调递增,则 在 上单调递增,
根据奇函数的对称性知, 在 上单调递增,
由 且 ,得 ,
所以 ,
所以 在区间 恒成立,
当 ,即 或 时,不等式恒成立,
所以,只需 在区间 恒成立,其中 ,
即 ,整理得 ,
而 ,故 恒成立或 恒成立,
因 ,故 ,故只需 或 ,
故实数 的取值范围是 ,
故答案为:
15. (1) (2)
(1) 根据同角三角函数的基本关系可得 ,再由商数关系可求 . 最后由二倍角公式可求 的值;
(2)由二倍角公式可求 的值，再由两角差的余弦公式可求 的值. 试题解析:
(1)由题意得
(2) ，
16. ;
(2) .
(1)依题意， ，由 ，得 ，解得 ,
所以 .
(2)由 ，得 ，则 ， 由 ,得 , 所以 .
17. (1) 函数 的单调递减区间为 ,对称中心为
(2)
(1) 的最小正周期为 ,
,
,
,
由 ,得 ,
由 得 ,
综上,函数 的单调递减区间为 ,对称中心为
( 2 )由 得 ，设 ，则 有三个实根
由正弦函数的性质可得 ,
,
18. (1)矩形 面积最大值为 .
(2)
(1) 连接 ,如图,令 ,
因四边形 为矩形,则 ,
于是得矩形 的面积 ,
而 ,
则当 ,即 时, 取最大值 1,
所以 的最大值为 ,
所以矩形 面积最大值为 .
(2)由(1)知， ，
则 ,
和 Rt 的面积和:
令 ,即 ,
而 ,则 ,
,
则 ,
显然 在 上单调递减,
当 ,即 时, ,
而 ,因此, ,
所以 和 的面积和的取值范围是 .
19. (1) 由题意, ,
即 ,所以 ,解得 .
所以, 的定义域为 .
( 2 )因为 ，
又 ,
所以, ,
即 图像关于点 中心对称.
所以, 图像是中心对称图形.
(3)令 ，依题意 当且仅当 ，所以 ，
若 ,因为 ,
所以存在 ,使 ,矛盾,
故 ,所以 .
此时 ,
又易知, 时, 时, ; 时, .
所以,欲使得 ,则至少有 .
由 ,得 .
当 时,
在 上单调递减.
又 ,所以 时, ;
时, 时, .
所以, 成立.
综上, .

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