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湖北随州曾都一中 25 级高一实验班 26 年三月第一次测试 数学试卷
内容: 必修第一册+必修第二册第六章、第七章
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知非零向量 满足 ，则()
A. B.
C. 与 的方向相同 D. 与 的方向相反
2. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知平面向量 ,设 在 上的投影向量为 ,则 与 的夹角为 ( )
A. B. C. D.
4. 设函数 ， ，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
5. 设方程 的实数解分别为 ,则 ( )
A. B.
C. D.
6. 函数 在一个周期内的图象如图所示,则下列说法中正确的是 ( )
A.
B. 该函数的解析式为
C. 将函数 的图象向右平移 个单位得到的函数是奇函数
D. 函数 的减区间为
7. 已知正数 满足 ,则 的最小值为 ( )
A. B. C. 6 D. 4
8. 设函数 ,若 ,则 的最小值为( )
A. -2 B. -1 C. 2 D. 1
二、多项选择题: (本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项 中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的的 0 分)
9. 下列说法正确的是( )
A. 若 ,则 为第一象限角
B. 将表的分针拨快 5 分钟,则分针转过的角度是
C. 终边经过点 的角的集合是
D. 在一个半径为 的圆上画一个圆心角为 的扇形,则该扇形面积为
10. 若复数 ，则( )
A. 的实部是 B.
C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限
11. 已知函数 ,且 在区间 上单调递减,则下列结论正
确的有( )
A. 若 ,则
B. 若 恒成立,则满足条件的 有且仅有 1 个
C. 若 ，则 的取值范围是
D. 若 ,则 的取值范围是
三、填空题:(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知 ,则 _____.
13. 已知在矩形 中， ，点 是边 的中点，则 _____. 14. 函数 ,若函数 恰有两个不同的零点, 则实数 的取值范围为_____.
四、解答题:(共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. 已知角 的顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 .
(1) 求 的值；
(2)若 ，求 的值.
16. 在 中,角 的对边分别为 ,若 ,且 的面积为 .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的周长.
17. 如图,一个半径为 5 米的筒车按逆时针每分钟转 2 圈,简车的轴心 距离水面的高度为
2.5 米.设筒车上的某个盛水筒 到水面的高度为 (单位: ) (在水面下 为负数),若以盛水筒 刚浮出水面时开始计算时间,则 与时间 (单位: ) 之间的关系为
(1)在筒车转动的一周内，求点 距离水面高度 关于时间 的函数解析式；
(2)5 分钟内，盛水筒 在水面下的时间累计为多少秒？
(3)若盛水筒 在 ， 时刻距离水面的高度相等，求 的最小值.
18. 设常数 ,函数 .
(1)若 为偶函数,求 的值;
( 2 )若 ，求方程 在区间 上的解；
(3)若函数 在区间 上存在最大值，求出正实数 的取值范围.
19. 已知函数 的定义域为 ,若 ,使得 对 都成立,则称 为 型函数.
(1)证明:每一个指数函数 ( 且 )都是(0,0,1)型函数；
(2)若函数 是 型函数，求实数 ， 的值；
(3)已知函数 在定义域 上的函数值恒大于 0，且 为 型函数，当 时, . 若 在 上恒成立,求实数 的取值范围.
1. C
非零向量 满足 ,则 与 的方向相同,且 , ABD 错误, C 正确.
故选: C
2. D
,
又由 ,得 ,即 , ,即 .
故选: D
3. A
在 上的投影向量为 ,即 ,
所以 ,则 ,
因为 ,所以 .
故选: A.
4. D
当 时, 恒成立,
当 时, ,
恒成立
当 时， 成立，
当 时, ,
由 得: ,解得
综上可得: 的取值范围为 .
故选: D.
5. B
由题意可知, 为直线 分别与函数 图象的交点的横坐标,
在同一平面直角坐标系中,作出函数 的图象,如下图所示:
由图可知, .
故选: B.
6. C
对于 ,由图象,易得 ,解得 ,
则 ,
因为 ,则有 ,
即 ,因为 ,所以 ,
则 ,故 错误;
,故 A 错误,
对于 ,将函数 的图象向右平移 个单位,即 , 易得 为奇函数,故 正确;
对于 ,若求 的单调递减区间,
则有 ,
解得 ,
即 的减区间为 ,故 错误.
故选: C.
7. A
由题意可得 ,
设 ,则 在 上恒成立,
则 在 上单调递增,
,且 ,
由 的单调性可得 ,
则 ,又因为 ,
则有 ,
当且仅当 时等号成立,以下验证是否能取到最小值,
联立 ,解得 ,因此 的最小值为 ,
故选: A.
8.
函数 定义域为 ,而 ,
要使 ,则二次函数 ,在 上 ,在 上 ,
所以 为该二次函数的一个零点,易得 ,
则 ,且开口向上,
所以,只需 ,故 的最小值为 -1 .
故选: B
9. BC
A 选项,若 ,则 为第一象限角或第三象限角,故 A 错误;
B 选项,将表的分针拨快 5 分钟,顺时针转动 ,故分针转过的角度是 ,故 B 正确;
选项,终边经过点 的角的终边在直线 上,故角的集合是
正确;
D 选项,扇形面积为 ,故 错误.
故选: BC.
10. AD
,
则 ,
所以 的实部是 ,
,
在复平面内对应的点坐标为 ,第四象限,
所以 AD 正确, BC 错误,
故选: AD
11. ABD
对于 ,由 及 在 上单调递减,
得 的图象关于点 对称,因此 , A 正确;
对于 ,若 恒成立,则 为函数 的周期或周期的倍数,
即 ,解得 ,而周期 ,则 ,
又 ,即 ,因此 ,即满足条件的 有且仅有 1 个, 正确;
对于 ,取 ,函数 在 上单调递减,
即 也满足要求, 错误;
对于 ,依题意, 为 单调递减区间的子集,
则 ,其中 ,解得 ,
当 时, ,当 时, ,
所以 的取值范围是 正确.
故选: ABD
12.
由题意得 ,
则 ,
.
故答案为: .
13. 16
由题意如图所示:
由 ,
因为 ,所以 ,
所以
,
故答案为: 16 .
14. 或
因为 ,
所以 ,
则函数 恰有 2 个零点等价于 有两个不同的解,
故 的图象有两个不同的交点,
设 ,
又 的图象如图所示,
由图象可得两个函数的图象均过原点，
当 时，
考虑直线 与 的图象相切,
则由 可得 ,即 ,
考虑直线 与 的图象相切,
由 可得 ,则 ,即 .
考虑直线 与 的图象相切,
由 可得 ,则 ,即 ,
结合图象可得当 或 时,两个函数的图象有两个不同的交点,
综上, 或 .
故答案为: 或 .
15.
(2) .
(1) 法一: 由角 终边上一点 ,得
故
法二: 由角 终边上一点 ,得 ,
故 ;
(2)由角 终边上一点 ，得
因为 ,
所以 ,
则
.
16. (1)
(2)10
(1) 由 ,正弦定理可得 ,
,
,
因为 ,所以 ,两边同时除以 得 ,
解得 .
(2)由 ，得 .
因为 且 ，所以 .
再由 ,得 ,即 .
由余弦定理: ,得 .
因此 的周长为 .
17. (1) .
(2)100 秒
(3)20
(1) 由图可知, 的最大值为 的最小值为 ,
则 ,
因为简车按逆时针每分钟转 2 圈,故 ,所以 ,
所以 ,
当 时, ,所以 ,则 ,
因为 ,所以 ,所以 .
(2)由(1)得 ，
令 ,则 ,得 , 则 ,
解得 ,
5 分钟 秒,则令 ,得 , 故 5 分钟内,盛水筒 在水面下的时间累计为 秒.
(3)不妨设 ，由题意得 ，
故 ,
① ，解得 ，
故 ,当且仅当 时,等号成立,
② ，解得 ，
显然当 时, 取得最小值,最小值为 ,
综上, 的最小值为 20 .
18.
(2)
(3)
(1) 为偶函数,
恒成立,
即 恒成立,
所以 恒成立: .
(2) ,
即 ,
,
由 ,得 ,
或 或 或 ,
所以 .
(3)
其中
时,
要使函数 在区间 存在最大值,
须使 ,
即 ,又 ,
所以解得 .
19. (1) 证明: 因为 ,
所以 是 型函数,
即每一个指数函数都是 型函数.
(2)因为函数 是 型函数，
所以 ,
显然 ,则 ,所以 ,
整理得 对于定义域 内任意 恒成立,
所以 ,解得 .
(3)因为 为 型函数，所以 ，
当 时， ，
因为 ,所以 ,满足 ;
当 时, 恒成立,
令 ,则 ,所以 在 上恒成立,则 恒成立,
因为 在 上单调递增,且 ,故 .
当 时, ,
则 ,
因为 ,所以 ,
令 ,则当 时, 恒成立.
由上可知 ,所以 在 上恒成立,
则 在 上恒成立,
因为 ,当且仅当 时取得等号,所以 .
综上可知, ,故实数 的取值范围为 .

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