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沙市中学 2026 届高三 2 月收心考 数 学
满分 150 分. 考试时间 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后,将答题卡收回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ,则 ( )
A. B. 1
C. D. 2
3. 在平面直角坐标系 中,角 与角 均以 为始边,已知角 的终边在第一象限,且 ，将角 的终边按照逆时针方向旋转 ，得到角 的终边，则 ( )
A. B.
C. D.
4. 若圆 与抛物线 的准线相切，则 的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
5. 某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高 (单位:cm)进行了测量，发现株高 近似服从正态分布. 已知测量的向日葵平均株高为 172.0cm，标准差为 14.5. 现按株高将这批向日葵划分为四个等级:过矮(后10%)、正常偏矮(10%~50%)、正常偏高
、过高 (前 ). 若 ,则“过高”等级中最矮株高可能为( )
A. 184.6cm B. 186.6cm C. 188.6cm D.
6. 设函数 ，则下列函数中为奇函数的是( )
A. B. C. D.
7. 已知四棱锥 中， 平面 ， ，点 到直线 的距离为 2 . 以 为球心， 为半径的球面与侧面 的交线长为( )
A. B. C. D.
8. 若存在 ,对任意的 ,都有 ,则 的最大值为( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分.
9. 已知实数 满足 ，则( )
A. B.
C. D.
10. 已知函数 的图象关于直线 对称,则 ( )
A. 的最小正周期为
B. 为奇函数
C. 在 上单调递增
D. 在 内恰有 3 个零点
11. 现进行如下试验: 从 中任选一个数,记为 ,若 ,则试验结束; 否则再从 中任选一个数,记为 ,若 ,则试验结束; 否则再从 中任选一个数，依次类推，直至选中 1 为止.记事件 “试验过程中，数字 被选到”， 表示事件 发生的概率 ,则( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知数列 是等差数列, 是方程 的两实数根,则数列 的前 20 项和为_____.
13. 已知曲线 在 处的切线方程为 ，则 _____.
14. 在 中， ， ，则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或解答 步骤.
15. 已知数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求 的通项公式；_____
(2)设 ，记 为数列 的前 项和，证明: .
16. 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， ，点 ， 分别是棱 ， 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)若 ，平面 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. 已知函数 ,且 .
(1)若 ,求 的值;
(2)从以下三个条件中选择两个作为已知，使得 存在，并求 的取值范围.
①函数 在区间 上只有最大值，没有最小值；
②函数 在区间 上恰有 4 个零点:
③函数 在区间 上单调递增.
18. 已知 两点的坐标分别是 ,直线 相交于点 ,且直线 的斜率与直线 的斜率的差是 2 .
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)已知 上存在三点 ,且 关于直线 对称.
① 求 的取值范围;
②若 为等边三角形，求 .
19. 已知函数 .
(1)当 时，求 的零点；
(2)给定数集 ，任给 ，对应关系 使函数 的零点 与 对应.
①证明: 是函数，并讨论该函数的单调性；
②若数列 满足 ，证明: .
1. A
逐一检查集合 中各元素,其中只有 满足 ,所以 . 故选: A
2. B
复数 满足 ,则有 ,
得 ,所以 .
故选:
3.
因为 是第一象限角,所以 ,所以 ,
又由题意可知 ,
所以 ,
故选: C.
4. B
圆 的圆心坐标为 ,半径为 2,
抛物线 的准线方程为 ,
圆 与抛物线 的准线相切,
则有 ,解得 ,所以抛物线 的焦点坐标为 .
故选: B
5. D
因为 ,则 , 可得 ,解得 ,
即“过高”等级中的株高 ，结合选项可知 D 正确，ABC 错误.
故选: D.
6.
对于 A: 令 ,则 定义域为 ,因为
所以 不是奇函数, A 错误;
对于 : 令 ,则 定义域为 ,因为 , 所以 不是奇函数, B 错误;
对于 : 令 ,则 定义域为 ,
因为
,即 所以 是奇函数, 正确;
对于 : 令 ,则 定义域为 ,
因为 ,所以 不是奇函数, 错误;
故选: C.
7.
在梯形 中,因为 ,
所以 ,则 ,即 ,
因为 平面 平面 ,所以 ,
又因为 平面 ,所以 平面 ,
又因为 平面 ,所以 ,
由点 到直线 的距离为 2,可得 ,
再过点 作 ,垂足为 ,则 ,
又因为 平面 ,所以 平面 ,
由 ,可得 ,
则以 为球心, 为半径的球面与侧面 的交线是以 为圆心的圆弧,
其半径为: ,
又由 ,可得 ,
则在直角 中，由点 到 的距离等于 ，
所以直线 与这个以 为圆心的圆弧相离,
即与侧面 的交线是以 为圆心的圆弧长为 ,
故选: B
8. C
任意的 ,都有 ,
则有 在 上恒成立,
令 ,函数定义域为 ,
,令 ,解得 ,
时, 在 上单调递减;
时, 在 上单调递增,
因此存在 ,使 ,
令 ,令 ,解得 ,
时 在 上单调递增;
时 在 上单调递减,
有 ,
所以 时, 的最大值为 .
故选: C
9. BC
因为 ,所以 ,
对于 ,若 ,则 ,故 错误;
对于 ,
又 ,所以 ,
所以 ,所以 ,故 B 正确;
对于 ,因为 ,所以 ,所以 ,
所以 ,故 正确;
对于 ,当 时, 不成立,
故 D 错误;
故选: BC
10. ABD
对于 : 因为函数 关于直线 对称,所以 ,等价于
由 得 ,即 ,
所以 ,则 , A 正确;
对于 : 因为 ,
所以 是奇函数, 正确;
对于 : 由 得 ,若 ,则 单调递增,
若 ,则 单调递减, 错误;
对于 : 令 ,则 ,解得 ,
由 得 ,又 ,
所以 ,即 在 内恰好有 3 个零点, 正确;
故选: ABD.
11. BCD
对于 ,若数字 9 被选到,有两种情况:
第一次选数时,从 1 到 10 中选到 9,概率为 ,
第一次选到 10 ，第二次从 1 到 9 中选到 9 ，概率为 ，
所以 ,选项 A 错误;
对于 ,若数字8被选到,有以下几种情况: 第一次就选到 8,概率为 ;
发生后,下一次从 1 到 8 中选到 8,概率为 ,
发生后,下一次从 1 到 9 中选到 8,概率为 ,
这几种情况彼此互斥,所以 ,选项 正确;
对于 ,根据条件概率公式 ,
若 发生,即数字 9 被选到,那么在选到 9 的情况下,
下一次从 1 到 8 中选到 8 的概率为 ,即 ,
若 发生,即数字 10 被选到,那么在选到 10 的情况下,可以下一次从 1 到 9 中选到 8 , 也可以是下一次从 1 到 9 中选到 9 ，再下一次从 1 到 8 中选到 8 ，
即 ,
所以 ,选项 正确;
对于 ,对于 即选中 的情况,设 为选中数当中不小于 的最小整数,
则
当 时,有 ,
结合 知 ,
所以最大数选取是任意的,始终有 ,
对于 同时选中情况,不妨设 可理解为从 中按规则取数,
选中 的概率,则有 ,
可得 ,选项 D 正确.
故选: BCD
12. 60
因为 是方程 的两实数根,
所以 .
又数列 是等差数列,所以 ,
所以数列 的前 20 项和为 .
故答案为: 60
13.
由已知切点坐标为 ,因为 ,切线方程为 , 则由导数的几何意义可得 ,解得 ,
又切点在曲线上,所以 ,解得 .
故答案为: .
由 可得 ,
两边平方得: ,又 ,
所以 ,即 ,
所以 ,所以 ,
由 ,根据正弦定理角化边得 ,所以 ,
所以 ,
故答案为: .
15.(1) 当 时, ,
当 时, ,作差得:
即 ,
所以 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,所以 .
(2) ，
所以 ,
所以 ,
命题得证.
16. (1)取 中点 ,连接 .
因为 为 中点,
所以 为 的中位线,
所以 且 .
在正方形 中, 为 中点,
所以 且 ,
所以 且 ,
所以四边形 是平行四边形.
所以 .
又 平面 平面 ,
所以 平面 .
(2)由于平面 平面 ,平面 平面 平面 平面 .
以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，
不妨设 ，则有 .
设平面 的法向量 ,
得 ；
设平面 的法向量 ,
,所以 ,不妨令 ,
得 ;
设平面 与平面 夹角为 ,
则 ,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17.(1) 因为 ,所以 ,
因为 ,所以 .
当 时, ,
因为 ，所以 .
令 ,则 ,
所以 ,
所以 .
(2)对于①:因为 ，所以 ，则 ，解得
对于②: 因为 ,所以 ,则 ,解得
对于③:因为 ，所以 ，则 ，解得
因为②与①、③的交集都为空，所以选①和③.
由 ,得 ,
即 的取值范围是 .
18.
(2)① ；②
(1)设点 .
因为直线 的斜率与直线 的斜率的差是 2,所以 ,
化简得: .
(2)①因为 关于直线 对称，所以直线 的斜率为 -2 .
设直线 的方程为 ,
联立 消去 可得 .
所以
所以 中点坐标 .
因为点 在直线 上,所以 .
因为 ,所以 ,
因为曲线方程 ,即曲线上要挖掉两点 ,
即直线 不能经过点 ,
若直线 过点 ,则 ,
若直线 过点 ,则 .
综上所述: 的取值范围是 .
②因为 为等边三角形，所以点 在直线 上.
设 ,则 ,
所以 ,即 ,
化简得, ①.
因为点 在直线 上,所以 ②.
由①②消 得， .
因为 ,所以 ,
所以 .
19.(1) 当 时, ,
由 ,得 在 上单调递增.
因为 ,所以 的零点为 .
(2)① 当 时， ，
所以 在 上单调递增.
设 ,
所以当 单调递增; 当 单调递减;
所以 ,所以 ,即 ,当 时取等号,
因为 ,
所以 ,使得 ,所以 存在唯一零点 ,
所以对于任意一个 的值, 都有唯一零点 与之对应,
所以 是函数.
下面讨论该函数的单调性:
(方法一) 在 任取 ,且 .
设 ,
所以 ,且 ,
所以 .
因为 ,所以 .
设 ,
当 时, ,所以 在 上单调递增.
因为 ,所以 ,
所以函数 在 上单调递减.
(方法二) 由 ,两边对 求导,
得 ,所以 ,
所以 恒成立,所以 ,
所以函数 在 上单调递减.
②由①知， .
由 得 ,
由 及 可得 ,解得 ,
所以 ,解得 ,
所以 .
由 ,得 ,
所以 .
设 ,所以 ,
所以 在 上单调递减,所以 ,所以 .
因为 ,所以
所以得证.

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