资源简介

数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答
题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求)
1复数则1：
A.②
B.2
2
D.2
2.若集合A={-2,-1,2,3},B={-3,-1,2},则
A.ACB
B.BCA
C.A∩B={-1,2}
D.AUB={-3,-2,-1,-1,2,2,3}
3.若函数f(x)=ax3+x(a∈R)的图象与直线2x+y+m=0相切于点(1，f(1)),则实数m=
A.-2
B.2
C.-3
D.3
4已3sina-2easa+=0,则taa看
A.-33
B.、3
7
7
D.
35
5
5
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5.如图1为眼睛分辨视标的数学模型，视标整体形状为正方形，长和宽相等为H,视标
笔画宽度和空白缺口宽度相等均为h,将视力值按0.1,0.2,0.3，…，1.5划分为15
个等级，对应的视标笔画宽度成等比数列{hnI(n≤15，neN·),则公比为
店
图1
14
15
A.15
B.5
C.
D
h
h
6.如图2为函数f(x)=√3sin(x+p)(w>0,013
(7,0,(行，0为图象与x轴的两个交点坐标，则
营r
A.-√6
B.0
图2
D.6
7.设P为椭圆方1上一动点，M、N分别为圆C:(x+3)+y=1和圆C2:(x-3)2+
y2=4上的动点，则IPM|+|PNI不可能为
A.9
B.11
C.13
D.16
8.已知数轴上有10个不同的点X,(i=1,2,…,10),X,的坐标为x,且满足x+1-x=
1(k≤9，k∈N'),从上述10个不同点中任取4个不同的点，则事件“存在1≤i寸≤
4,i,jeN·,使得|XX|=1”的概率为
B名
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■口口回口口■口口■口回
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)》
9.数列{a,I的前n项和为S。,指出Sn=f(n)的图象上的部分点对应的数列{a}可能是等
差数列的是
23
eg
10.如图3，在长方体ABCD-A,B,C,D,中，AD=AM1=2,AB=1,E、F分别在线段C,C、
B,C上运动，M为线段AD的中点，则下列结论正确的是
A.BM⊥MF
1
B.EF∥平面AD,
C.若BC=2B正，则直线M与平面AB,CD,所成角为牙
D.若D,e平面MEP,则三校锥C-MBF的最大体积为号
图3
1l.已知直线l:x-y-2p=0(p>0,t∈R)与抛物线C:y2=2px相交于A、B两点，点A在
第一象限，1与x轴交于点D,O为坐标原点，则下列说法正确的是
A.OA⊥OB
B.若OE⊥AB,E(1,1)为垂足，则p=2
C.△OAB面积的最小值为2p2
D若1与直线=-2办交于点，则十高品
2
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知/(x)=
e,x≤l,
则f2))=
Inx,x>1,
13.已知正六棱锥P-ABCDEF的侧面积为12，AB=2,则该正六棱锥外接球的表面积为
14.
过点(1,2)的直线I分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A、B两点，0为坐标原点，
则△AOB的内切圆面积的取值范围是
数学·第3页（共6页）
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一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C A B C B D D
【解析】
1． 故选 A．
2． 但 ，故 A 错误； 但 ，故 B 错误； ，故 C 正确；
，故 D 错误，故选 C．
3． ，则 ，而 ，即切点为 ，代入直
线 得 故选 A．
4． 由 ， ， 得
，所以 ，所以 ，故选 B．
5．由题，数列 成等比数列，所以 ， ，所以公比为
，故选 C．
6．由图可知， 则 所以 ， ，
， 解 得 ， ． 因 为 ， 所 以 ， 所 以
， ， 所 以
，故选 B．
7．如图 1，椭圆的两个焦点坐标为 ， 为两个圆的圆心坐标，圆 的半径
数学参考答案·第 1页（共 11页）
为 ， 圆 的 半 径 为 ， 由 椭 圆 的 定 义 ， 分 析 可 知
，即 ，故选 D．
图 1
8．问题等价于从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 中任取 4 个不同的数 求事
件“存在 ≤ < ≤4， 使得 ”的概率，不妨设 ，考
虑 对 立 事 件 不 存 在 ， ， 使 得 ， 则 有
，在 1，2，3，4，5，6，7 中任取 4 个不同的数，从小到
大 依 次 表 示 ， 此 时 有 种 不 符 合 题 意 的 取 法 ， 则 有
种符合题意的取法，所以事件“存在 ， ，使得
”的概率为 ，故选 D．
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
题号 9 10 11
答案 ABD BCD AD
【解析】
9．设等差数列 的公差为 ，则 ，当 时， 是关于 的二次函
数，点 在过原点的抛物线 上，选项 AB 正确；当 时，点
在过原点的直线 上，可知 ，选项 D 正确，故选 ABD．
数学参考答案·第 2页（共 11页）
10．由题 ， ，所以 ，因此 ，若
，则 平面 ，从而 ，与 是直角矛盾，故 A 不正
确； 平面 ，平面 平面 ，所以 B 正确；设直线 与平面
所成角为 ，因为平面 平面 ，所以直线 与平面 所成
角也为 ，作 在平面 的投影 ，则 ，因为 ，所以 是
的中点，由相似可得 ∶ ∶2，因此 ； ，因此
，故 C 正确；若 平面 ，则 四点共面，因为平面
平面 ，所以 ，可知 ，因为平面
平面 ，且 平面 ，所以 ；因此当 面积最大时，
有三棱锥 的最大体积，可知 ，因为 且 是定
直线，所以 的三个角是定角，又因为 分别在线段 上运动，所以
与 成正比，则当 最大时，有 最大面积，此时 ，
，因此三棱锥 的最大体积为 ，故D正确，
故选 BCD．
11．如图 2，设 、 ，联立 消去 ，
得 ， 所 以 ， ， 所 以
， ，故 A 正确；由
，或由 ，得
图 2
， 故 B 错 误 ； △ 面 积
， 因 为
数学参考答案·第 3页（共 11页）
， 当 且 仅 当 时 ， 取 得 最 小 值 ， 故 C 错 误 ； 如 图 3， 因 为
图 3
，所以
，得 ，故 D 正确，故选 AD．
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
题号 12 13 14
答案 2
【解析】
12．
13．如图 4，设 为底面正六边形 的中心，
为 的中点，连接 ， ， ， 为正六棱
锥 外接球的球心，由题意 为等腰
三角形，因为正六棱锥 的侧面积为 ，
图 4
所以 ，解得 ，所以 ，因为 ，所以 ，
设 ，所以 ，所以 ，解得 ，所以正六棱锥
外接球的表面积为 ．
14．合情推理（考虑极限思想）：设 直 线
的方程为 由题： 故 设 的
内切圆半径为 如图5，则当 时， 轴，
图 5 与 轴间的距离 1；如图 6，当 时，
轴 ， 与 轴 间 的 距 离 2， 所 以 的 取 值 范 围 是
故 的内切圆面积的取值范围是
图 6
数学参考答案·第 4页（共 11页）
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分 13 分）
解：（1）由题 ，又 ， ，如图 7，
，
……………………………………（4 分）
图 7 在△ 中，由余弦定理，
得 ，
所以 ． ……………………………………………………………………………（8 分）
（2）据（1） ，
所以△ 的面积为 ．……………………（13 分）
注：其余方法参照给分．
16．（本小题满分 15 分）
（1）证明：由题 ．
又 平面 ， 平面
∴
而 平面 且
∴ 平面 ………………………………………………………………………（6 分）
（2）方法一：解：取 AB 中点 N，连接 ON，
如图 8，以 为坐标原点， 、 、 的方向分别为
轴、y 轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则
， ， ， ，
图 8
数学参考答案·第 5页（共 11页）
，
……………………………………………………………………………………（9 分）
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，
平面 的一个法向量为 ，
设截面 与侧面 夹角为 ，
所以 ，
所以截面 与侧面 夹角的余弦值为 ．…………………………………（15 分）
方法二：几何法：解：如图 9，
即为截面 与侧面 所成二面角的平面角．
………………………………………………（9 分）
在直角三角形中 ， ， ，
图 9
所以 ，
所以截面 与侧面 夹角的余弦值为 ．…………………………………（15 分）
17．（本小题满分 15 分）
证明：（1）当 时， ， ，
∴ 在 R 上单调递减．
又∵
∴ 在 R 上有唯一零点 ． ……………………………………………………（5 分）
（2）先证必要性：因为 时， ，所以 ，即 ，
所以 ．………………………………………………………………………………（8 分）
下面证明充分性：
数学参考答案·第 6页（共 11页）
当 时， ，
令 ，则 ， ．
……………………………………………………………………………………（10 分）
①当 时， ，当且仅当 时 ，取“=”，
以 在 上单调递增，所以 ，所以 ；
……………………………………………………………………………………（12 分）
②当 时，记 ，则 ，
因为 ， ， ，
又因为 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以在 上存在 、 ，使 ， ，且 ， ，
所以当 或 时， ；当 时， ，
所以 在 、 上单调递增，在 上单调递减．
又因为 ， ， ，
所以当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，而 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，充分性得证．…………………………………………（15 分）
18．（本小题满分 17 分）
解：（1）单败淘汰赛中，任何一场失利都意味着出局，强者必须赢得其参加的所有
场比赛才能夺冠，
当 ， 时， ．……………………………………（2 分）
双败淘汰制中，当 ， 时，参赛者 中不妨设强者为 ，其赢得冠军
有三种情况：
数学参考答案·第 7页（共 11页）
情况 1、 全胜（不输任何一场）夺冠，赢下参加的三场比赛：第一轮初赛、胜者组决赛、
总决赛，概率为 ；
情况 2、 在小组初赛输一次，但后面比赛中全胜，概率为 ；
情况 3、 在小组初赛胜，在胜者组初赛输一次，但在后面比赛中全胜 ，
所以 ．
……………………………………………………………………………………（5 分）
（2）强者一共打 场比赛， ， ；
一个弱者打 场比赛，对阵强者，赢的概率为 ，对阵其他 个弱者（弱者之间
比赛胜率为 ），所以 ．………………………………………（9 分）
当 ， ， 时，
，
对于强者， ，所以 ，即 总是成立的．
强者要稳定夺冠，需要 显著大于 ，实力差距 越大，参赛人数 越多，
强者预期胜场领先优势 就越大．……………………………………………（12 分）
（ 3） ① 时 ， 若 ， ， 若 时 ，
，
若 ， ，则 （约 ），
单败淘汰制对弱者最有利，原因在于强者需要连续赢下多场比赛（ 场），任何一
场失败（即使概率 很小）都会导致其被淘汰．爆冷可能性随着比赛场次的增加而显
著累积．
在同样条件（ ）下，双败淘汰制的 大于单败淘汰制的
．
②双败淘汰制比单败淘汰制更有利于强者．原因在于双败淘汰制给了强者一次犯错（输
一场）的机会．
对于实力顶尖的选手（ 很大），双败淘汰制显著优于单败淘汰制．它大大降低了强者因
数学参考答案·第 8页（共 11页）
单场意外失利而早早出局的风险．但对于实力中游的选手，双败淘汰制可能增加了他们
遭遇顶尖强者的次数（从胜者组掉下来后要在败者组打更多比赛），反而可能不利．
双败淘汰制比单败淘汰制更有利于真正的顶尖强者稳定夺冠，降低了冷门的总体影响．
③单循环赛制最有利于强者，原因在于比赛场次多（ 场），根据大数定律和中心极限
定理，实力更强（ ）的选手在大量比赛中，其胜率会稳定地表现出来，极大地减
少了单场爆冷对最终排名的影响．强者有较多的机会证明自己的实力，弱者爆冷胜利（即
使发生）对强者最终积分的影响被稀释了．代价是比赛场次过多，时间成本高，不适合
大规模参赛．……………………………………………………………………………（17 分）
【评分说明】
不同赛制的影响从“对强者有利程度”和“比赛场次（效率）”两个方面说明：
对强者最有利：单循环赛制. 样本量大，爆冷影响最小化.代价：场次较多，时间成本高，
效率低；
对强者最不利（对弱者最有利）：单败淘汰制．强者需要连续多场不犯错，任何一场爆冷
即出局．爆冷概率累加显著，效率最高．
根据以上要点适当扣分．
19．（本小题满分 17 分）
（1）解：设 根据 ，消去 ，得 ，
所以 的标准方程为 ，
曲线 为坐标原点为圆心，半径为 的圆；……………………………………………（2 分）
同理由 得 的标准方程为 ，
曲线是以坐标原点为中心，半实轴与半虚轴长均为 的等轴双曲线．
………………………………………………………………………………………（4 分）
（ 2） 证 明 ： 如 图 10， 设 直 线 的 方 程 为 ： ， 直 线 的 方 程 为 ：
，
联立方程 ，消去 ，整理得 ，
则 ，即 ，
数学参考答案·第 9页（共 11页）
得 ， ，
所以 点的坐标为 ，
图 10
同理 点的坐标为 ，
所以直线 的斜率 ，
所以直线 的方程为 ．
令 ，得 ，所以点 的坐标为 ，
……………………………………………………………………………………（8 分）
同理联立方程 ，类似可得
， ， ．
……………………………………………………………………………………（12 分）
（ⅰ）直线 的斜率为 ，
同理直线 的斜率为 ，所以 ，
所以 ；…………………………………………………………………（15 分）
（ⅱ）设 ，由 、 、 、 四点共圆 ： 可知：
，
又 ，而 ，
所以 ，
所以 、 、 、 四点共圆．……………………………………………………（17 分）
数学参考答案·第 10页（共 11页）
数学参考答案·第 11页（共 11页）■口口■口口■口口■口■
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求)
题号
1
2
>
答案
以
A
0
◇
D
【解析】
1.=i=
故选A
1+i2
2
2.3∈A但3B,故A错误；-3∈B但-3A,故B错误；A∩B={-1,2},故C正确；
AUB={-3,-2,-1,2,3},故D错误，故选C.
3.f"(x)=3x2+1,则f"0)=1+3a=-2,a=-1,而f0)=1+a=0,，即切点为1,0)，代入直
线2x+y+=0,得2+=0，m=-2,故选A.
4由v5a-2ama+到-05u=2oma+到oa-5a将25na-6wa。
3
所以tana=
,所以ama
6
663
3
1+35
故选B
7
63
5.由题，数列0图5neN)成等比数列，所以A。=4g,g-年，所以公比为院
故选C.
6由图可知，A=6r告4则@至所以)=5仔+e小登+p于a，
kez,解得子2c,ke乙.因为0<<，所以g-子所以w=5m行+到》】
4
0+ +1 +1④555+-0，所以=06x0+/0+/@=0,
故选B.
7.如图1，椭圆的两个焦点坐标为F(-3,0),E3,0),为两个圆的圆心坐标，圆C,的半径
数学参考答案·第1页（共10页)
■口口■口口■口口■口■
为5=1，圆C,的半径为5=2，由椭圆的定义|PE引+|PF=12,分析可知
12-r-5≤|PM|+|PN|2+r+3,即9≤|PM|+|PN|≤15，故选D.
图1
8.问题等价于从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中任取4个不同的数4,4,4,4，求事
件“存在1≤i虑对立事件不存在1≤i<4,i,jeN,使得|a-a=1,则有
1≤4<4-1<4-2<4-3≤7，在1,2,3,4,5,6,7中任取4个不同的数，从小到
大依次表示4,4，-1,4-2,4，-3，此时有C=35种不符合题意的取法，则有
C。-35=210-35=175种符合题意的取法，所以事件“存在1≤i1a-4卡1”的概率为175=5，
，故选D
2106
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
题号
0
10
11
答案
ABD
BCD
AD
【解析】
9,设等差数列@)的公差为d,则S,=+a-m,当
当d≠0时，Sn是关于n的二次函
2
2
(,S)在过原点的直线y=4x上，可知a<0,选项D正确，故选ABD.
数学参考答案·第2页（共10页）数学-双向细目表
题号 题型 分值 试题内容 难度系数 备注
1 选择题 5 复数 易
2 选择题 5 集合 易
3 选择题 5 三次函数、切线 易
4 选择题 5 三角恒等变换、求值 中
5 选择题 5 等比数列应用 易
6 选择题 5 三角函数图象性质 中
7 选择题 5 圆和椭圆的性质 中
8 选择题 5 古典概型 难
9 选择题 6 等差数列性质 易
10 选择题 6 立体几何问题 中
11 选择题 6 直线与抛物线 难
12 填空题 5 分段函数求值 易
13 填空题 5 立体几何组合体-多面体和球有关问题 中
14 填空题 5 直线和圆、极限思想（合情推理） 难
15 解答题 13 解三角形 易
16 解答题 15 立体几何垂直关系及二面角 易
17 解答题 15 函数导数 中
18 解答题 17 概率统计问题 难
19 解答题 17 探究性问题、解析几何-直线与圆曲问题 难
达成 优秀率 及格率 平均分
目标 6%左右 60%左右 90±5 左右
命题 全面考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、和数据分析的核心素养，
思想 体现基础性、综合性、应用性、和创新性的考查要求。

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