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微专题4　带电粒子在复合场中的运动
命题热点　巧突破
１
带电体在电场和重力场中的运动
1．带电体在电场、重力场中运动的分析方法
(1)对带电体的受力情况和运动情况进行分析，综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动的规律解决问题。
(2)根据功能关系或能量守恒的观点，分析带电体的运动时，往往涉及重力势能、电势能以及动能的相互转化，总的能量保持不变。
(2)等效最高点和最低点：在“等效重力场”中做圆周运动的小球，过圆心作合力的平行线，交于圆周上的两点即为等效最高点和最低点。
(1)求油滴a和油滴b的质量之比；
(2)判断油滴a和油滴b所带电荷的正负，并求a、b所带电荷量的绝对值之比。
【审题指导】　
【答案】　(1)8∶1　(2)a带负电　b带正电　4∶1
【易错提醒】　(1)不能根据已知条件先求出油滴a、b的半径之比；(2)不能根据油滴a、b的运动情况判断它们带电的电性。
(2024·河北卷)如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，使其在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q(q>0)、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求：
(1)电场强度E的大小；
(2)小球在A、B两点的速度大小。
2
带电粒子在组合场中的运动
1．带电粒子的“电偏转”和“磁偏转”的比较
垂直进入磁场(磁偏转) 垂直进入电场(电偏转)
情 境 图
2.常见运动及处理方法
3．“5步”突破带电粒子在组合场中的运动问题
(1)求磁感应强度的大小；
(2)求电场强度的大小；
(3)若粒子从a点以v0竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小。(一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度)
【解析】　(1)根据题意可画出粒子的运动轨迹，如图所示
由题意可知θ＝60°
设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，由几何关系有r＝rcos θ＋h
解得r＝2h
(3)若粒子从a点以v0竖直向下发射，画出粒子的运动轨迹，如图所示，由于粒子在磁场中运动的速度大小仍为v0，粒子在磁场中运动的半径仍为2h，由几何关系可得，粒子进入电场时速度与虚线的夹角α＝60°
3
带电粒子在叠加场中的运动
1．三种典型情况
(1)若只有两个场，所受合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态。例如电场与磁场叠加满足qE＝qvB时，重力场与磁场叠加满足mg＝qvB时，重力场与电场叠加满足mg＝qE时。
(2)若三场共存，所受合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直。
2．当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。
3．分析
(1)电场强度E的大小及该粒子第一次经过z＝z0平面时的位置对应的x坐标值；
(2)当该带电粒子沿x轴正方向飞出到达P点时间最小时，求B2的大小；
(3)若将电场E改成沿y轴正方向，粒子同样从坐标原点O沿x轴以速度v射出，求粒子的轨迹方程。
(2)粒子做匀速圆周运动，可能的运动轨迹如图所示
1.(多选)(2025·福建卷)空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场B与水平向右的匀强电场E，一带电体在复合场中恰能沿着MN做匀速直线运动，MN与水平方向呈45°，NP水平向右。带电量为q，速度为v，质量为m，当粒子到N时，撤去磁场，一段时间后粒子经过P点，重力加速度为g，则(　　)
【答案】　BC
1．摆线
摆线是指一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹，又称圆滚线、旋轮线。
当圆滚动的方向与圆心匀速移动的方向一致时，圆滚动一周，动圆上定点描画出摆线的一拱。每一拱的拱高为2a(即圆的直径)，拱宽为2πa(即圆的周长)。
4
“配速法”解决摆线问题
2．配速法
(1)若带电粒子在磁场中所受合力不为零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，轨迹常为摆线。我们可以把初速度分解成两个分速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力，或重力和静电力的合力)平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解为两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。
(2)配速法适用条件
①在叠加场中；
②合力不为零。
(3)规律
把速度分解成两个速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力、或重力和静电力的合力)平衡，使粒子在这个方向上做匀速直线运动。
①初速度为零时，速度分解为两个等大、反向的速度；
②初速度不为零时，按矢量分解法则分解。
(4)常见的“配速法”的应用
常见情况 处理方法
BG摆线：初速度为0，有重 力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。
常见情况 处理方法
BE摆线：初速度为0，不计重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。
常见情况 处理方法
BEG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个斜向左下方的速度v1和一个斜向右上方的速度v1。
常见情况 处理方法
BGv摆线：初速度为v0，有重力 把初速度v0分解为速度v1和速度v2。
如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场和水平方向的匀强磁场(垂直纸面向里)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子在场中运动，不计粒子所受重力。将该粒子在M点由静止释放，求粒子沿电场方向运动的最大距离ym和运动过程中的最大速率vm。
取沿x方向运动一小段时间Δt，根据动量定理有
F洛xΔt＝qBvyΔt＝mΔvx
式中vyΔt表示粒子沿y轴方向运动的距离。因此，等式两边对粒子从M点到第一次最远的过程求和有qBym＝mvm②
方法二：“配速法”
将粒子在M点由静止释放，其运动较为复杂，是因为洛伦兹力改变了运动的方向，带电粒子在磁场中做的最简单的运动是匀速圆周运动，我们就可以想方设法将其分解为匀速圆周运动。
专题分层　突破练
A组·基础巩固练
1．(2024·黑吉辽卷)在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面(纸面)内运动。如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到O点等高处的过程中(　　)
A．动能减小，电势能增大
B．动能增大，电势能增大
C．动能减小，电势能减小
D．动能增大，电势能减小
【答案】　D
【解析】　根据题意若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，可知电场力和重力的合力沿着虚线方向，又电场强度方向为水平方向，根据力的合成可知电场力方向水平向右，若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到O点等高处的过程中重力对小球做功为零，电场力的方向与小球的运动方向相同，则电场力对小球做正功，小球的动能增大，电势能减小。故选D。
2．(2025·北京卷)电磁流量计可以测量导电液体的流量Q——单位时间内流过管道横截面的液体体积。如图所示，内壁光滑的薄圆管由非磁性导电材料制成，空间有垂直管道轴线的匀强磁场，磁感应强度为B。液体充满管道并以速度v沿轴线方向流动，圆管壁上的M、N两点连线为直径，且垂直于磁场方向，M、N两点的电势差为U0。下列说法错误的是(　　)
A．N点电势比M点高
B．U0正比于流量Q
C．在流量Q一定时，管道半径越小，U0越小
D．若直径MN与磁场方向不垂直，测得的流量Q偏小
【答案】　C
3．(2025·浙江精诚联盟二模)汽车装有加速度传感器，以测量汽车行驶时纵向加速度。加速度传感器有一个弹性梁，一端夹紧固定，另一端连接霍尔元件，如图所示。汽车静止时，霍尔元件处在上下正对的两个相同磁体中央位置，如果汽车有一向上的纵向加速度，则霍尔元件离开中央位置而向下偏移。偏移程度与加速度大小有关。如霍尔元件通入从左往右的电流，则下列说法正确的是(　　)
A．若霍尔元件材料为N型半导体(载流子为电子)，则前表面比后表面的电势高
B．若汽车加速度越大，则霍尔电压也越大
C．若汽车纵向加速度为0，增大电流，则监测到的霍尔电压也会增大
D．若汽车速度增大，则霍尔电压也增大
【答案】　B
【解析】　N型半导体载流子为电子，电流从左往右，电子从右向左运动，电子受到洛伦兹力的作用将在前表面聚集，直到粒子所受洛伦兹力与静电力平衡，前后表面形成稳定的电势差，而后表面的电势比前表面的要高，故A错误；加速度越大，偏移量越大，磁感应强度越大，霍尔电压越大，故B正确；若汽车纵向加速度为0，则霍尔元件所处位置的磁感应强度为零，粒子不受洛伦兹力，不会出现霍尔电压，故C错误；速度增大，但加速度不一定大，偏移量不一定大，霍尔电压也不一定大，故D错误。
A．小球在A点的速度方向向右
B．小球在A点受到圆环的支持力为0
C．小球在C点速度大小为4 m/s
D．小球在C点对圆环的压力大小为10 N
【答案】　D
A．粒子始终在第四象限内做周期性运动
B．粒子最初一段径迹是一段抛物线
C．粒子最终以2v0的速度做匀速直线运动
D．粒子运动过程中的最大速度为3v0
【答案】　AD
(1)求粒子所带电荷量q；
(2)求磁感应强度B的大小；
7．(2025·山东日照模拟)某“太空粒子探测器”由加速、偏转和探测三部分装置组成，其原理如图所示，两个同心三分之一圆弧面AB、CD之间存在辐射状的加速电场，方向由AB指向CD，圆心为O1，弧面间的电势差为U。在点O1右侧有一过O1、半径为R的圆形区域，圆心为O2，圆内及边界上存在垂直于纸面向外的匀强磁场。MN是一个粒子探测板，与O1O2连线平行并位于其下方2R处。假设太空中漂浮着质量为m，电荷量为＋q的带电粒子，它们能均匀地吸附到AB上，并被加速电场由静止开始加速到CD上，再从点O1进入磁场，最后打到探测板MN上，其中沿O1O2连线方向入射的粒子经磁场偏转后恰好从圆心O2的正下方P点射出磁场，不计粒子间的相互作用和星球对粒子引力的影响。
(1)求粒子到O1点时的速度大小及圆形磁场的磁感应强度大小B；
(2)所有吸附到AB上的粒子，从哪一点出发的粒子到达探测板MN的时间最长，并求该粒子从O1点到探测板MN的时间；
(3)要使从AB入射的所有离子都可以到达探测板MN上，求探测板MN的最小长度L。
8．(2025·陕晋青宁卷)电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图(a)所示，圆筒足够长。在O点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为v0的电子，某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图(b)所示，当磁感应强度大小调至B0时，恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相互作用及其重力的影响。求：(R、v0、B0均为已知量)

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