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11.3 一元一次不等式组
一元一次不等式组（第1课时）
　某工程队用每小时可抽 30 t 水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水超过 1 200 t 而不足 1 500 t，求将污水抽完所用时间的范围．
　　分析：题中有两个必须同时满足的条件：抽出的污水要超过 1 200 t 且不足 1 500 t．
　　某工程队用每小时可抽 30 t 水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水超过 1 200 t 而不足 1 500 t，求将污水抽完所用时间的范围．
　　解：设用 x h 将污水抽完，则 x 同时满足不等式：
　　30x＞1 200，
　　30x＜1 500．
　　方程组中的未知数同时满足多个等式．
，
．
　　某工程队用每小时可抽 30 t 水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水超过 1 200 t 而不足 1 500 t，求将污水抽完所用时间的范围．
　　解：设用 x h 将污水抽完，则 x 同时满足不等式：
　　30x＞1 200，
　　30x＜1 500．
　　方程组中的未知数同时满足多个等式．
，
．
　　类似于方程组，把 30x＞1 200，30x＜1 500 这两个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组，记作
　　实际上，两个或更多的一元一次不等式合起来，都可以组成一个一元一次不等式组．
新知
，
．
　　怎样确定不等式组 　　　中 x 的取值范围呢？
问题
　　类比方程组的解，不等式组中的各不等式解集的公共部分，就是不等式组中 x 的取值范围．
，
　　解：由不等式①，解得 x＞40．
　　由不等式②，解得 x＜50．
　　把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
50
40
0
　　观察数轴，你能找出这两个不等式的解集的公共部分吗？
，
．
①
②
　　解：由不等式①，解得 x＞40．
　　由不等式②，解得 x＜50．
　　把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
50
40
0
　　所以不等式组中 x 的取值范围是 40＜x＜50．
　　这就是说，将污水抽完所用时间多于 40 h 而少于 50 h．
，
．
①
②
新知
　　一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集．
　　 “公共部分”是指解集中同时满足不等式组中每一个不等式的那部分解集．
　　如果不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，那么这个不等式组无解．
问题
　　利用数轴确定下列不等式组的解集：
　　（1）　　　　 （2）　　　　 （3）　　　　 （4）
　　解：（1）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
2
－1
0
①②
　　由图可知，不等式组的解集是 x＞2；
，
;
，
;
，
;
，
．
问题
　　利用数轴确定下列不等式组的解集：
　　（1）　　　　 （2）　　　　 （3）　　　　 （4）
　　解：（2）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
①②
　　由图可知，不等式组的解集是 x≤－3；
1
－3
0
，
;
，
;
，
;
，
．
问题
　　利用数轴确定下列不等式组的解集：
　　（1）　　　　 （2）　　　　 （3）　　　　 （4）
　　解：（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
①②
　　由图可知，不等式组的解集是 －1＜x≤3；
3
－1
0
，
;
，
;
，
;
，
．
问题
　　利用数轴确定下列不等式组的解集：
　　（1）　　　　 （2）　　　　 （3）　　　　 （4）
　　解：（4）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
①②
　　由图可以看到这两个不等式的解集没有公共部分，所以不等式组无解.
2
－1
0
，
;
，
;
，
;
，
．
　　一元一次不等式组的解集的四种情况：
x＞a
（1）
同大取大
a
b
x＜b
（2）
同小取小
b＜x＜a
（3）
大小小大中间找
无解
（4）
大大小小无处找
设 a＞b，则
a
b
a
b
a
b
，
，
，
，
　　解不等式组
问题
①②
　　解：解不等式①，得 x＞1．
　　解不等式②，得 x≤4．
　　把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
　　由图可知，不等式组的解集是 1＜x≤4．
4
1
0
，
．
问题
　　解一元一次不等式组的一般步骤是什么？
　　第 1 步：分别解出不等式组中各个不等式的解集．
　　第 2 步：在同一条数轴上表示出这几个不等式的解集，并找到它们的公共部分．
　　第 3 步：用表示不等关系的式子表示出公共部分，得到不等式组的解集；若无公共部分，则不等式组无解．
　　例1　下列不等式组：
　　其中是一元一次不等式组的有（　　）．
　　A．2个　　　　B．3个　　　　C．4个　　　　D．5个
　① 　② ③ ④ 　⑤
　　解析：根据一元一次不等式组的概念，知①②④都是一元一次不等式组；③含有同一个未知数，但未知数的最高次数是 2，⑤含有两个未知数，所以③⑤都不是一元一次不等式组．故共有 3 个一元一次不等式组．
B
，
;
，
;
;
;
，
，
，
．
　　判断一个不等式组是否为一元一次不等式组，要注意两方面：（1）看有没有唯一相同的未知数；（2）看每一个不等式是不是一元一次不等式．
总结
　　例2　解下列不等式组：
　　解：（1）解不等式①，得 x＞2．
　　解不等式②，得 x＞3．
　　把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
　　（1）　　　　　　　　　　（2）
　　所以不等式组的解集为 x＞3．
2
3
0
①②
，
;
，
．
　　所以不等式组无解．
　　（2）
8
0
　　解：（2）解不等式①，得 x≥8．　解不等式②，得 x＜ ．
　　把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
①②
，
．
　　解：解不等式①，得 x≤3．
　　解不等式②，得 x＞a．
　　因为该不等式组无解，
　　所以不等式①和②的解集在数轴上的表示如图所示（示意图）．
　　例3　已知关于 x 的不等式组 无解，求 a 的取值范围．
a
3
0
　　所以 a＞3．
，
　　当 a＝3 时，代入不等式组，得 x≤3，且 x＞3，
　　此时，不等式组也无解，满足题意，
　　所以 a 的取值范围为 a≥3．
　　当一元一次不等式（组）化简后未知数的系数中含有参数时，比较已知解集，列不等式（组）或方程（组）来确定参数的值或取值范围是一种常用的基本方法．
一元一次不等式组的解法
一元一次不等式组的概念
一元一次不等式组
一元一次不等式组的解集
一元一次不等式组（第2课时）
　　解一元一次不等式组的一般步骤是什么？
　　（1）分别解出不等式组中各个不等式的解集．
　　（2）在同一条数轴上表示出这几个不等式的解集，并找到它们的公共部分．
　　（3）用表示不等关系的式子表示出公共部分，得到不等式组的解集；若无公共部分，则不等式组无解．
　　x 取哪些整数值时，不等式 5x＋2＞3(x－1)与 x－1≤7－ x都成立？
　　分析：“都成立”说明 x 同时满足两个不等式，
问题
负整数，0，正整数
解集中的整数值．
，
．
　　x 取哪些整数值时，不等式 5x＋2＞3(x－1)与 x－1≤7－ x都成立？
问题
　　解：由题意，得
　　解不等式①，得 x＞－ ．
　　解不等式②，得 x≤4．
，
．
①
②
　　把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
4
－
0
　　由图可知，不等式组的解集是 － ＜x≤4．
　　思考：观察数轴，你能找出这个不等式组的解集内的整数解吗？
1
2
3
－1
－2
　　把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
4
－
0
　　由图可知，不等式组的解集是 － ＜x≤4．
　　所以 x 可取的整数值是 －2，－1，0，1，2，3，4．
1
2
3
－1
－2
　　要求不等式组的特殊解，先要求出不等式组的解集，然后在不等式组的解集中找出符合条件的特殊解（如正整数解、最小整数解等）．为了便于观察，还可以借助数轴来找特殊解．
总结
问题
　　有 2 条生产线计划在一个月（30天）内组装 520 台产品（每天的产品产量相同），按原来的组装速度，不能完成任务；若加班生产，则每条生产线每天多组装 2 台产品，能提前完成任务．每条生产线原来每天最多能组装多少台产品？
　　思考：你能从题目中得到哪些信息？
问题
　　有 2 条生产线计划在一个月（30天）内组装 520 台产品（每天的产品产量相同），按原来的组装速度，不能完成任务；若加班生产，则每条生产线每天多组装 2 台产品，能提前完成任务．每条生产线原来每天最多能组装多少台产品？
　　若在原来的组装速度上每条生产线每天增加 2 台，则 30 天组装的数量大于 520 台．
　　分析：按原来的组装速度，则 30 天组装的数量小于 520 台；
问题
　　有 2 条生产线计划在一个月（30天）内组装 520 台产品（每天的产品产量相同），按原来的组装速度，不能完成任务；若加班生产，则每条生产线每天多组装 2 台产品，能提前完成任务．每条生产线原来每天最多能组装多少台产品？
　　思考：你能根据问题中的不等关系列出一元一次不等式吗？
　　解：设每条生产线原来每天组装 x 台产品，则加班生产后每条生产线每天组装(x＋2)台产品．
　　由题意，得
　　解得 ＜x＜ ．
　　思考：你能给出一个合理化的答案吗？
，
．
　　解：设每条生产线原来每天组装 x 台产品，则加班生产后每条生产线每天组装(x＋2)台产品．
　　解得 ＜x＜ ．
　　因为 x 只能取正整数，
　　所以 x＝7 或 x＝8．
　　所以 x 最大为 8．
　　答：每条生产线原来每天最多能组装 8 台产品．
　　由题意，得
，
．
思考
　　列一元一次不等式组解决实际问题的一般步骤是什么？
　　（1）审，弄清题中的已知量、未知量，找出题中的两个不等关系．
　　（2）设，设出适当的未知数．
　　（3）列，根据两个不等关系分别列出不等式，从而得到不等式组．
　　（4）解，解不等式组．
　　（5）验，检验解（或解集）是否符合实际意义．
　　（6）答，写出答案．
　　例1　解不等式组 并求出它的整数解的和．
　　解：解不等式①，得 x＜3．　解不等式②，得 x≥－4．
　　把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
3
0
－4
　　由图可知，不等式组的解集是 －4≤x＜3．
　　所以这个不等式组的整数解有－4，－3，－2，－1，0，1，2．
　　所以这个不等式组的整数解的和是－4－3－2－1＋0＋1＋2＝－7．
，
．
①
②
　　例2　某商店需要购进甲、乙两种商品共 120 件，其进价和售价如下表：（注：获利＝售价－进价）
　　（1）若商店计划销售完这批商品后能获利 1 000 元，则甲、乙两种商品应分别购进多少件？
商品 甲 乙
进价/(元/件) 15 35
售价/(元/件) 20 45
　　分析：（1）若设甲种商品应购进 x 件，乙种商品应购进 y 件，则有_____________；由所给表可知，甲的每件利润是______，甲的总利润是______，乙的每件利润是______，乙的总利润是______．
x＋y＝120
　　解：（1）设甲种商品应购进 x 件，乙种商品应购进 y 件．
　　由题意，得
　　解得
　　答：甲种商品购进 40 件，乙种商品购进 80 件．
5
5x
10
10y
，
．
，
，
　　例2　某商店需要购进甲、乙两种商品共120件，其进价和售价如下表：（注：获利＝售价－进价）
　　（2）若商店计划投入资金少于 4 000 元，且销售完这批商品后获利多于 1 135 元，求有哪几种购货方案，并指出获利最大的购货方案．
甲 乙
进价/(元/件) 15 35
售价/(元/件) 20 45
　　分析：（2）如果设甲种商品购进 a 件，那么乙种商品购进_________件，购进需要的资金是______________________元，获得的利润是______________________元，根据题目条件得到不等式组求解即可．
(120－a)
[15a＋35(120－a)]
[5a＋10(120－a)]
　　解：（2）设甲种商品购进 a 件，则乙种商品购进(120－a)件．
　　由题意，得
　　解不等式组，得 10＜a＜13．
，
．
　　因为 a 为非负整数，
　　所以 a 取11，12．
　　所以有 2 种购货方案：
　　方案 1：甲种商品购进 11 件，乙种商品购进 109 件，利润是5×11＋10×109＝1 145（元）．
　　方案 2：甲种商品购进 12 件，乙种商品购进 108 件，利润是5×12＋10×108＝1 140（元）．
　　答：有 2 种购货方案，其中获利最大的方案是甲种商品购进 11 件，乙种商品购进 109 件． 　　
一元一次不等式组的实际应用
一元一次不等式组的特殊解
一元一次不等式组的应用

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