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三角形的证明 单元全优达标检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设一个凸多边形，除去一个内角以外，其他内角的和为2570°，则该内角为（　　）.
A．40° B．90° C．120° D．130°
2．如图， ， ， ，则 的度数为（　　）
A．28 B．38 C．48 D．88
3．如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（　　）
A．24° B．25° C．30° D．36°
4．如图，平面镜MN放置在水平地面CD 上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点在PD上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，点E在AB上，AC与DE相交于点F，△ABC≌△DEC，∠A＝20°，∠B＝∠CEB=65°.则∠DFA的度数为（　　）
A．65° B．70° C．85° D．110°
6．如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接并延长交于点G．则的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，中，，，点D 是的角平分线的交点，则点D到的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
8． 如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交于点D，连结，若，，则下列结论中错误的是（　　）
A． B．
C． D．点D为的外心
9．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EM+CM的最小值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，D、E为等边边、上的点，连结，和的角平分线恰好过边上同一点F．若要知道的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于O，过点O作MN // BC，分别交AB、AC于点M、N.已知AB=5，AC=4，则△AMN的周长为　 　.
12．如图，点P关于OA、OB的对称点分别是H、G，线段HG交OP于点C， ， ，则 　 　.
　
13．一个多边形的每一个内角都是 ，则这个多边形的内角和等于　 　度
14．如图， ， 的平分线相交于点 ，过点 作 ，交 于 ，交 于 ，那么下列结论：① ， 都是等腰三角形；② ；③ 的周长为 ；④ ．其中正确的是　 　．
15．在△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，若AB=8cm，则BC=　 　cm.
16．如图，△ABC中，AB＝AC，点E在AB的延长线上，点D在边AC上，且EB＝CD＝4，线段DE交边BC于点F，过点F作FG⊥DE交线段CE于点G，CE⊥AC，△GEF的面积为5，则EG的长　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，四边形 中， 是对角线， ．
（1）求证： ；
（2）判断 的形状并说明．
18． 如图，已知OC平分∠AOB，点E，F分别在边OA，OB上，且EC=FC.
（1）若∠AOB=60°，求∠ECF的度数；
（2）若OE=2，OF=8，EC=5，求OC的长.
19．如图，点，分别在，上，，，相交于点，．
求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵，
∴．
∵，
∴．第一步
又，，
∴第二步
∴第三步
（1）小虎同学的证明过程中，第　 　步出现错误；
（2）请写出正确的证明过程．
20．如图，在△ABC中，AD，AE，AF分别是△ABC的高、角平分线、中线。
（1）若△ABC的面积为6，则△ABF的面积为　 　.
（2）当∠B=30°，∠C=45°时，求∠DAE的度数。
21．如图，ABC与AEDC都是等边三角形，D为AB边上的一点.
（1）求证：；
（2）若，求DE的长度.
22．已知等边三角形，点在直线上，连接，点在射线上，连接，且，
（1）如图1，当点在边上时，过点作交于点，求证：；若，，求的长；
（2）如图2，点在的延长线上，将以直线为对称轴折叠得到，连接，（k为常数），求的值（用含k式子表示）．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点
（1）求m的值和一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）在轴上是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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三角形的证明 单元全优达标检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设一个凸多边形，除去一个内角以外，其他内角的和为2570°，则该内角为（　　）.
A．40° B．90° C．120° D．130°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵2570°÷180°=14…50°，
∴该内角应是180°-50°=130°.
故答案为：D.
【分析】根据n边形的内角和公式，则内角和应是180°的倍数，且每一个内角应大于0°而小于180度，根据这些条件进行分析求解即可.
2．如图， ， ， ，则 的度数为（　　）
A．28 B．38 C．48 D．88
【答案】C
【解析】【解答】解：设BE与CD交于点O，如图
∵AB∥CD
∴∠COE=∠B=68°
则∠D=∠COE－∠E=68°－20°=48°
故答案为：C.
【分析】设BE与CD交于点O，利用平行线的性质可求出∠COE的度数，然后利用三角形的外角的性质，可求出∠D的度数.
3．如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（　　）
A．24° B．25° C．30° D．36°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠A＝20°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣20°＝160°，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，
∴∠D1BC+∠D1CB＝80°，
由题意得，∴∠D2BC+∠D2CB＝80°+40°＝120°，
∴∠D3BC+∠D3CB＝120°+20°＝140°，
∴∠D4BC+∠D4CB＝140°+10°＝150°，
∴∠D5BC+∠D5CB＝150°+5°＝155°，
∴∠BD5C＝180°﹣155°＝25°.
故答案为：B.
【分析】 根据题意可得∠ABC＋∠ACB＝160°，BD1，CD1，CD2，BD2…BDn，CDn是角平分线，可得∠ABDn＋∠ACDn＝160×（）n，可求∠BCDn＋∠CBDn的值，再根据三角形内角和定理可求解．
4．如图，平面镜MN放置在水平地面CD 上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点在PD上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠AOC=35°，
∴∠BOD=∠AOC=35°，
∵PD⊥CD，
∴∠ODB=90°，
∵∠OBD+∠ODB+∠BOD=180°，
∴∠OBD+90°+35°=180°，
解得∠OBD=55°．
故答案为：C.
【分析】先根据光反射的意义求出∠BOD，根据的垂直的意义和三角形的内角和定理求出∠OBD.
5．如图，点E在AB上，AC与DE相交于点F，△ABC≌△DEC，∠A＝20°，∠B＝∠CEB=65°.则∠DFA的度数为（　　）
A．65° B．70° C．85° D．110°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∠CEB=∠B=65°，
∴∠DEC=∠B=65°
∴∠DEA=180°-∠CEB-∠DEC=50°，
∴∠DFA=∠A+∠DEA=50°+20°=70°.
故答案为：B.
【分析】由全等三角形性质得∠DEC=∠B=65°，由平角的定义得∠DEA=180°-∠CEB-∠DEC=50°，由外角的性质可得∠DFA=∠A+∠DEA计算即可.
6．如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接并延长交于点G．则的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得GD平分∠CDA，
∴∠GDC=∠GDA，
∵，
∴∠DGC=∠GDA，
∴∠DGC=∠GDC，
∴DC=GC=3，
∴BG=5-3=2，
故答案为：A
【分析】先根据角平分线的性质即可得到∠GDC=∠GDA，进而根据平行线的性质得到∠DGC=∠GDA，从而得到∠DGC=∠GDC，再根据等腰三角形的性质即可得到DC=GC=3，进而即可求解。
7．如图，中，，，点D 是的角平分线的交点，则点D到的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作作、、分别垂直于，、，垂足分别为E、F、G，连接
与的角平分线交于点D，
，
∴
∴，
，
∴，
∴点D到的距离为1，
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的性质得出，再根据等面积法计算即可.
8． 如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交于点D，连结，若，，则下列结论中错误的是（　　）
A． B．
C． D．点D为的外心
【答案】C
【解析】【解答】解：∵由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD，∠B=∠BCD，
∵∠B=25°，
∴∠B=∠BCD=25°，
∴∠CDA=25°+25°=50°，
∵CD=AD，
∴
∴B正确，C错误；
∵CD=AD，BD=CD
∴CD=AD=BD
∴点D为△ABC的外心，故D正确；
∵∠ACD=65°，∠BCD=25°，
∴∠ACB=65°+25°=90°，故A正确；
故答案为：C.
【分析】由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，故BN=CN，∠B=∠C，故可得出∠CDA的度数，根据CD=AD可知∠DCA=∠CAD，故可得出∠CAD的度数，进而可得出结论.
9．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EM+CM的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】如图，连接BE交AD于一点M‘，连接CM’，BM，作BH⊥AC，
∵△ABC为等边三角形，
∴AD为垂直平分BC，
∴BE=BM'+M'E=BM'+M'C，
∵BE＜BM+ME=MC+ME，
∴EM+CM的最小值为BE，
∵EH=AH-AE=3-2=1，
BH=
∴BE=.
故答案为：C.
【分析】连接BE交AD于一点M‘，连接CM’，BM，作BH⊥AC，先根据垂直平分线的性质，再结合三角形三边的关系求出 EM+CM最小时M的位置，即当B、M、E三点共线时，EM+CM长最短，最后利用勾股定理求出BE的长，则EM+CM长可求.
10．如图，D、E为等边边、上的点，连结，和的角平分线恰好过边上同一点F．若要知道的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过作交于，交于，交于，连接，则，
∵和的角平分线交于点，
∴，
∴平分，，，
∴，，
∴的周长，
∵等边，
∴，，
设，
∵平分，，
∴，
在中，，则，
∴，
同理可得，，
∴的周长，
∵的周长，
∴的周长是的周长的两倍，
∴若要知道的周长，只需要知道的周长，
故选：B．
【分析】由角平分线的性质和判定定理知，点F既是和角平分线的交点，同时也在的角平分线上，则可证明的周长恰好是周长的一半。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于O，过点O作MN // BC，分别交AB、AC于点M、N.已知AB=5，AC=4，则△AMN的周长为　 　.
【答案】9
【解析】【解答】解：∵BO平分∠ABC，
∴∠MBO＝∠CBO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠CBO，
∴∠MOB＝∠MBO，
∴OM＝BM，
同理CN＝NO，
∴BM＋CN＝MN，
∴△AMN的周长是AN＋MN＋AM＝AN＋CN＋AM＋BM＝AB＋AC＝5＋4＝9.
故答案为：9.
【分析】根据角平分线性质和平行线的性质推出∠MOB＝∠MBO，根据等角对等边推出BM＝OM，同理CN＝ON，代入三角形周长公式求出即可.
12．如图，点P关于OA、OB的对称点分别是H、G，线段HG交OP于点C， ， ，则 　 　.
　
【答案】10
【解析】【解答】解：连接OH，OG.
点P关于OA、OB的对称点分别是H、G，
， ， ， ，
，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为10.
【分析】利用轴对称的性质证明 是等边三角形即可解决问题.
13．一个多边形的每一个内角都是 ，则这个多边形的内角和等于　 　度
【答案】720
【解析】【解答】解：多边形的边数是：n=360÷（180-120）=6，
则内角和是：（6-2） 180=720°.
故答案为：720.
【分析】要求这个多边形内角和就要先求出多边形的边数.已知每一个内角都等于120°就可以知道每个外角是60度，根据多边形的外角和是360度就可以求出多边形的边数，从而求出内角和.
14．如图， ， 的平分线相交于点 ，过点 作 ，交 于 ，交 于 ，那么下列结论：① ， 都是等腰三角形；② ；③ 的周长为 ；④ ．其中正确的是　 　．
【答案】①②③
【解析】【解答】解：①∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABF=∠CBF
又∵DE//BC
∴∠CBF=∠DFB
∴∠ABF=∠DFB
∴DB=DF，即△BDF是等腰三角形，
同理可得 是等腰三角形，故①符合题意；
②∵△BDF是等腰三角形，
∴DB=DF
同理：EF=EC
∴DE=DF+EF=BD+CE，故②符合题意；
③∵DF=BD，EF=EC
∴ 的周长为AD+DE+AE=AD+DF+AE+EF= AD+BD+AE+CE=AB+AC，故③符合题意；
④无法判断BD=CE，故④不符合题意．
故答案为①②③．
【分析】根据等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形的内角和定理，求出答案即可。
15．在△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，若AB=8cm，则BC=　 　cm.
【答案】4
【解析】【解答】解：∵AB=AC=8cm
∴BC=20－8－8=4cm
故答案为：4
【分析】根据周长公式计算BC即可.
16．如图，△ABC中，AB＝AC，点E在AB的延长线上，点D在边AC上，且EB＝CD＝4，线段DE交边BC于点F，过点F作FG⊥DE交线段CE于点G，CE⊥AC，△GEF的面积为5，则EG的长　 　.
【答案】5
【解析】【解答】解：过D作 交BC于H，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中
∴ （AAS），
∴ ，
延长GC到M，使 ，连接DM，DG，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为：5.
【分析】过D作 交BC于H，证明（AAS），得，延长GC到M，使 ，连接DM，DG，先求出△DEM的面积为20，利用
=20，据此求出EM即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，四边形 中， 是对角线， ．
（1）求证： ；
（2）判断 的形状并说明．
【答案】（1）证明：在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS）；
（2）解：∵△ABC≌△ADC，
∴BC=DC，
∴△BCD是等腰三角形．
【解析】【分析】（1）利用SAS证明三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质求出 BC=DC， 再求解即可。
18． 如图，已知OC平分∠AOB，点E，F分别在边OA，OB上，且EC=FC.
（1）若∠AOB=60°，求∠ECF的度数；
（2）若OE=2，OF=8，EC=5，求OC的长.
【答案】（1）解：
如图，过C点作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N，
∴∠OMC=∠ONC=90°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=30°，CM=CN，
∴∠MCO=∠NCO=60°，
又EC=FC，
∴△MEC≌△NFC（HL），
∴∠MCE=∠NCF，
∴∠ECF=∠ECN+∠NCF=∠ECN+∠MCE=∠MCO+∠NCO=120°.
（2）解：由（1）知 ME=NF，
又∠OMC=∠ONC，∠AOC=∠BOC，OC=OC，
∴△MOC≌△NOC（AAS），
∴OM=ON，
∴OE+ME=OF-NF
∴ME=NF=3，
∴OM=OE+ME=5，
由勾股定理知：MC===4，
OC===.
【解析】【分析】⑴根据角平分线的定义及性质得△MEC≌△NFC，从而得∠MCE=∠NCF，再根据角的和差转化得 ∠ECF的度数 .
⑵先证明△MOC≌△NOC得OM=ON，再根据线段和差转化得ME，OM得长，最后根据勾股定理计算出MC，OC的长即可.
19．如图，点，分别在，上，，，相交于点，．
求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵，
∴．
∵，
∴．第一步
又，，
∴第二步
∴第三步
（1）小虎同学的证明过程中，第　 　步出现错误；
（2）请写出正确的证明过程．
【答案】（1）二
（2）证明：∵，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【解析】【解答】解：（1）∵SSA不能证明两三角形全等，
∴小虎同学的证明过程中，第二步出现错误.
故答案为：二.
【分析】（1）由证明过程可知SSA不能证明两三角形全等，即可作出判断.
（2）利用邻补角的定义可知∠BDC=∠CEB，利用AAS证明△DOB≌△EOC，利用全等三角形的对应边相等可证得OD=OE，再利用HL证明△ADO≌△AEO，利用全等三角形的性质可证得结论.
20．如图，在△ABC中，AD，AE，AF分别是△ABC的高、角平分线、中线。
（1）若△ABC的面积为6，则△ABF的面积为　 　.
（2）当∠B=30°，∠C=45°时，求∠DAE的度数。
【答案】（1）3
（2）解：∵，，
∴．
∵平分，
∴．
∵，，
∴，
∴
【解析】【解答】解：（1）解：∵是的中线，且的面积为6，
∴的面积为，
故答案为：3.
【分析】⑴根据三角形中线平分三角形面积作答.
⑵根据三角形内角和定理知∠BAC的度数，再根据角平分线定义知∠CAE的度数，最后根据直角三角形两锐角互余求 ∠DAE的度数 .
21．如图，ABC与AEDC都是等边三角形，D为AB边上的一点.
（1）求证：；
（2）若，求DE的长度.
【答案】（1）证明： 与 都是等边三角形，
，
，

（2）解：过点 作 ， 垂足为 ，
由勾股定理可得：
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明即可解题；
（2）过点 作 ， 垂足为 ，然后根据30°的直角三角形的性质得到BH=，然后利用勾股定理解题即可.
22．已知等边三角形，点在直线上，连接，点在射线上，连接，且，
（1）如图1，当点在边上时，过点作交于点，求证：；若，，求的长；
（2）如图2，点在的延长线上，将以直线为对称轴折叠得到，连接，（k为常数），求的值（用含k式子表示）．
【答案】（1）解：三角形是等边三角形
，
三角形为等边三角形
即
是外角
∴在，中
设，，
，
，
，
过点作于点，
在中，，
，，
，
在中，，
即，解得，
．
（2）解：连接，作，交延长线于点，如图所示，
与关于直线对称，
，
，
三角形是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，且
为等边三角形，
，
，
在，中，
，
，
令，
，
，
在中，
，，
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明两三角形全等即可；过点作于点，设FA=x，即可得到FC=3x，然后根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出CG和GF长，再在中利用勾股定理列方程求出x的值解答即可；（2）：连接，作，交延长线于点，根据对称得到，进而证明△DFE和△AEC是等边三角形，然后得到△FAE≌△DCE，即可得到DC=AF，然后设AC=x，然后再在中利用勾股定理求出DE长，然后求比值即可解答.
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点
（1）求m的值和一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）在轴上是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵正比例函数过，，
解得：，
，
设一次函数解析式为，且过A、C，得：
解得
∴一次函数解析式为：．
（2）解：由（1）可知，，
的面积为：．
（3），，，
【解析】【解析】解：（3）由（1），，，，
，
情况一：当底是时，如图：
，
；
情况二：当底是时，如图：
M在A右侧，，
，
，
M 在A左侧，，
，
，
情况三、当底是时，如图：
，
，
，
，
解得：，
，
综上所述：，，，．
【分析】
（1）根据正比例函数过，可得m，再根据待定系数法求得一次函数解析式即可；
（2）先由一次函数解析式求出B点坐标，然后利用三角形面积公式直接求解；
（3）根据A、B坐标，求出，然后分三种情况：分别是，，为底，由腰长相等即可求解．
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