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四边形 单元综合巩固练习卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论一定正确的是（　　）
A．AC⊥BD B．∠A+∠B=180°
C．AB=AD D．∠A+∠C=180°
2．一个多边形的每个外角都等于36°，则这个多边形的边数是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．如图，过矩形 的对角线 的中点 作 ，交 边于点 ，交 边于点 ，分别连接 、 .若 ， ，则 的长为（　　）
A． B． C． D．
4．在四边形中，，，添加下列条件后仍然不能推得四边形为菱形的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm.则EF的长是（　　）
A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm
6．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，连结AE 并延长，交 BC的延长线于点F，连结 BD，DF，则图中全等的直角三角形共有 （　　）
A．3对 B．4对 C．5 对 D．6对
8．如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交AD、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠DAB内部交于点P，作射线AP，交CD于点E，连结BE．若AB=7，AD=4，则BE的长度是（　　）
A． B．4 C．5 D．3
9．如图，在四边形中，，，，点G为上一点，，且平分，点E为中点，下面结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．将一个边长为4的正方形 分割成如图所示的9部分，其中 ， ， ， 全等， ， ， ， 也全等，中间小正方形 的面积与 面积相等，且 是以 为底的等腰三角形，则 的面积为（　　）
A．2 B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　 　．
12．已知正边形的一个内角为，则边数的值是　 　．
13．如图，在 中， ，点 是 上的一个动点，以 为对角线的所有 中， 最小的值是　 　.
14．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D＝　 　．
15．四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠B=80O,则∠D=　 　度．
16．如图， 在边长为 6 的正方形 内作 交 于点 交 于点 ， 连结 ， 将 绕点 顺时针旋转 得到 ， 若 ， 则 的长为　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在中，为边的中点，请用尺规作图法求作线段，使得点E在上，，且.（保留作图痕迹，不写作法）
18．如图，四边形的对角线相交于点O，其中平分，E为的中点，连接，
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的度数．
19．已知四边形是平行四边形，为对角线，分别在图①、图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写做法）.
图① 图②
（1）如图①，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出另一点Q，使；
（2）如图②，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出一点Q，使.
20．如图，正方形的边长为4，E是CD上一点，且DE=CD，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得△DCF．
（1）求CF的长；
（2）求DF的长；
（3）延长BE交DF于G点，试判断直线BG与DF的位置关系，并说明理由．
21．如图，平行四边形中，点E，F分别在边上，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，平分，求的长．
22．转化是一种重要的数学思想方法，化未知为已知，化陌生为熟悉，请你运用这种思想方法解决如下问题．
（1）叙述三角形中位线定理，并运用平行四边形的知识证明；
（2）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E，F分别是AB，CD的中点，求证：EF＝（AD＋BC）．
23． 如图，矩形中，，，点是对角线的中点，过点的直线分别交边于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，求的长．
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四边形 单元综合巩固练习卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论一定正确的是（　　）
A．AC⊥BD B．∠A+∠B=180°
C．AB=AD D．∠A+∠C=180°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，∠A=∠C，
∴∠A+∠B=180°．
故一定正确的是B．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质判断.平行四边形的对边相等且平行；对角相等.
2．一个多边形的每个外角都等于36°，则这个多边形的边数是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 一个多边形的每个外角都等于36°，
∴这个多边形的边数是360°÷36=10.
故答案为：B.
【分析】由于任何多边形的外角和都是360°，而此多边形的每一个外角都等于36°，故用外角和的总度数除以一个外角的度数即可求出该多边形的边数.
3．如图，过矩形 的对角线 的中点 作 ，交 边于点 ，交 边于点 ，分别连接 、 .若 ， ，则 的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图：∵矩形对边AD//BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵O是AC的中点，
∴AO=CO，
在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌ACOE（ASA），
∴OE=OF，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形，
∵∠DCF=30°，
∴.∠ECF=90°-30°=60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=CF，
∵AB= ，
∴CD=AB= ，
∵∠DCF=30°，
∴
∴EF=2，
故答案为：A.
【分析】首先利用ASA判断出△AOF≌ACOE，根据全等三角形的对应边相等得出OE=OF，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得出四边形AECF是菱形，进而判断出△CEF是等边三角形，根据等边三角形的三边相等得出EF=CF，最后根据含30°直角三角形的边之间的关系算出CF的长，得出答案。
4．在四边形中，，，添加下列条件后仍然不能推得四边形为菱形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、添加，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴是菱形，∴A不符合题意；
B、添加，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴是菱形，∴B不符合题意；
C、添加，∵，∴，不能得出四边形是菱形，∴C符合题意；
D、添加，∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴是菱形，∴D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）分析求解即可.
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm.则EF的长是（　　）
A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm
【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
∴由勾股定理得：AC＝ ＝ ＝10（cm），
∴BD＝10cm，DO＝5cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF＝ OD＝2.5cm.
故答案为：D.
【分析】根据矩形的性质可得∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，利用勾股定理可得AC，然后求出BD、DO，易得EF是△AOD的中位线，则EF＝OD，据此计算.
6．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=OD=OB，
∵，，
∴AC=
∴BD=10cm，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴．
故选：D．
【分析】根据矩形的性质，利用勾股定理求出BD的长，即可得到OD的长，根据三角形中位线定理解答即可．
7．如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，连结AE 并延长，交 BC的延长线于点F，连结 BD，DF，则图中全等的直角三角形共有 （　　）
A．3对 B．4对 C．5 对 D．6对
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AD＝BC，AB＝CD，∠ADC＝∠BCD＝∠BAD=∠DCF=90°
又∵BD＝BD
∴△ABD≌△CDB（SSS）
∵E是CD的中点
∴DE＝CE
∵∠ADC＝∠FCD，DE＝CE，∠AED＝∠FEC
∴△ADE≌△FCE（ASA）
∴AD＝FC＝BC
∵BC＝FC，∠BCD＝∠DCF＝90°，DC＝DC
∴△BCD≌△FCD（SAS）
∴△ABD≌△CDF
综上所述，一共有4对全等三角形.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质得AD＝BC，AB＝CD，∠ADC＝∠BCD＝∠BAD=∠DCF=90°，从而由SSS判断出△ABD≌△CDB，由ASA判断出△ADE≌△FCE，得AD＝FC＝BC，再由SAS判断出△BCD≌△FCD，根据即可得出△ABD≌△CDF，综上即可得出答案.
8．如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交AD、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠DAB内部交于点P，作射线AP，交CD于点E，连结BE．若AB=7，AD=4，则BE的长度是（　　）
A． B．4 C．5 D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，
，，，，
由作图可知，AE平分，
，
∵，
，
，
，
，
在中，，
故答案为：C．
【分析】先求出，，再利用勾股定理求出BE的长即可。
9．如图，在四边形中，，，，点G为上一点，，且平分，点E为中点，下面结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴四边形ABGD是平行四边形，∠ADB＝∠CBD，∠ADC＝180°－∠BCD＝90°，
∵ ，
∴四边形ABGD是菱形，
∴BG＝DG＝2，
∴∠BDG＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠BDG＝∠CBD，
∵ 平分 ，
∴∠CDG＝∠BDG，
∴∠CDG＝∠BDG＝∠ADB＝∠CBD＝ ∠ADC＝30°，∠BDC＝60°，
∵ ，
∴△BCD是直角三角形，
∴ ，故①符合题意，
∵∠CDG＝30°，
∴CG＝ DG＝1，
∴CD＝ ，故②不符合题意，
∵ ， ，
∴ ，故③符合题意．
∵点E为 中点，
∴CE＝BE＝DE＝ BD，
∵∠BDC＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∵ 平分 ，
∴ ，故④符合题意，
综上，正确的有①③④，
故答案为：C
【分析】利用菱形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积公式等计算求解即可。
10．将一个边长为4的正方形 分割成如图所示的9部分，其中 ， ， ， 全等， ， ， ， 也全等，中间小正方形 的面积与 面积相等，且 是以 为底的等腰三角形，则 的面积为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】如图，连接EG并延长分别交AB于M，交CD于N，设ME=GN=x，EG=y，
∴ME+EG+GN=MN=AD，即得2x+y=4①，
∵△ABE与正方形EHGF的面积相等，∴AB·ME=EN2，即得4x=y2②，
联立①②解得x=1，y=2，
∴△ABE的面积：AB·ME=×4×1=2，
∴阴影部分的面积：5×2=10，
∴△AEH的面积=（4×4-10）÷4=.
故答案为：C.
【分析】如图，连接EG并延长分别交AB于M，交CD于N，设ME=GN=x，EG=y，由ME+EG+GN=MN，可得2x+y=4①，由△ABE与正方形EHGF的面积相等，可得4x=y2②，联立①②，求出x，y的值，从而求出△ABE的面积，由△AEH的面积=(正方形的面积-阴影部分的面积)即得结论.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　 　．
【答案】540°
【解析】【解答】解：连接ED，
∵∠A+∠B=180°-∠AOB，∠BED+∠ADE=180°-∠DOE，∠AOB=∠DOE，
∴∠A+∠B=∠BED+∠ADE，
∵∠CDE+∠DEF+∠C+∠F+∠G=(5-2) ×180°=540°，
即∠CDO+∠ADE+BED+∠BEF+∠C+∠F+∠G=540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠CDO+∠BEF+∠F+∠G=540°．
故答案为：540°．
【分析】连接ED，由三角形内角和可得∠A+∠B=∠BED+∠ADE，再由五边形的内角和定理得出进而计算即可.
12．已知正边形的一个内角为，则边数的值是　 　．
【答案】8
【解析】【解答】解：∵正n边形的一个内角为135°，n边形的一个外角为180°-135°=45°，n=360°÷45°=8.
故答案为：8.
【分析】根据多边形的相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数，再根据多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数进行计算即可得解。
13．如图，在 中， ，点 是 上的一个动点，以 为对角线的所有 中， 最小的值是　 　.
【答案】3
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴BC⊥AB.
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴2OD=DE，OA=OC.
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC.
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD= AB=1.5，
∴ED=2OD=3.
故答案为：3.
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，得出OD=OE，OA=OC.当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC.根据三角形的中位线定理即可得出OD= AB=1.5，进而由ED=2OD得出答案。
14．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D＝　 　．
【答案】225°
【解析】【解答】解：连接AD，BC，
在四边形ABCD中，∠DAE+∠EAB＋∠ABF＋∠FBC＋∠DCF+∠BCF+∠CDE+∠ADE＝360°，
∵∠DEA=105°，∠BFC=120°，
∴∠DAE+∠ADE=180°-105°=75°，∠FBC+∠BCF=180°-120°=60°，
∴∠EAB＋∠ABF＋∠DCF+∠CDE＝360°-75°-60°=225°.
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝225.
故答案为：225°.
【分析】连接AD，BC，利用四边形的内角和为360°，可得到∠DAE+∠EAB＋∠ABF＋∠FBC＋∠DCF+∠BCF+∠CDE+∠ADE＝360°，利用三角形的内角和定理可求出∠DAE+∠ADE=75°，∠FBC+∠BCF=60°，代入计算求出∠EAB＋∠ABF＋∠DCF+∠CDE的度数.
15．四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠B=80O,则∠D=　 　度．
【答案】100
【解析】【解答】由已知得∠A+∠C=180°，又∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴∠B+∠D=180°，∵∠B=80°，∴∠D=100°.
故答案为：100°.
【分析】依据四边形的内角和为360°求解即可.
16．如图， 在边长为 6 的正方形 内作 交 于点 交 于点 ， 连结 ， 将 绕点 顺时针旋转 得到 ， 若 ， 则 的长为　 　.
【答案】2
【解析】【解答】解：如图所示，∵△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
∴△ADF≌△ABG ， ∠GAF =90°，
∴AF= AG， ∠ABG =∠ADF，
∵在正方形ABCD中，∠ADF=∠ABC =90°，
∴∠ABG=90°，
∴∠GBC =∠ABG+∠ABC =90°+90°=180°
∴点G、B、E在同一直线上，
∵，AE=AE，
∴△EAG≌△EAF(SAS)，
∴GE=FE，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = BC = DC = AD =6，
∵DF=3，
∴FC = DC﹣DF=6﹣3=3，
设BE =x，
∵BG =DF =3， BC =6，
∴GE=GB+BE=3+x=EF，
EC=BC--BE=6-x，
∴在Rt△ECF中， 根据勾股定理 ，
即 ，
解得： x = 2，
∴BE的长为2，
故答案为：2.
【分析】由旋转可得△ADF≌△ABG ，然后证明△EAG≌△EAF(SAS)，即可得到GE=FE，然后设BE =x，根据勾股定理得到，解方程即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在中，为边的中点，请用尺规作图法求作线段，使得点E在上，，且.（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，
∴作出边AC的中点E，连接DE，则线段DE即为所求的线段，如图所示：
【解析】【分析】作出边AC的中点E，连接DE，根据三角形的中位线定理可知线段DE即为所求的线段.
18．如图，四边形的对角线相交于点O，其中平分，E为的中点，连接，
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，∴四边形是平行四边形，
，
∵平分，
∴ ，
∴，
∴，
∴四边形是菱形
（2）解：由（1）知，四边形是菱形，∴，
∴ ，
∵E为的中点，
∴，
∴．
【解析】【分析】
（1）由于AD平行于BC，AB平行于CD，根据平行四边形的判定可得四边形ABCD是平行四边形，进而可得∠ADB=∠CBD。又因为BD平分∠ADC，根据角平分线的定义可得∠ADB=∠CDB。因此，∠CBD=∠CDB，所以CB=CD。因此，平行四边形ABCD是菱形。；
（2）由于四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可得∠DAC=∠BAC=50°，OA=OC。又因为E为CD的中点，所以OE平行于AD，所以∠COE=∠DAC=50°．
19．已知四边形是平行四边形，为对角线，分别在图①、图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写做法）.
图① 图②
（1）如图①，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出另一点Q，使；
（2）如图②，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出一点Q，使.
【答案】（1）解：如图，点Q即为所求作.
（2）解：如图，点Q即为所求作.
【解析】【分析】(1) 连接AC，交BD于O，连接PO并延长交DC于Q，根据平行四边形的定义和性质，对边平行形成的内错角相等、对角线互相平分、对顶角相等找到AP和CQ所在的三角形全等条件，故AP=CQ；(2)连接AC，交BD于O，连接AP延长交BC于E，连接EO延长交AD于F，连接FC，交BD于Q.同(1)一样原理，通过平行四边形性质找到全等条件，证明线段所在的三角形全等。
20．如图，正方形的边长为4，E是CD上一点，且DE=CD，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得△DCF．
（1）求CF的长；
（2）求DF的长；
（3）延长BE交DF于G点，试判断直线BG与DF的位置关系，并说明理由．
【答案】解：（1）根据旋转的性质可知△BCE≌△DCF，
∴CE=CF，
∵DE=CD，
∴CE=CF=3，
（2）在Rt△DCF中，
DC=4，CF=3，
∴DF==5．
（3）∵∠BEC=∠DEG，∠CBE=∠GDE，
∴△BCE∽△DEG，
∴∠BCE=∠DGB=90°，
∴BG⊥CF．
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，△BCE≌△DCF，故知CE=CF，
（2）在Rt△DCF中可以解出DF，
（3）根据∠BEC=∠DEG，∠CBE=∠GDE，可以证明△BCE∽△DEG，故可得∠BCE=∠DGB=90°．
21．如图，平行四边形中，点E，F分别在边上，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，平分，求的长．
【答案】（1）证明：平行四边形，
，，
又，
，
即，
，
四边形为平行四边形，
又，
四边形 是矩形．
（2）解：平分，
，
，
，
，
，
在中，
，，，
，
，
．
【解析】【分析】（1）先证出四边形为平行四边形，再结合，即可得到四边形 是矩形；
（2）先利用角平分线的定义及角的运算求出，再利用含30°角的直角三角形的性质求出，再利用线段的和差求出即可.
22．转化是一种重要的数学思想方法，化未知为已知，化陌生为熟悉，请你运用这种思想方法解决如下问题．
（1）叙述三角形中位线定理，并运用平行四边形的知识证明；
（2）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E，F分别是AB，CD的中点，求证：EF＝（AD＋BC）．
【答案】（1）解：三角形中位线定理：三角形的中线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一
半．
如图，D，E别是△ABC的边AB，AC的中点，
求证：DE//BC，且DE＝BC．
证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，
∵AE＝EC，DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴CF//DA且CF＝DA，
∴CF//BD且CF＝BD，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF//BC且DF＝BC，
又DE＝DF，
∴DE//BC，且DE＝BC；
（2）证明：如图，连接AF，并延长交BC的延长线于点G，
∵AD//BC，
∴∠DAF＝∠G，
又∵DF＝CF，∠AFD＝∠CFG，
∴△ADF≌△GCF，
∴AF＝FG，AD＝CG，
又∵AE＝EB，
∴EF是△ABG的中位线，
由（1）的结论可证EF＝BG＝（AD＋BC）．
【解析】【分析】（1）作出图形，写出已知、求证；延长DE到F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形ADCF是平行四边形，由平行四边形的性质得CF//DA且CF＝DA，进而根据等量代换可得CF＝BD，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形DBCF是平行四边形，再根据平行四边形的对边平行且相等得DF//BC且DF＝BC，从而即可得结论；
（2）连接AF并延长，交BC延长线于点G，根据AAS证明△ADF≌△GCF，得AF＝FG，AD＝CG，判断EF是△ABG的中位线，根据三角形中位线定理即可得出结论.
23． 如图，矩形中，，，点是对角线的中点，过点的直线分别交边于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）证明：∵在矩形中，
∴DF∥BE，
∴∠FDO=∠EBO，
∵ 点是对角线的中点 ，
∴OD=OB，
在△OFD和△OEB中，∠FDO=∠EBO，∠DOF=∠BOE，OD=OB，
∴△OFD≌△OEB（ASA）
∴DF=BE，
∴ 四边形是平行四边形 。
（2）解：∵， ，
∴BD=，OD=5，
∵四边形是平行四边形，且 ，
∴四边形是菱形，且EF垂直平分BD，
设AE=a，则BE=DE=8-a，
在Rt△AED中，，即
解得a=1.75，即AE=1.75，DE=BE=6.25，
S菱形 DEBF=S△DEF，即，
∴，
解得 =。
【解析】【分析】本题主要考查矩形的性质、平行的性质、全等三角形的判断及性质、平行四边形的判定、勾股定理、菱形的判定和性质、菱形的面积和三角形面积等相关知识。
（1）通过矩形的性质，可以首先得到DF∥BE，然后根据“两直线平行、内错角相等”得出∠FDO=∠EBO，接着利用ASA证明出△OFD≌△OEB，得出DF=BE，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出证明结果；
（2）首先根据勾股定理求出BD的长度，即可得出OD的长度；然后根据“临边相等的平行四边形是菱形”得出四边形是菱形，并根据“菱形的对角线互相垂直平分”从而得出EF垂直平分BD；然后再次利用勾股定理求出AE、DE、BE的长度，利用面积相等列出等式，即可求出EF的长度。
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