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投影与视图 单元复习培优卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（　　）
A．主视图 B．俯视图
C．左视图 D．主视图和左视图
2．如图，从左面观察这个立体图形，能得到的平面图形是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面，与“共”字相对的面上的汉字是（　　）
A．文 B．明 C．大 D．同
4．如图所示几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
5．人在灯光下走动，当人远离灯光时，其影子的长度将（　　）
A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．不变 D．以上都不对
6．如图是某几何体的三视图及相关数据，则下面判断正确的是（　　）
A．a＞c B．b＞c C．a2+4b2＝c2 D．a2＋b2＝c2
7．下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（　　）
A． B． C． D．
8．下列图形中，是长方体表面展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
9．一个正方体的相对表面上所标的数字相等，如图，是这个正方体的表面展开图，那么（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如下图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和五边形，现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图所示的几何体是由六个棱长为2的小立方块组合而成的，则该几何体从左面看到的形状图的面积为　 　．
12．如图，图中的所有正方形都完全相同，在图中的①②③④某一位置放一个相同的正方形，所围成的图形不能围成正方体的位置是　 　． （填序号）
13．用几个小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则需要的小正方体个数最少为　 　．
14．某几何体是由若干个小正方体组成的，它无论从正面看还是从左面看得到的视图都是如图的样子，堆成该几何体的正方体数最少与最多的块数分别是m、n，则 　 　.
15． 如图是一个正方体骰子的表面展开图，若1点在上面，3点在左面，则　 　点在正面．
16．一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有　 　种．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，花丛中有一路灯 .在灯光下，小明在点D处的影长 ，沿 方向行走到达点G， ，这时小明的影长 .如果小明的身高为1.7m，求路灯 的高度.（精确到0.1m)
18．如图是一个长方体纸盒的表面展开图，已知纸盒中相对两个面上的数互为相反数．
（1）填空：= ， = ；
（2）先化简，再求值：．
19．已知如图为一几何体的三视图：
（1）写出这个几何体的名称；
（2）若从正面看的长为10cm，从上面看的圆的直径为4cm，求这个几何体的侧面积（结果保留π）．
20．已知：如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻，在阳光下的投影．
（1）请你在图中画出此时在阳光下的投影，并简述画图步骤和说明作图依据了太阳光线的哪一性质；
（2）在测量的投影长时，同时测出在阳光下的投影长为，请你计算的长．
21．（1）如图所示，如果你的位置在点A，你能看到后面那座高大的建筑物吗？为什么？
（2）如果两楼之间相距MN=20m，两楼的高各为10m和30m，则当你至少与M楼相距多少m时，才能看到后面的N楼？此时，你的视角α是多少度？
22．如图所示是长方体的表面展开图，折叠成一个长方体．
（1）与字母F重合的点有哪几个？
（2）若AD=4AB，AN=3AB，长方形DEFG的周长比长方形ABMN的周长少8，求原长方体的容积．
23．学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为的小明的影子长是，而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点，并测得．
（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置；
（2）求路灯灯泡的垂直高度；
（3）如果小明沿线段向小颖（点走去，当小明走到中点处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处，按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，其影子的长为．（直接用的代数式表示）
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投影与视图 单元复习培优卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（　　）
A．主视图 B．俯视图
C．左视图 D．主视图和左视图
【答案】C
【解析】【解答】解：根据图形，可得：平移过程中不变的是的左视图，变化的是主视图和俯视图．
故答案为：C．
【分析】分别求出平移前后的三视图，然后判断即可.
2．如图，从左面观察这个立体图形，能得到的平面图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】从左面看下面一个正方形，上面一个正方形，故答案为：A.
【分析】题意要求为左视图，那么观察该图像，从左边看为上下两个矩形的叠合，且矩形的宽度一致。
3．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面，与“共”字相对的面上的汉字是（　　）
A．文 B．明 C．大 D．同
【答案】D
【解析】【解答】折叠后创的对面是明；文的对面是大；共的对面是同；
故答案为：D
【分析】根据正方体展开图的特征求解即可。
4．如图所示几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得几何体的主视图是，
故答案为：D
【分析】根据三视图的定义结合题意即可求解。
5．人在灯光下走动，当人远离灯光时，其影子的长度将（　　）
A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．不变 D．以上都不对
【答案】B
【解析】【解答】解：人在灯光下走动时，其自身的影子通常会发生变化，当人走近灯光时，其影子的长度就会变短；当人远离灯光时，其影子的长度就会变长．
故选B．
【分析】中心投影的特点是：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．
6．如图是某几何体的三视图及相关数据，则下面判断正确的是（　　）
A．a＞c B．b＞c C．a2+4b2＝c2 D．a2＋b2＝c2
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可知该几何体是圆锥，根据勾股定理得，a2＋b2＝c2
故答案为：D.
【分析】判断出该几何体是圆锥，根据勾股定理即得结论.
7．下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项错误；
B、圆柱的主视图是矩形、俯视图是矩形，故本选项正确；
C、球的主视图、俯视图都是圆，故本选项错误；
D、三棱柱的主视图为矩形和俯视图为三角形，故本选项错误．
故选：B．
【分析】分别分析四个选项中圆锥、圆柱、球体、三棱柱的主视图、俯视图，从而得出都为矩形的几何体．
8．下列图形中，是长方体表面展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：
A、图中有7个面，不为长方体，A不符合题意；
B、该展开图无法还原成长方体，B不符合题意；
C、该展开图可以还原成长方体，C符合题意；
D、图中只有5个面，不为长方体，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据长方体有6个面结合题意即可判断。
9．一个正方体的相对表面上所标的数字相等，如图，是这个正方体的表面展开图，那么（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】【解答】解：根据这个正方体的表面展开图可知：x的相对面是1，y的相对面是2，
相对表面上所标的数字相等，
.
故答案为：A.
【分析】根据正方体的表面展开图确定x和y的相对面，得到x和y的值，代入计算即可.
10．如下图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和五边形，现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】根据正方体的展开图的性质可得D为正方体的展开图．
故C符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据正方体中五边形、对角线、阴影面是相邻的，再由展开图相对的面相隔一个正方形，对各选项分析可求解.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图所示的几何体是由六个棱长为2的小立方块组合而成的，则该几何体从左面看到的形状图的面积为　 　．
【答案】16
【解析】【解答】解：由题意可得：
该几何体从左看到的图形有3行，小正方形的个数为1，2，1
∴该几何体从左面看到的形状图的面积为
故答案为：16
【分析】根据简单几何体的三视图求出所看到的图形个数，再根据正方形面积即可求出答案.
12．如图，图中的所有正方形都完全相同，在图中的①②③④某一位置放一个相同的正方形，所围成的图形不能围成正方体的位置是　 　． （填序号）
【答案】①
【解析】【解答】解：根据正方体表面展开图的特征可知，
放在②、③、④处，可以折叠成正方体，放在①处，不能折叠成正方体，
故答案为：①．
【分析】根据所给的展开图求解即可。
13．用几个小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则需要的小正方体个数最少为　 　．
【答案】8
【解析】【解答】解：由俯视图可知：最底层小正方体的个数为6个，
由主视图可知：第二层小正方体的个数最少为2个，
∴需要的小正方体个数最少为：
故答案为：8.
【分析】根据俯视图确定最底层小正方体的个数，再根据主视图确定第二层小正方体的最少个数，进而即可求解.
14．某几何体是由若干个小正方体组成的，它无论从正面看还是从左面看得到的视图都是如图的样子，堆成该几何体的正方体数最少与最多的块数分别是m、n，则 　 　.
【答案】14
【解析】【解答】解：由题意可画如图：
m=5 n=9
∴m+n=14.
故答案为：14.
【分析】根据题意画出最少和最多的两种情况，得出m和n，计算即可.
15． 如图是一个正方体骰子的表面展开图，若1点在上面，3点在左面，则　 　点在正面．
【答案】2
【解析】【解答】 根据正方体骰子的表面展开图，若1点在上面，3点在左面 ，由图可知，正面为2点；
故答案为：2；
【分析】根据正方体的展开图特征“相对的面一定像个一个正方形”可求解.
16．一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有　 　种．
【答案】10
【解析】【解答】解：由主视图和左视图知：①第一行第一个位置一定是4，
第二行和第三列至少有一个是3，第三行和第二列至少有一个是2，
则9+3+2+1=15
以最少的方式摆放，还剩1个，则为3个的位置仅有一个，即第二行第三个位置是3，
最终剩余的2个小立方体
①若第三行第一个位置摆放2个，剩余一个可以摆放的位置有3种，即每行的第二个位置；
②同理，若第三行第三个位置摆放2个，剩余一个可以摆放的位置也有3种，即每行的第二个位置；
③若第三行第二个位置摆放2个 ， 剩余一个可以摆放的位置有6种，即除了已确定位置的，其他的位置都可以放。
由于③中分别与①②的一个位置重复
∴可能的情况有3+3+6-2=10种
故答案为：10．
【分析】抓住题中关键的已知条件：一共有16个小立方块，最下面一层摆放了9个小立方块，根据主视图和左视图，画出所有可能的搭建平面图，即可得出答案。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，花丛中有一路灯 .在灯光下，小明在点D处的影长 ，沿 方向行走到达点G， ，这时小明的影长 .如果小明的身高为1.7m，求路灯 的高度.（精确到0.1m)
【答案】解：由题意，得 ， ， ，
∴ .∴ .
∴ .①
同理， ，
∴ .②
又∵ ，
∴由①，②可得 ，
即 ，
解得 .
将 代入①，得 .
故路灯 的高度约为6.0m.
【解析】【分析】根据AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH，可得：△ABE∽△CDE，则有 和 ，而CD=FG，即可得 = ，从而求出BD的长，再代入前面任意一个等式中，即可求出AB．
18．如图是一个长方体纸盒的表面展开图，已知纸盒中相对两个面上的数互为相反数．
（1）填空：= ， = ；
（2）先化简，再求值：．
【答案】（1）a=-1，b=3 ；
（2）解：原式=2a2－5b－3a2＋3b
=－a2－2b
当a=－1，b=3时
原式=-(-1)2-2×3=-1-6=-7.
【解析】【解答】解：（1）∵纸盒中相对两个面上的数互为相反数，a的对面是1，
∴a=-1
∵b的对面是-3， ∴b=3
故答案为：-1；3.
【分析】（1）根据长方体展开图的特征及相反数的定义即可求出答案.
（2）去括号，合并同类项化简，再将a，b值代入即可求出答案.
19．已知如图为一几何体的三视图：
（1）写出这个几何体的名称；
（2）若从正面看的长为10cm，从上面看的圆的直径为4cm，求这个几何体的侧面积（结果保留π）．
【答案】解：（1）该几何体是圆柱；
（2）∵从正面看的长为10cm，从上面看的圆的直径为4cm，
∴该圆柱的底面直径为4，高为10，
∴该几何体的侧面积为2πrh=2π×2×10=40πcm2．
【解析】【分析】（1）根据该几何体的主视图与左视图是矩形，俯视图是圆可以确定该几何体是圆柱；
（2）根据告诉的几何体的尺寸确定该几何体的侧面积即可；
20．已知：如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻，在阳光下的投影．
（1）请你在图中画出此时在阳光下的投影，并简述画图步骤和说明作图依据了太阳光线的哪一性质；
（2）在测量的投影长时，同时测出在阳光下的投影长为，请你计算的长．
【答案】（1）解：连接，过点作，交直线于，如图所示，就是的投影，
作图依据是运用了太阳光线是平行光线的性质．
（2）解：，
，
又，
，
，
，，，
，
．
【解析】【分析】（1）根据光沿直线传播，连接AC，再根据太阳光线是平行光线的性质，作出AC的平行线DF；
（2）由平行得到同位角相等，根据判定相似的AA定理可以判定两三角形相似，根据相似三角形的性质得到对应边成比例，代入已知线段即可求出DE的长。
21．（1）如图所示，如果你的位置在点A，你能看到后面那座高大的建筑物吗？为什么？
（2）如果两楼之间相距MN=20m，两楼的高各为10m和30m，则当你至少与M楼相距多少m时，才能看到后面的N楼？此时，你的视角α是多少度？
【答案】解：（1）所作图形如下：
所以能看见后面的大楼，因为大楼没有处在盲区．
（2）
由题意得，MN=20m，FM=10m，EN=30m，
设AM=x，则=，即=，
解得：x=10，即AM=10米．
tanα===，可得α=30°．
答：当你至少与M楼相距10m时，才能看到后面的N楼，此时，你的视角α=30°．
【解析】【分析】（1）连接点A与M楼的顶点，则可得出能否看到后面那座高大的建筑物；
（2）构造直角三角形，设AM=x，则根据=，可得出AM的长度，继而也可求出视角α的度数．
22．如图所示是长方体的表面展开图，折叠成一个长方体．
（1）与字母F重合的点有哪几个？
（2）若AD=4AB，AN=3AB，长方形DEFG的周长比长方形ABMN的周长少8，求原长方体的容积．
【答案】解：（1）与F重合的点是B．
（2）设长方体的长、宽、高分别为x、y、z．
根据题意得：
解得：．
∴原长方体的容积=4×8×12=384．
【解析】【分析】（1）把展开图折叠成一个长方体，找到与F重合的点即可；
（2）设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，根据题意可知：2z+y=4z，x=3z，2x+2z﹣（2z+2y）=8，从而可求得x、y、z的值，从而可求得元长方体的容积．
23．学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为的小明的影子长是，而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点，并测得．
（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置；
（2）求路灯灯泡的垂直高度；
（3）如果小明沿线段向小颖（点走去，当小明走到中点处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处，按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，其影子的长为．（直接用的代数式表示）
【答案】（1）解：如图
（2）解：，，
，
，
，
，，
，
m
（3）解：
【解析】【解答】(3)∵，
∴，
设，则，解得，
同理：，解得，
以此类推，可知.
故答案为：.
【分析】(1)连接CA并延长，与HE交于一点G即可.
(2)先根据平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，两三角形相似证出，再根据相似三角形对应线段成比例，代值求解即可.
(3)根据相似三角形的性质分别求出，，的长即可.
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