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二次根式 单元全优达标检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各式属于最简二次根式的是（　　）．
A． B． C． D．
2．如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．10
3．下列运算正确的是（　　）
A． ﹣ = B． =﹣3
C．a a2=a2 D．（2a3）2=4a6
4．下列运算中，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（　　）
A．2 +3 =5 B．（ ）（1﹣ ）=1
C．（xy）﹣1（ xy）2= xy D．﹣（﹣a）4÷a2=a2
6．下列各式中，运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．已知，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．下列计算结果为负数的是（　　）
A．﹣1+2 B．|﹣1|
C． D．﹣2﹣1
9．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．二次根式 在实数范围内有意义，则x可以取的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．3
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．三角形的三边长分别为、、，求其面积的问题，中外数学家曾进行过深入研究，古希腊的数学家海伦给出的海伦公式，其中；我国古代数学家秦九韶提出的秦九韶公式.现已知△ABC三边长为1，，3．则△ABC的面积为　 　．
12．已知： ， ，则 　 　．
13． ，则xy=　 　.
14．使代数式 有意义的x的取值范围是　 　．
15．实数a在数轴上对应的点位置如图所示，则化简　 　．
16．如图，在边长为4的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
18．已知直角三角形的两条直角边长分别为 a和b，斜边长为 c.
（1）若 a=12，b=5，求c.
（2）若 a=3，c=4，求b.
（3）若c=10，b=9，求a.
19．（1）若实数满足等式，求的值；
（2）已知，求的平方根．
20．（1）计算：×﹣4××（1﹣）0；
（2）先化简，再求值：（+）÷，其中a，b满足+|b﹣|=0．
21．===-=﹣2
===﹣
请回答下列问题：
（1）观察上面的解题过程．请直接写出结果．　
（2）利用上面提供的信息请化简：
+++…+的值．
22．如图，在以点为原点的平面直角坐标系中点，的坐标分别为，，点在轴上，且轴，，满足点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的路线运动回到为止．
（1）直接写出点，，的坐标；
（2）当点运动秒时，连接，，求出点的坐标，并直接写出，，之间满足的数量关系；
（3）点运动秒后，是否存在点到轴的距离为个单位长度的情况．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．在平面直角坐标系中，设，，a、b满足．
（1）直接写出　 　，　 　．
（2）如图1，直线与x轴交于点C，点N为线段上一点，过点N分别作轴，轴，求；
（3）如图2，已知点，将直线平移至直线，且点B的对应点为点D，直线与y轴交于点F，设为线段上一点，且满足三角形的面积不超过三角形面积的，直接写出点M的横坐标x的取值范围（不需要解答过程）．
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二次根式 单元全优达标检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各式属于最简二次根式的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ， 中的被开方数3a2和12均可以继续开方，不符合最简二次根式的定义； 的被开方数是分数，不是整数，亦不符合最简二次根式的定义．
故答案为：A．
【分析】根据最简二次根式的定义求解即可。
2．如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．10
【答案】A
【解析】【解答】解：，
∵最简二次根式与能够合并，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，再求出a的值即可。
3．下列运算正确的是（　　）
A． ﹣ = B． =﹣3
C．a a2=a2 D．（2a3）2=4a6
【答案】D
【解析】【解答】解：A、 ﹣ 无法计算，故此选项错误；
B、 =3，故此选项错误；
C、a a2=a3，故此选项错误；
D、（2a3）2=4a6，正确．
故选：D．
【分析】直接利用二次根式加减运算法则以及积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则、二次根式的性质分别化简判断即可．
4．下列运算中，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解： A. 先化简，因为 12 = 4 × 3 =× 3，所以则，而不是；故A错误.
B.是不同的最简二次根式，它们的被开方数不同，不能直接相减，所以不能化简为，故B错误.
C.先计算.再计算，故C正确.
D.是不同的最简二次根式，它们的被开方数不同，不能直接相加，所以不能化简为，故D错误.
故答案为：C.
【分析】 根号的乘法是两个二次根式相乘，被开方数相乘后再开方，根号的加法和减法不能直接相加减，除非根号里的数相同，对于每个选项的分析，识别并运用正确的根号运算公式。
5．下列计算正确的是（　　）
A．2 +3 =5 B．（ ）（1﹣ ）=1
C．（xy）﹣1（ xy）2= xy D．﹣（﹣a）4÷a2=a2
【答案】C
【解析】【解答】解：∵2 +3 =5 ，
∴选项A不符合题意；
∵（ ）（1﹣ ）=﹣1，
∴选项B不符合题意；
∵（xy）﹣1（ xy）2= xy，
∴选项C符合题意；
∵﹣（﹣a）4÷a2=﹣a2，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【分析】根据二次根式的混合运算，幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及同底数幂的除法的运算方法，逐项判定即可．
6．下列各式中，运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、原式=2，故A不符合题意．
B、原式==3，故B符合题意．
C、3与不是同类二次根式，故不能合并，故C不符合题意．
D、原式=，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的性质，二次根式的加减法和二次根式的除法逐项判断即可。
7．已知，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：
，
∵，，
∴原式，
故选：．
【分析】
二次根式的加法运算，先分别分母有理化，再通分化原式为，然后把，代入求值即可．
8．下列计算结果为负数的是（　　）
A．﹣1+2 B．|﹣1|
C． D．﹣2﹣1
【答案】D
【解析】【解答】解：A、﹣1+2=1，故错误；
B、|﹣1|=1，故错误；
C、=2，故错误；
D、﹣2﹣1=﹣，正确；
故选：D．
【分析】先化简各项，再根据负数的定义，即可解答．
9．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，不符合题意；
B、与2不是同类项，不能合并，不符合题意；
C、，该选项符合题意；
D、不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的加减法和二次根式的乘除法逐项判断即可。
10．二次根式 在实数范围内有意义，则x可以取的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．3
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得
x-1≥0
解之：x≥1.
∵-2＜-1＜0＜1＜3
∴x可以取3.
故答案为：D.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，可得到关于x的不等式，求出不等式的解集，可得到x的取值.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．三角形的三边长分别为、、，求其面积的问题，中外数学家曾进行过深入研究，古希腊的数学家海伦给出的海伦公式，其中；我国古代数学家秦九韶提出的秦九韶公式.现已知△ABC三边长为1，，3．则△ABC的面积为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：将1，，3，代入公式得出：
故答案为：．
【分析】直接将三角形三边代入秦九韶公式，再进行化简可求出答案.
12．已知： ， ，则 　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵ ，
，
∴a+b= ，ab= ，
∴ = ，
故答案为： ．
【分析】先利用分母有理化将a、b化简，再代入计算即可。
13． ，则xy=　 　.
【答案】1
【解析】【解答】由题意得： ，
解得：x=2018，
则y= ，
xy=2018× =1，
故答案为：1
【分析】利用二次根式的非负性，可求出x的值，就可求出y的值，再代入代数式计算可求值。
14．使代数式 有意义的x的取值范围是　 　．
【答案】x≥2
【解析】【解答】由题意得， 且
解得 且
所以， ．
故答案为： ．
【分析】根据分式的分母不能为0，二次根式的被开方数不能为负数，即可列出不等式组，求解即可得出x的取值范围。
15．实数a在数轴上对应的点位置如图所示，则化简　 　．
【答案】3-2a
【解析】【解答】解：根据题意可得：1＜a＜2，
∴1-a＜0，a-2＜0，
∴
故答案为：3-2a.
【分析】根据数轴上数a的位置可得1＜a＜2，推得1-a＜0，a-2＜0，根据负数的绝对值是其相反数和二次根式的性质：，进行化简即可求解.
16．如图，在边长为4的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接，延长到点，使得，连接，
∵沿射线平移，得到，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵是等边三角形，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴当点A、G、在同一条直线上时，，此时取得最小值，即的最小值为，
∵是等边三角形，，边长为4，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】连接，延长到点，使得，连接，再求出当点A、G、在同一条直线上时，，此时取得最小值，即的最小值为，再利用勾股定理求出，即可得到的最小值为．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【解析】【分析】（1）先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并即可；
（2）利用二次根式的乘法、二次根式的性质、负整数指数幂先计算，再合并即可；
（3）利用二次根式的乘除法则进行计算即可；
（4）利用平方差公式计算即可.
18．已知直角三角形的两条直角边长分别为 a和b，斜边长为 c.
（1）若 a=12，b=5，求c.
（2）若 a=3，c=4，求b.
（3）若c=10，b=9，求a.
【答案】（1）解：∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，a＝12，b＝5，
∴c13；
（2）解：∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，a＝3，c＝4，
∴b；
（3）解：∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，c＝10，b＝9，
∴a．
【解析】【分析】（1）由勾股定理得c即可解答；
（2）由勾股定理得b即可解答；
（3）由勾股定理得a即可解答．
19．（1）若实数满足等式，求的值；
（2）已知，求的平方根．
【答案】解：（1），
，解得，
；
（2），
，且，
，则，
，则的平方根是．
【解析】【分析】（1）根据非负数求出的值，然后代入代数式求立方根即可；
（2）利用二次根式的被开方数为非负数求出的值，进而求出y的值，代入求出平方根即可．
20．（1）计算：×﹣4××（1﹣）0；
（2）先化简，再求值：（+）÷，其中a，b满足+|b﹣|=0．
【答案】解：（1）原式=﹣4××1
=2﹣
=；
（2）原式=[﹣]
=（﹣）
=
=，
∵+|b﹣|=0，
∴a+1=0，b﹣=0，
解得a=﹣1，b=，
当a=﹣1，b=时，原式=﹣=﹣
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义得到原式=﹣4××1=2﹣，然后合并即可；
（2）先把分子和分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再计算括号内的运算，然后约分得到原式=，再根据非负数的性质得到a+1=0，b﹣=0，解得a=﹣1，b=，然后把a和b的值代入计算即可．
21．===-=﹣2
===﹣
请回答下列问题：
（1）观察上面的解题过程．请直接写出结果．　
（2）利用上面提供的信息请化简：
+++…+的值．
【答案】解：（1）==﹣；故答案为：﹣；（2）+++…+=﹣1+﹣+﹣+…+﹣=﹣1=2﹣1．
【解析】【分析】（1）利用已知数据变化规律直接得出答案；
（2）利用分母有理化的规律将原式化简进而求出即可．
22．如图，在以点为原点的平面直角坐标系中点，的坐标分别为，，点在轴上，且轴，，满足点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的路线运动回到为止．
（1）直接写出点，，的坐标；
（2）当点运动秒时，连接，，求出点的坐标，并直接写出，，之间满足的数量关系；
（3）点运动秒后，是否存在点到轴的距离为个单位长度的情况．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
，，；
（2）解：如图，当运动秒时，点运动了个单位长度，
，
点运动秒时，点在线段上，且，
点的坐标是；
如图，作．
，，
，
，，
；
（3）解：存在．
，
点可能运动到或或上．
当点运动到上时，，
，，
，解得：，
，
点的坐标为；
当点运动到上时，，即，
点到轴的距离为，
，解得，
，
此种情况不符合题意；
当点运动到上时，，即，
，
，解得：，
，
点的坐标为
综上所述，点运动秒后，存在点到轴的距离为个单位长度的情况，点的坐标为：或
【解析】【解答】解：（1）且，，
，，
，，
，，；
【分析】 （1）利用非负数的性质列出方程求解，再写出A、B、C三点坐标；
（2）作PE∥AO．利用平行线的性质证明；
（3）根据P点运动的位置分三种情况讨论：当点运动到上时 ； 当点运动到上时 ； 当点运动到上时 .
23．在平面直角坐标系中，设，，a、b满足．
（1）直接写出　 　，　 　．
（2）如图1，直线与x轴交于点C，点N为线段上一点，过点N分别作轴，轴，求；
（3）如图2，已知点，将直线平移至直线，且点B的对应点为点D，直线与y轴交于点F，设为线段上一点，且满足三角形的面积不超过三角形面积的，直接写出点M的横坐标x的取值范围（不需要解答过程）．
【答案】（1）3；4
（2）解：∵，，
∴，，
设直线AB的解析式为：，
则：，
解得：，
∴；
设，
∵点N为线段AC上一点，过点N分别作轴，轴，
∴，
∴；
（3）解：
【解析】【解答】解：（1） ∵，
∴a-3=3-a=0，b-4=0，
∴a=3，b=4，
故答案为：3，4；
（3）∵A（0，1），B（1，4）
∴AB==，直线AB：y=x+3，
如图，线段AB平移后的线段为CD，则AB∥CD，AB=BD=，连接BC，
∴△ABD的面积=△BCD的面积，
∵D（7，0）AB∥CD，
∴直线CD：y=x-7，
如图，设此时M（x，y）时，△BDM的面积=△BCD面积，
过点M作MH⊥x轴，CE⊥x轴，则△DHM、△CED均为等腰直角三角形，
∴DE=CE=CD=1，
∵△BDM的面积=△BCD面积，且共有底边BD，
∴DH：DE=1∶5，即DH=，
∴x=OH=7-=；
∵点M在线段DF上运动，
∴；
【分析】（1）利用二次根式有意义的条件求出a值，继而求出b值；
（2）由（1）知A（0，3），B（1，4），利用待定系数法求出直线AB：y=x+3，设N（n，n+3），则，可得；
（3）由平面内两点的距离公式求出AB的长，如图，线段AB平移后的线段为CD，则AB∥CD，AB=BD=，连接BC，则△ABD的面积=△BCD的面积，利用待定系数法求出直线CD：y=x-7，如图，设此时M（x，y）时，△BDM的面积=△BCD面积，过点M作MH⊥x轴，CE⊥x轴，则△DHM、△CED均为等腰直角三角形，可得DE=CE=CD=1，根据△BDM的面积=△BCD面积，且共有底边BD，可得DH：DE=1∶5，据此求出DH的长，再求出OH的长，即得x的最小值，利用点M在线段DF上运动，即得x的范围.
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