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第二、第三、第四章综合检测2025--2026学年北师版七年级下学期（教师版）
第I卷 （选择题，共30分）
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．下列图形中，与是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
根据对顶角的定义作出判断即可．
【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有D选项的是对顶角，其它都不是．
故选：D．
下列描述的事件为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放新闻联播 B．任意买一张电影票，座位号是偶数
C．掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数小于7 D．汽车经过一个红绿灯路口，正好是红灯
【答案】C
【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义逐项判断即可．
【详解】解：A．“打开电视机，正在播放新闻联播” 可能发生也可能不发生，是随机事件；
B．“任意买一张电影票，座位号是偶数” 可能发生也可能不发生，是随机事件；
C．“掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数小于7” 一定发生，是必然事件；
D．“汽车经过一个红绿灯路口，正好是红灯” 可能发生也可能不发生，是随机事件；
故选：C．
如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，
若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于熟练掌握两直线平行内错角相等以及过拐角作平行的技巧．
过点作，根据平行线的性质即可推出，，从而求得的度数．
【详解】解：过点向左作，
直线，
，
，，
又，
，
，
故选：D．
4. 据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则可以直接判定（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键．
根据已知条件，分析和，易得．
【详解】解：,
,
在和中，
，
．
故选B．
5．一个不透明的布袋中装有除颜色不同外，其余完全相同的2个红球和若干个绿球，每次将布袋摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回布袋中，经过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在，估计布袋中绿球的个数为（ ）
A．3个 B．5个 C．7个 D．9个
【答案】A
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
利用频率估计概率，先根据红球的频率得到摸到红球的概率，通过红球个数和概率求出总球数，进而计算绿球个数．
【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在，
∴摸到红球的概率约为，
∴袋中球的总个数为（个），
∴布袋中绿球的个数为（个）．
故选：A．
6．如图，下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有：（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定条件：①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定条件逐一判断即可得到答案．
【详解】解：①，不能判断，故①错误；
②，可以判断，不能判断，故②错误；
③，可以判断，不能判断，故③错误；
④，可以判断，故④正确；
综上，正确的有1个．
故选：A．
7．如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出．
【详解】解：是的角平分线，，
，
是的角平分线，
．
故选：A．
如图是某射箭运动员瞬间的示意图，已知，，，，，
则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长交于点，求出和，即可求出答案．
本题主要考查了平行线的性质，角的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】延长交于点，
,,
，
，
,
,
，，
,
,
故选：C．
9. 如图，在中，，点在边上，连接，增加下列条件中的1个：
①；②；③；④．
其中能使的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键；
根据在中，，得，当添加条件①时，，可得；当添加条件②时， ，得，可得；当添加条件③时， ，可得，得，可得；当添加条件④时， ，可 得．4个条件都能使．
【详解】解：∵在中，，
∴，
当添加条件①时，∵，，，
∴；
当添加条件②时，∵，
∴，
∵，，
∴；
当添加条件③时，∵，，，
∴，
∴，
∴；
当添加条件④时，
∵，，，
∴．
∴能使的条件有4个．
故选：D．
如图，把一张对边互相平行的纸条，沿折叠，则以下结论：
①； ②； ③；
④， ⑤． 其中正确的结论有（ ）

A．①⑤ B．②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【答案】D
【分析】根据平行线的性质，以及折叠的性质即可判断①，根据平行线的性质可得，，即可判断②，根据平行线的性质可得，根据对等角相等可得，即可判断③，根据平行线的性质得出，根据邻补角的定义，即可判断④，根据折叠的性质即可判断⑤
【详解】解：∵
∴
∵折叠，
∴，
∴，故①正确；
∵
∴
又
∴
∴，故②正确
∵
∴
又
∴，故③正确

∵，,
又
∴
∴
∵
∴，故④正确；
根据折叠的性质可得，故⑤正确，
故选：D
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．如图，，，能直接判定的方法是“ ”．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键．根据，，可得，利用证明即可．
【详解】解：，，
，即，
在和中，
，
，
故答案为：．
12. 在一个不透明的箱子里装入红球和黄球共10个，这些球除颜色外其余都相同，每次摸出一个记下颜色后放回，经过大量重复的实验，统计了“摸出红球”的频率，绘制了如上的统计图，则摸一次摸出红球的概率为 ．
【答案】0.6
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
由题意知，摸到红球的频率逐渐趋于0.6，即摸到红球的概率为0.6．
【详解】解：∵摸到红球的频率逐渐稳定于0.6，
∴摸到红球的概率为0.6，
故答案为：0.6．
13. 如图，这是典典同学在体育课上跳远后留下的脚印，
体育老师向同学们介绍跳远成绩应该是离起跳线最近点到起跳线的最短距离，
同学们马上就明白了需要测量线段的长度，其理论依据是： ．
【答案】垂线段最短
【分析】本题考查了垂线段最短，根据图中信息得，结合题意内容，得出其理论依据是垂线段最短，即可作答．
【详解】解：结合图形信息，
∵跳远成绩应该是离起跳线最近点到起跳线的最短距离，同学们马上就明白了需要测量线段的长度，
∴其理论依据是垂线段最短，
14．如图是边长为的正方形二维码，用电脑进行模拟掷点实验，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.5左右，估计黑色部分的总面积约为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了用频率估计概率，先计算正方形区域的总面积，再根据“大量重复试验后，频率稳定在概率附近”，将“点落入黑色部分的概率”近似看作“黑色部分面积占正方形面积的百分比”，最后利用“黑色部分面积=正方形总面积×黑色部分面积占比”，计算出黑色部分的总面积．
【详解】解：由题意知，正方形区域的边长为，其面积为，
由于点落在黑色部分的频率稳定在0.5左右，
根据频率估计概率，黑色部分面积占正方形面积的比例约为0.5，
∴估计黑色部分的面积为，
故答案为：2．
如图，是的角平分线，，，，的面积是3，
则的面积为______．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积；延长交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，由三角形的中线得，即可求解；掌握全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积的求法是解题的关键．
【详解】解：延长交于，
是的角平分线，，
，
，
，
（），
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．如图，在中，，点为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为 时，与全等．
【答案】2或3
【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的运用，理解全等三角形的性质，正确列方程求解是关键，根据题意，分类讨论，列方程求解即可．
【详解】解：，点是中点，
∴，
设点运动时间为，
∴，则，
当时 ，，
∴，
解得，，
此时，
∴点的运动速度为；
当时，，
∴，
解得，，
∴，
∴点的运动速度为；
综上所述，点的运动速度为或，
故答案为：2或3 ．
三、解答题：本大题有10个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知：如图，直线，和是直线被直线截出的内错角．求证：．
【分析】本题考查了平行线．熟练掌握平行线性质，是解题的关键．
根据两直线平行，同位角相等，结合对顶角性质，等式性质，即可证明．
【详解】证明：（已知），
（两直线平行，同位角相等）．
（对顶角相等）
（等量代换）．
故答案为：已知；两直线平行，同位角相等；对顶角相等；等量代换
小明和小强都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，
小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘9等分，分别标上1至9九个数字，
随意转动一次转盘，若转到奇数，小明去参加活动；若转到偶数，小强去参加活动．

(1)转盘转到奇数的概率是多少？
(2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)这个游戏不公平，理由见解析
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）利用概率公式计算出小明和小强去参加活动的概率，然后比较判断即可．
【详解】（1）因为共有9种等可能的结果，其中奇数有1，3，5，7，9，共有5种等可能的结果，
所以．
（2）这个游戏不公平．
理由：因为共有9种等可能的结果，其中偶数有2，4，6，8，共有4种等可能的结果，
所以，
因为，所以这个游戏不公平．
19．如图，，，．将求的过程填写完整．
解：∵（已知）
∴________（________），
又∵（已知），
∴（________），
∴________（________），
∴________（________），
∵（已知），
∴________．
【答案】；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；
【分析】本题考查了平行线的性质与判定．根据平行线的性质与判定即可求出答案．
【详解】解：∵（已知）
∴（两直线平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知），
∴．
故答案为：；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；．
20．如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．
(1)过作的平行线，为格点；
(2)画出的边上的高，垂足为；
(3)求出的面积为 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)8
【分析】本题主要考查了求三角形面积，画平行线，画三角形的高，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据平行线的定义以及网格图的特征作图即可；
（2）根据三角形高的定义以及网格图的特征作图即可；
（3）用所在的长方形面积减去周围3个三角形面积再减去一个小长方形面积即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，平行线即为所求；
（2）解：如图，高即为所求；
（3）解：．
故答案为：8
如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，，
判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，根据平行线的性质得出，根据等式的性质得出，根据证明，得出，然后根据平行线的判定即可得出结论．
【详解】解：
理由：∵，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
22. 某商场为了吸引顾客，打出这样一个广告：本商场为了感谢广大消费者的支持和厚爱，
特举行购物抽奖活动，中奖率，最高奖为50元．具体规则是顾客购物每满100元，
就能获得1次转动如下图所示的转盘的机会（转盘被等分成16份）．如果转盘停止后，
指针正好对准黄色、红色、绿色、白色区域，
那么顾客就可以分别获得50元、20元、10元、5元的购物券（若指针与边界线重合，则重转）．
请根据以上信息，解答下列问题：
若小亮的妈妈购物满100元，她获得购物券的概率是多少？
若小亮的妈妈购物满150元，她获得50元、5元购物券的概率分别是多少？
若改变红色区域的份数，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针对准红色区域的概率是，
请算出它的份数并在转盘的适当位置涂上颜色．
【答案】(1)1
(2)，
(3)使转盘上共有6份为红色区域即可，见解析．
【分析】本题考查概率的求法与运用，概率公式，掌握如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率是解题的关键．
（1）由中奖率，可得获得购物券的概率是；
（2）由转盘共分为等份，获得元的购物券的只有种情况，获得元的购物券的只有种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（3）由指针落在红色区域的概率为，可得红色区域为块，继而求得答案．
【详解】（1）解：若小亮的妈妈购物满元，则有次转动转盘的机会，所以她获得购物券的概率是．
（2）解：若小亮的妈妈购物满元，则有次转动转盘的机会．
∵转盘被等分成份，黄色区域占份，白色区域占份，
∴她获得元、元购物券的概率分别是，．
（3）（份），要使指针对准红色区域的概率是，只要使转盘上共有份为红色区域即可．
如图所示：
23. 已知∠1=∠2，∠B=∠C（如图）．
（1）CE∥BF这一结论对吗？为什么？
（2）你能得出∠A=∠D这两个结论吗？若能，写出你得出结论的过程．
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【分析】（1）根据对顶角相等得∠1=∠4，由∠1=∠2可得出∠2=∠4，据此可得出结论；
（2）由（1）得，CE∥BF，根据平行线的性质可得出∠3=∠C，再由∠B=∠C可知∠B=∠3，故AB∥CD，故可得出∠A=∠D．
【详解】解：（1）正确．
∵∠1=∠4，∠1=∠2，
∴∠2=∠4，
∴CE∥BF；
（2）∠A=∠D成立．
∵由（1）得，CE∥BF，
∴∠3=∠C．
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠3，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠D．
在制作“地球仪”实实践活动中，小明根据以下制作原理绘制了“地球仪”平面设计图，
并解决以下问题：
绘制“地球仪”平面设计图（从正面看）
制作原理
原理1 原理2 原理3
如图1，确定地球上两极和赤道的位置，连接南北两极确定地轴，地轴与赤道平面垂直； 如图2，地轴倾斜角为66.5°； 如图3，利用三角形的稳定性制作支架，保证地球仪的稳定；
问题解决
将以上问题抽象为以下数学问题：如图4，已知，，，，点E在上，且，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的判定及性质，过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，，结合角的和差，即可求解；能熟练利用平行线的判定及性质求角度是解题的关键．
【详解】解：过作，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
25.已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠．
(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面问题：
①如图1若∠BCA=90°，∠=90°、探索三条线段EF、BE、AF的数量关系并证明你的结论.
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°， 请添加一个关于∠与∠BCA关系的条件___ ____使①中的结论仍然成立；
(2)如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠=∠BCA，请写出三条线段EF、BE、AF的数量关系并证明你的结论.
【答案】（1）①EF、BE、AF的数量关系：(相关等式均可，证明详见解析； ②∠与∠BCA关系：∠+∠BCA=180°（或互补，相关等式均可）；（2）EF、BE、AF的数量关系：(相关等式均可) ，证明详见解析.
【分析】（1）①求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；.
②求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；.
（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可．
【详解】解：（1）①如图1中，.
.
E点在F点的左侧，.
∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，.
∴∠BEC=∠AFC=90°，.
∴∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，.
∴∠CBE=∠ACF，.
在△BCE和△CAF中，.
，.
∴△BCE≌△CAF（AAS），.
∴BE=CF，CE=AF，.
∴EF=CF-CE=BE-AF，.
当E在F的右侧时，同理可证EF=AF-BE，.
∴EF=|BE-AF|；
②∠α+∠ACB=180°时，①中两个结论仍然成立；.
证明：如图2中，.
.
∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠α+∠ACB=180°，
∴∠CBE+∠BCE=180°-∠a，∠ACD+∠BCE=180°-∠a，
∴∠CBE=∠ACF，.
在△BCE和△CAF中，.
，.
∴△BCE≌△CAF（AAS），.
∴BE=CF，CE=AF，.
∴EF=CF-CE=BE-AF，.
当E在F的右侧时，同理可证EF=AF-BE，.
∴EF=|BE-AF|；
（2）EF=BE+AF．.
理由是：如图3中，.
.
∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，.
又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，.
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，.
∴∠EBC=∠ACF，.
在△BEC和△CFA中，.
，.
∴△BEC≌△CFA（AAS），.
∴AF=CE，BE=CF，.
∵EF=CE+CF，.
∴EF=BE+AF．
26. 【模型发现】
某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，
于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；
请将下面的说理过程补充完整：
说明：如图，过P作．
∵．（辅助线的作法）
∴．（ ）
∵．（已知）
∴．（ ）
∴．（ ）
∵．（角的和差定义）
∴ ．（等量代换）
【方法应用】
（2）如图2，若，，，则 ；
【变式探究】
如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？
请说明理由；
【拓展延伸】
（4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ．
【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；；（2）82；（3），见解析；（4）131
【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
（1）过P作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得；
（2）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案；
（3）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系；
（4）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数．
【详解】解：（1）如图，过P作，
∵，（辅助线的作法）
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵，（已知）
∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵，（角的和差定义）
∴．（等量代换）
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；；
（2）过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示：
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：82；
（3），，之间的数量关系是：；理由如下：
过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，，之间的数量关系是：；
（4）∵的平分线和的平分线交于点Q，
∴设，，
∴，，
∴，，
由（1）的结论得：，
，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：131．
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第二、第三、第四章综合检测2025--2026学年北师版七年级下学期
第I卷 （选择题，共30分）
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．下列图形中，与是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
下列描述的事件为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放新闻联播 B．任意买一张电影票，座位号是偶数
C．掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数小于7 D．汽车经过一个红绿灯路口，正好是红灯
如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，
若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4. 据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则可以直接判定（ ）
A． B．
C． D．
5．一个不透明的布袋中装有除颜色不同外，其余完全相同的2个红球和若干个绿球，每次将布袋摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回布袋中，经过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在，估计布袋中绿球的个数为（ ）
A．3个 B．5个 C．7个 D．9个
6．如图，下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有：（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
如图是某射箭运动员瞬间的示意图，已知，，，，，
则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9. 如图，在中，，点在边上，连接，增加下列条件中的1个：
①；②；③；④．
其中能使的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图，把一张对边互相平行的纸条，沿折叠，则以下结论：
①； ②； ③；
④， ⑤． 其中正确的结论有（ ）

A．①⑤ B．②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．如图，，，能直接判定的方法是“ ”．
12. 在一个不透明的箱子里装入红球和黄球共10个，这些球除颜色外其余都相同，每次摸出一个记下颜色后放回，经过大量重复的实验，统计了“摸出红球”的频率，绘制了如上的统计图，则摸一次摸出红球的概率为 ．
13. 如图，这是典典同学在体育课上跳远后留下的脚印，
体育老师向同学们介绍跳远成绩应该是离起跳线最近点到起跳线的最短距离，
同学们马上就明白了需要测量线段的长度，其理论依据是： ．
14．如图是边长为的正方形二维码，用电脑进行模拟掷点实验，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.5左右，估计黑色部分的总面积约为 ．
如图，是的角平分线，，，，的面积是3，
则的面积为______．
16．如图，在中，，点为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为 时，与全等．
三、解答题：本大题有10个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知：如图，直线，和是直线被直线截出的内错角．求证：．
小明和小强都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，
小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘9等分，分别标上1至9九个数字，
随意转动一次转盘，若转到奇数，小明去参加活动；若转到偶数，小强去参加活动．

(1)转盘转到奇数的概率是多少？
(2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
19．如图，，，．将求的过程填写完整．
解：∵（已知）
∴________（________），
又∵（已知），
∴（________），
∴________（________），
∴________（________），
∵（已知），
∴________．
20．如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．
(1)过作的平行线，为格点；
(2)画出的边上的高，垂足为；
(3)求出的面积为 ．
如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，，
判断与的位置关系，并说明理由．
22. 某商场为了吸引顾客，打出这样一个广告：本商场为了感谢广大消费者的支持和厚爱，
特举行购物抽奖活动，中奖率，最高奖为50元．具体规则是顾客购物每满100元，
就能获得1次转动如下图所示的转盘的机会（转盘被等分成16份）．如果转盘停止后，
指针正好对准黄色、红色、绿色、白色区域，
那么顾客就可以分别获得50元、20元、10元、5元的购物券（若指针与边界线重合，则重转）．
请根据以上信息，解答下列问题：
若小亮的妈妈购物满100元，她获得购物券的概率是多少？
若小亮的妈妈购物满150元，她获得50元、5元购物券的概率分别是多少？
若改变红色区域的份数，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针对准红色区域的概率是，
请算出它的份数并在转盘的适当位置涂上颜色．
23. 已知∠1=∠2，∠B=∠C（如图）．
（1）CE∥BF这一结论对吗？为什么？
（2）你能得出∠A=∠D这两个结论吗？若能，写出你得出结论的过程．
在制作“地球仪”实实践活动中，小明根据以下制作原理绘制了“地球仪”平面设计图，
并解决以下问题：
绘制“地球仪”平面设计图（从正面看）
制作原理
原理1 原理2 原理3
如图1，确定地球上两极和赤道的位置，连接南北两极确定地轴，地轴与赤道平面垂直； 如图2，地轴倾斜角为66.5°； 如图3，利用三角形的稳定性制作支架，保证地球仪的稳定；
问题解决
将以上问题抽象为以下数学问题：如图4，已知，，，，点E在上，且，求的度数．
25.已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠．
(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面问题：
①如图1若∠BCA=90°，∠=90°、探索三条线段EF、BE、AF的数量关系并证明你的结论.
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°， 请添加一个关于∠与∠BCA关系的条件___ ____使①中的结论仍然成立；
(2)如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠=∠BCA，请写出三条线段EF、BE、AF的数量关系并证明你的结论.
26. 【模型发现】
某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，
于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；
请将下面的说理过程补充完整：
说明：如图，过P作．
∵．（辅助线的作法）
∴．（ ）
∵．（已知）
∴．（ ）
∴．（ ）
∵．（角的和差定义）
∴ ．（等量代换）
【方法应用】
（2）如图2，若，，，则 ；
【变式探究】
如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？
请说明理由；
【拓展延伸】
（4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ．
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