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2026年河南省平顶山市鲁山县第七教研区中考一模数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.有理数的相反数为（ ）
A. B. C. D.
2.如图，这是由5个同样大小的正方体摆成的几何体．若将正方体①移到②的正前方，则从三个方向看所得几何体的视图中，下列叙述正确的是（）
A. 主视图和俯视图不变 B. 左视图和俯视图不变
C. 主视图和左视图不变 D. 三种视图都不改变
3.宿鸭湖位于河南省汝南县，是亚洲面积最大的平原人工湖，其库区总面积约为239平方千米，常年水面面积达11万亩．数据“11万”用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
4.如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5.下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
6.关于一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
7.如图，正方形的对角线与相交于点，点在上，且，连接并延长，交于点，交的延长线于点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8.河南豫剧是中国五大戏曲剧种之一．某校开展“豫剧文化进校园”活动，设置了“唱腔、身段、念白、脸谱”四种学习项目，每名学生只能选择参加一种项目，则甲、乙两名学生参加同种学习项目的概率是（）
A. B. C. D.
9.如图，菱形中，，点是对角线的中点，点，分别在，上，将沿翻折，得到，当点与点重合时，的长是（ ）
A. B. 2 C. 4 D. 6
10.兰考葡萄酒依托黄河故道沙质土与适宜气候，以白羽、白丰等本地葡萄为原料，经低温发酵等工艺制成，酒液透亮、果香清新、酸甜适口，曾获部省级优质产品奖．某社会实践小组去兰考某葡萄酒厂进行探究实践学习，研究酵母菌发酵技术，如图1，是在显微镜下观察到的酵母菌结构，图2是发酵过程中酵母菌数量、酒精和葡萄糖浓度不断发生变化的近似图象，请分析图象，并判断以下说法错误的是（）
A. 在发酵前期的内，酵母菌数量的变化趋势是逐渐增加
B. 在发酵后期，酒精浓度的升高抑制了酵母菌的生长繁殖
C. 在发酵后期，葡萄糖浓度的减少助长了酵母菌的生长繁殖
D. 随着发酵时间的增加，葡萄糖的浓度逐渐减少，增加了葡萄酒的口感
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.请写出一个经过点，且随的增大而增大的一次函数表达式 ．
12.小刚统计了本班50名学生寒假的阅读量，绘制了下面的条形统计图，则该班学生阅读量的中位数是_______ ___本．
13.已知整数满足下列条件：，依此类推，则的值为
14.如图，菱形的边长为6，，是以点A为圆心，长为半径的弧，是以点B为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为 ．（结果保留根号）
15.如图，将边长为6的等边三角形沿射线平移得到，点P，Q分别为，的中点，点是线段的中点，连接，．当为直角三角形时， ．
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
16.计算、化简：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
消防器材实操演练是提升中学生应急避险能力与消防安全素养的关键举措．通过规范操作灭火器、消防栓等器材，学生能够在突发火情时快速响应、科学处置，有效保护自身及他人生命财产安全．为检验中学生消防器材实操演练效果，某学校组织了以熟用消防器材，筑牢安全防线为主题的器材实操比赛活动．现从八、九年级学生中各随机抽取名学生的器材实操比赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分为四组：．，．，．，．，得分在分及以上为优秀），下面给出了部分信息：
八年级名学生的器材实操比赛成绩是，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；
九年级名学生的器材实操比赛成绩在组的数据是，，，，，．
九年级抽取的学生的器材实操比赛成绩扇形统计图
八、九年级抽取的学生的器材实操比赛成绩统计表
年级 平均数 众数 方差 优秀率
八年级
九年级
根据以上信息，解答下列问
(1) 上述图表中的 ， ， ；
(2) 根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级的学生的器材实操比赛成绩更好？请说明理由．（写出一条理由即可）
18.(本小题9分)
如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，以，为邻边构造．
(1) 求的值及反比例函数的表达式；
(2) 求的面积．
19.(本小题9分)
如图，为的内接三角形，为的直径，请用无刻度直尺和圆规作图并解答问题．
(1) 过点作的切线，交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）；
(2) 在（1）的条件下，求证：．
20.(本小题9分)
河南南阳是中国月季之乡．某花店计划在南阳购买，两种月季幼苗培育盆栽．已知购买株种幼苗和株种幼苗共需元，购买株种幼苗和株种幼苗共需元．
(1) 求，两种幼苗的单价；
(2) 该花店计划购买两种幼苗共株，其中购买种幼苗的株数不多于种幼苗株数的倍，当分别购买，两种幼苗多少株时，总费用最少？并求出最少总费用．
21.(本小题9分)
如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：
位置信息 码头在灯塔北偏西方向
时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处
时，渔船航行至灯塔东北方向的D处
天气预警 受冷空气影响，今天到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范
请根据以上信息，解答下列问题：
(1) 求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离；（结果精确到）
(2) 若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头．（参考数据：，，）
22.(本小题11分)
如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段．
(1) 直接写出点的坐标 ；
(2) 若抛物线经过点O，A，B，求此抛物线的表达式；
(3) 如图2，设的中点为，抛物线与的形状相同，且经过点（抛物线的顶点）．若点是抛物线上两点，当时，求的取值范围．
23.(本小题10分)
如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做垂对三等分平行四边形，垂足叫做垂三等分点．
(1) 【理解应用】如图1，在中，于点，交于点，若为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形，是垂三等分点．若，则 ， ．
(2) 【问题探究】如图2，在垂对三等分平行四边形中，是垂三等分点，且满足，若，试猜想与的数量关系，并说明理由．
(3) 【拓展延伸】如图3，已知四边形是矩形，过点作于点，交于点，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】（答案不唯一）
12.【答案】3
13.【答案】-1013
14.【答案】
15.【答案】6或12
16.【答案】【小题1】
解：
【小题2】
解：

17.【答案】【小题1】
93

30
【小题2】
解：九年级的学生的器材实操比赛成绩更好，理由如下：
∵九年级方差八年级方差，平均数相等，
∴九年级学生的器材实操比赛成绩更稳定，成绩更好．

18.【答案】【小题1】
解：点在直线的图象上，
，
．
点在的图象上，
，
，
∴反比例函数的表达式为．
【小题2】
解：∵直线与轴交于点，
∴令，得，解得，
∴，
．
，
．

19.【答案】【小题1】
解：如图，直线即为所求作的切线．
【小题2】
证明：是的直径，
，
．
是的切线，
，即，
．
，
，
．
又，
，
，
．

20.【答案】【小题1】
解：设种幼苗的单价为元/株，种幼苗的单价为元/株，
∵购买株种幼苗和株种幼苗共需元，购买株种幼苗和株种幼苗共需元，
∴，
解得：，
∴种幼苗的单价为元，种幼苗的单价为元．
【小题2】
解：设总费用为元，采购种幼苗株，则种幼苗株，
∴，
∵购买种幼苗的株数不多于种幼苗株数的倍，
∴，
解得：，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取最小值，最小值为，
∴当分别购买，两种幼苗株、株时，总费用最少，最少总费用为元．

21.【答案】【小题1】
解：如图，过点作于点．
设．
由题意可知，，
，
，
．
在中，，
解得，
∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离约为海里；
【小题2】
解：在中，，
，
，
（小时）（分钟）
从，经过分钟是，在之前能到达，
∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头．

22.【答案】【小题1】

【小题2】
解：设抛物线的表达式为（）．
∵ 抛物线过、、，
∴．
将代入后两个方程，得．
两式相加得，解得；
两式相减得，解得．
∴抛物线的表达式为．
【小题3】
解：∵，，
∴的中点的坐标为，即．
∵ 抛物线与形状相同，
∴ 设的表达式为．
∵是的顶点，
∴，，即的表达式为．
∵点、在上，且，
∴，即，
解得．
故的取值范围为．

23.【答案】【小题1】
2

【小题2】
解：；理由如下：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
；
【小题3】
解：的长为或．理由如下：
分两种情况讨论：
如图3，若，
在矩形中，，
，
，
设，则，，
，
，
在矩形中，，
，
，
，
，即，
解得或（舍去），
，
在中，由勾股定理得：．
②如图，，
在矩形中，，
，
，
设，则，，
，
，
在矩形中，，
，
，
，
，即，
解得或（舍去），
，
在中，由勾股定理得：．
综上所述，的长为或．

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