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江苏常熟市外国语、游文中学2024-2025学年下学期3月数学学情自测
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列物体的运动中，属于平移的是（　　）
A. 电梯上下移动 B. 翻开数学课本 C. 电扇扇叶转动 D. 篮球向前滚动
2.将2.05×10-3用小数表示为（　　）
A. 0.000205 B. 0.0205 C. 0.00205 D. -0.00205
3.下列运算正确的是（）
A. B.
C. D.
4.若无意义，则是（ ）
A. B. C. 2 D. 8
5.已知，则值是（ ）
A. B. C. 1 D. 5
6.将，，这三个数按从小到大的顺序排列，正确的顺序是（ ）
A. B.
C. D.
7.已知，则k的值为（ ）
A. 2 B. 2或4 C. 0或2或4 D. 0或4
8.日常生活中，我们用十进制来表示数，如3512=3×103+5×102+1×101+2×1，而计算机中则采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数.二进制数与十进制数可相互转换，如二进制中的11010=1×24+1×23+0×22+1×21+0×1，表示的就是十进制中的26.则二进制中的110101表示的是十进制中的（　　）
A. 23 B. 25 C. 52 D. 53
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.计算的结果等于 ．
10.已知，，求的值为 ．
11.若是一个完全平方式，则常数a的值为 ．
12.如图，长方形中，，，将它沿平移得到长方形，则图中阴影部分的面积为 ．
13.若关于x的多项式化简后不含有x一次项，则实数k的值为 ．
14.若a+b=5，ab=2，则（a-2）（b-2）的值是 .
15.如图，小明制作了一些A类、B类、C类卡片，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．要拼出一个宽为、长为的大长方形，小明需要准备C类卡片 张．
16.已知，，则 ．
三、计算题：本大题共2小题，共15分。
17.计算：
18.计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
四、解答题：本题共9小题，共73分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题4分)
先化简，再求值：，其中，．
20.(本小题9分)
在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点与点重合．点，分别是点，的对应点．
(1) 请画出平移后的．
(2) 连接，，则这两条线段之间的关系是 ．
(3) 求的面积．
21.(本小题8分)
如图，某区有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间的边长为米的空白的正方形地块将修建一个凉亭．
(1) 用含有a，b的式子表示绿化总面积．
(2) 若，，求出此时的绿化总面积．
22.(本小题8分)
已知，，求：
(1) ；
(2) 的值．
23.(本小题8分)
已知，．求：
(1) 的值．
(2) 的值．
24.(本小题8分)
在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题：
(1) 若，求x的值．
(2) 若，求x的值．
25.(本小题8分)
综合实践：如图1，长方形的两边长分别为，；如图2，长方形的两边长分别为，．（其中m为正整数）
(1) 图1中长方形的面积 ；图2中长方形的面积 ．
(2) 现有一正方形，其周长与图1中的长方形周长相等．
①正方形的边长为_____；（用含m的代数式表示．）
②探究：该正方形的面积S与图1中长方形的面积的差（即）是个常数，并求出这个常数．
（提示：）
26.(本小题12分)
如图1，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形．
(1) 用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为 ；
(2) 将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为 ；
(3) 比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式 ；
(4) 【问题解决】
利用（3）的公式解决问题：
①已知，，则的值为_____；
②计算：．
27.(本小题8分)
已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如，所以和与和都是“幸福数对”．
(1) 请判断与是否是“幸福数对”，并说明理由；
(2) 为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，请问，，，应满足怎样的数量关系，并说明理由；
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】
10.【答案】10
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】5
14.【答案】-4
15.【答案】15
16.【答案】625
17.【答案】解：

18.【答案】【小题1】
解：原式
【小题2】
原式
【小题3】
原式
【小题4】
原式

19.【答案】解：
；
当，时，原式．

20.【答案】【小题1】
解：如图，为所求．
【小题2】
，
【小题3】
解：．
的面积为．

21.【答案】【小题1】
解：根据题意，长方形地块面积（平方米），
正方形地块面积（平方米），
∵绿化总面积＝长方形地块面积－正方形地块面积，
∴绿化总面积（平方米）．
【小题2】
解：，，
∴绿化总面积（平方米）．

22.【答案】【小题1】
解：∵，，
∴．
【小题2】
解：∵，，
∴．

23.【答案】【小题1】
解：，，
；
【小题2】
解：，，
，
．

24.【答案】【小题1】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

25.【答案】【小题1】


【小题2】
①图1中长方形的周长为：，
正方形的周长与图1中的长方形周长相等，
正方形的周长为，
正方形的边长为，
故答案为：；
②正方形的面积，
，
该正方形的面积与图1中长方形的面积的差（即是一个常数，这个常数为9．

26.【答案】【小题1】

【小题2】

【小题3】

【小题4】
①∵，
∴，
∵，
∴；
②
．

27.【答案】【小题1】
解：与是“幸福数对”，理由如下：
∵，，
∴，
与是“幸福数对”；
【小题2】
解：，理由如下：
由题意得，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；

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