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2025-2026 学年八年级数学下学期 3 月学情自测卷
（考试时间：90 分钟，分值：120 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本
试卷上无效。
3．测试范围：三角形的证明+不等式和不等式组。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3分，共 30 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．若 ，则下列不等式不一定成立的是（）
A． B． C． D．
2．如图， ， ，则 的度数是（）
A． B． C． D．
3．育才中学组织初二年级研学，现有 36座和 42座两种客车供选择租用，若只租用 36座客车若干辆，则正好坐
满：若只租用 42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过 30人．现在设租 36座的车 x辆，则 x满
足的不等关系为（）
A． B．
C． D．
4．如图，在 中， ， 平分 ，交 于点 D． ， ，则点 D到 的
距离是（）
A．4 B．2 C．3 D．6
5．如图，在 中， ， ．点 D，E在 上，且
， ，若 ， 的长（）
A． B． C．6 D．8
6．如图，已知 ，用尺规作图的方法在 边上确定一点 ，连接 ，能判断 一定是等
腰三角形的图形有（）个
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在 中， ， 平分 ，交 边上的高 于点 F．已知
，则 的长度是（）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．如图，在平面直角坐标系 中，过点 的直线 与直线
相交于点 ，与 y轴相交于点 M，则下列说法：① ；②点 M的坐标
为 ；③ ；④当 时， ，其中所有正确的是（）
A．①②B．③④C．①③④D．①②④
9．如图，在等边三角形 中，D是 的中点，点 E，F分别在 ， 上，且 ， ，在
上有一动点 G，则 的最小值为（）
A．3 B．7 C．9 D．12
10．定义：符号 ，例如： ．若关于 的不等式组
，恰好有 4个整数解，则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共 6个小题，每小题 3分，共 18 分）
11．等腰三角形的顶角是 ，则这个三角形的底角的大小是______．
12．“等腰三角形的两个底角相等”这个命题的逆命题是___________．
13．如图，在 中， 的垂直平分线 与边 分别交于点 D，E，已知 与
的周长分别为 和 ，则 的长为_______ ．
14．如图，D，E是等边 两边上的两个点，且 ，连接 与 交于点 P，过点 B
作 于 Q，那么， _________．
15．关于 的不等式组 无解，则 的取值范围是______．
16．一个运算程序如图所示，从“输入 x”到“是否≥37为” 一次程序操作，若输入 x后经过第 1次程序操作未能输出
结果，则 x的取值范围为_____．
三、解答题（本大题共 8个小题，共 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）解下列不等式或不等式组：
(1) ；(2)
18．（8分）如图，点 、 在 上， ， ， ， 交于点 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
19．（8分）如图， ，点 在 上．
(1)作图，要求只保留作图痕迹，不用写作法．
①作 的角平分线 ；
②作线段 的垂直平分线，交 于 ，交 于 ，交 于 G．
(2)在（1）作图的基础上，连接 ，则 与 的数量关系是什么？请给出你的证明．
20．（8分）某中学决定增设乒乓球、羽毛球两门选修课程，需要购进一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知购买 2副
乒乓球拍和 4副羽毛球拍共需要 350元，购买 6副乒乓球拍和 3副羽毛球拍共需要 420元．
(1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？
(2)已知该中学需要购买两种球拍共 80副，所花费用不超过 4340 元，则可购买的羽毛球拍最多是几副？
21．（8分）如图， 和 都是等边三角形，且 B，C，D在同一直线上，连接 ， 分别交 ，
于点 G，F，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的周长．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于 ， 两点，与正
比例函数 的图象交于点 ，点 的纵坐标为 ．
(1)求 的值；
(2)当 时，请根据图象直接写出 的取值范围；
(3)已知点 是 轴上一点，当以 A，O，D为顶点的三角形是直角三角形时，求点 的坐标．
23．（10分）方程（组）与不等式（组）是代数的重要组成部分，也是解决数学问题的重要工具；请利用所
学，解决以下 3个问题：
(1)当 为何整数时关于 ， 的方程组 的解满足 且 ；
(2)已知正整数 使得关于 ， 的方程 的解是整数，解关于 的不等式 ；
(3)已知 ， ， 为 3个非负实数，且满足 ， ，记 ，对于符合题意的任意
实数 ，不等式 始终成立，试确定 的取值范围．
24．（12分）【问题背景】（1）如图 1，直线 经过点 ， ， ，过点 ， 分别向直线 作
垂线，垂足分别为 ， ，求证： ．
【问题探究】（2）如图 2，在 中， ， 为 上一点， 是 上一点，且
．若 ，求 的长．
拓展延伸（3）如图 3，在四边形 中， ， ， ， 的面
积为 20，请直接写出四边形 的面积．2025-2026学年八年级数学下学期 3月学情自测卷
一、选择题：本题共 10小题，每小题 3分，共 30分。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D B D A C B B D C B
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．
12．有两个角相等的三角形是等腰三角形
13．4
14．
15．
16．
三、解答题（本大题共 8 个小题，共 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8 分）（1）解：
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为 1，得 ；…………………………………4分
（2）
解：解不等式①，得
解不等式②，得
所以该不等式组的解集是 ．…………………………………8 分
18．（8 分）（1）证明： ，
，
，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
；…………………………………5分
（2）解： ，
，
中， ，
．…………………………………8分
19．（8 分）（1）解：如图所示，即为所求；
…………………………………4分
则此图为所求；
（2）解： ，证明如下：
平分 ， ，
．
是线段 的垂直平分线，
， ，
，
，
，
，
又 ，
．…………………………………8分
20．（8 分）（1）解：设购买一副乒乓球拍需要 元，一副羽毛球需要 元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：购买一副乒乓球拍需要 35 元，一副羽毛球需要 70 元；…………………………………4 分
（2）解：设购买 副羽毛球拍，则购买 副乒乓球拍，
根据题意得： ，
解得： ，
的最大值为 44．
答：可购买的羽毛球拍最多是 44 副．…………………………………8 分
21．（8 分）（1）证明：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ；…………………………………4 分
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴
∵在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ．…………………………………8分
22．（10 分）（1）解：在 中，令 ，得 ，
解得： ，
∴ ，
把 代入 得： ，
解得： ，
即 b 的值是 ；…………………………………2 分
（2）解：由图像可得：当 时，就是 在 图象下方，且两个图象都在 x 轴的下方，x 的取值范
围，即 ；…………………………………4分
（3）解：设点 D 的坐标为 ，
∵ ， ，
∴ ，
，
，
∵ ，
∴ 点不可能为直角顶点；…………………………………5分
当 时， ，
∴ ，
解得： ，
此时点 D 的坐标为 ；…………………………………7分
当 时， ，
∴ ，
整理得： ，
即 ，
，
开平方得： ，
解得： 或 （舍去），
此时点 D 的坐标为 ；…………………………………9分
综上，点 D 的坐标为 或 ．…………………………………10分
23．（10 分）（1）解：解方程组 得 ，
∵ 且 ，
∴ ，
解得： ，
∵ 为整数，
∴ ，
∴当 时，原题意成立；…………………………………3分
（2）解：解方程组 得， ，
∵ 为正整数， 、 为整数，
∴ ，
把 代入 得 ，
解得： ；…………………………………6分
（3）解：解方程组 得， ，
∵ ， ， 为 3个非负实数，
∴ ，解得： ，
∴ 的最小值 ， 的最大值 ，
∵ 始终成立，
∴ ，
∴ ，
解得： ．…………………………………10分
24．（12 分）解：（1）证明： ，
，
．
，
，
．
在 和 中，
；…………………………………4 分
（2）如图 1，过点 作 ，垂足为 ．
同（1）得 ，
．
，
，
，
；…………………………………8分
（3）如图 2，过点 作 ，交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ．
同（1）得 ，
．
，
是等腰直角三角形，
．
的面积为 20，
．
，
，
，
，
，
．…………………………………12分

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