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2025-2026学年陕西省西安理工大学附中八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在下列各组数中，是勾股数的一组是( )
A. ，， B. 6，8，10 C. D. ，，
2.下列四个数：，，，，其中最小的数是( )
A. B. C. D.
3.下列各式中运算正确的是( )
A. B. C. D.
4.点在正比例函数图象上，下列各点在此函数图象上的为( )
A. B. C. D.
5.对于函数，下列说法正确的是( )
A. 函数的图象过点 B. y值随着x值的增大而增大
C. 函数的图象经过第三象限 D. 当时，
6.如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，于点B，且连接AC，在AC上截取，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是( )
A. B. C. 2 D.
7.如图，中，，，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为( )
A. B. 3
C. D.
8.在市举办的“划龙舟，庆端午”比赛中，甲、乙两队在比赛时的路程米与时间分钟之间的函数关系图象如图所示，
根据图象得到下列结论，你认为正确的结论是( )
①这次比赛的全程是500米
②乙队先到达终点
③比赛中两队从出发到分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度快
④乙与甲相遇时乙的速度是375米/分钟
⑤在分钟时，乙队追上了甲队
A. ①③④ B. ①②⑤ C. ①②④ D. ①②③④⑤
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.36的算术平方根是 .
10.在平面直角坐标系中，点位于y轴正半轴，距离原点3个单位长度，则点A的坐标为______.
11.已知x，y都是实数，且，则 .
12.如图将水仙花图置于正方形网格图中，点A，B，C均在格点上.若点，，则点C的坐标为 ，
13.如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在CD上，米.一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离是 .
14.如图，是等腰直角三角形，，，分别以AB，BC为边作正方形ABDE和正方形BCFH，点P是线段DE上的动点，点Q是线段BC上的动点，则的周长最小值为 .
三、解答题：本题共11小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题8分
计算：
；
16.本小题5分
已知实数的算术平方根是2，的立方根是求的平方根.
17.本小题5分
如图，有一块四边形的土地，，，，，，求该四边形土地ABCD的面积．
18.本小题5分
如表中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中，于点C，尺，尺，求AC的长度.
诗文：波平如镜湖面，半尺高处生红莲.亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边.离开原处二尺远，花贴湖面像睡莲.
19.本小题5分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，
请画出关于y轴对称的；
请画出关于原点对称的；
连接，则线段的长为______.
20.本小题6分
如图，直线：与y轴交于点A，直线：与直线交于点B，与y轴交于点C，已知点B的纵坐标为
求点B的坐标及直线的表达式；
求直线，与y轴所围成的面积.
21.本小题7分
请你根据图形及提示证明勾股定理图中所有直角三角形都是以c为斜边，a，b为直角边的全等三角形
毕达哥拉斯的证法图：
补充完整以下证明过程
证明：正方形①的面积=______
正方形②的面积=______.
又正方形①与正方形②的边长相等，
______=______.
请你写出弦图图的另一种证法.
22.本小题7分
如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯.甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度单位：与下行时间单位：之间的函数关系为，乙离一楼地面的高度单位：与下行时间单位：的函数关系如图2所示.
求y关于x的函数解析式；
在下行过程中是否存在某一时刻两人竖直高度相差1米，若存在求出此时的下行时间.
23.本小题8分
阅读：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这样的两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，
例如；，请完成下列问题.
的有理化因式是______一个即可，化去式子分母甲的根号：______；
利用你发现的规律计算下列式子的值：
24.本小题10分
为鼓励市民节约用电，宝鸡市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法.现提供一户居民某月电费发票的部分信息如表所示：
XX居民电费专用发票
计费期限：一个月
用电量度 电价元/度
第一档：
第二档：
第三档：
本月实用金额：元
根据以上提供信息解答下列问题：
如果月用电量用x度来表示，实付金额用y元来表示，当时，写出实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式；
请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量；
若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120度和250度，则实付金额分别为多少元？
25.本小题12分
【模型发现】
如图1，等腰中，，，直线ED经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，可证明得到的全等三角形是______≌______.
【模型应用】
如图2，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线经过点B和第一象限点C，且，，求点C的坐标；
如图3；在平面直角坐标系中，已知点，连接OP，在y轴左侧的平面内是否存在一点Q，使得是以OP为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题
1.B
2.A
3.A
4.D
5.D
6.D
7.D
8.C
二、填空题
9.6
10.
11.
12.
13.米
14.
三、解答题
15.原式
；
原式
16.解：的算术平方根是2，
，
，
的立方根是2，
，
，
，
，
17.解：连接AC，
在中，
，
，
解得：，
在中，，，，
，
为直角三角形，
则
即四边形土地ABCD的面积为
18.解：设AC的长度为x尺，则，
，
，即，
解得：，
的长度为尺．
19.解：如图所示：
如图所示；
如图，
，
故答案为：
20.解：把代入得，，
解得，
，
直线：过点B，
，
解得，
直线的表达式为；
把分别代入两条直线的解析式得，，，
，，
，
21.证明：正方形①的面积，
正方形②的面积，
又正方形①与正方形②的边长相等，
，
，
故答案为：，，，；
由图可知大正方形的面积个三角形的面积+小正方形的面积，
，
即
22.解：设y关于x的函数解析式为，
由函数图象可知，经过，，
将，代入，
得，
，
关于x的函数解析式为；
存在某一时刻，两人的竖直高度差为1m，
理由：
在中，
令，则有，
即，
在中，
令，则有，
解得，
，
甲先到达一楼地面，
①令，
解得，
②令，
解得，
当下行10s或25s时，两人的竖直高度差为
23.解：的有理化因式是，化去式子分母甲的根号：；
故答案为：答案不唯一，；
原式
24.解：当时，，
；
当时，电费为元，当时，电费为元，
而，
这个家庭本月的实际用电量在第二档，
由得，
这个家庭本月的实际用电量为210度；
元，元，
小强家实付金额为60元，小华家实付金额为元．
25.解：，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌
故答案为：，；
如图，过点C作轴于点H，
直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，
当时，得：，
解得：，
当时，得：；
，，
，，
，
，
轴，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
点C的坐标为；
在y轴左侧的平面内存在一点Q，使得是以OP为直角边的等腰直角三角形；点Q的坐标为或或理由如下：
设，
当点P为直角顶点，Q在OP上方时，过点P作轴交x轴于点T，过点作交TP的延长线于点K，如图，
同可证≌，
，，
依题意得：，
解得：，
；
当点P为直角顶点，Q在OP下方时，过点P作轴交x轴于点T，过点作交TP的延长线于点K，如图，
可得，，
依题意得：，
解得：，
；
当O为直角顶点，过点P作轴交y轴于点K，过点作于点T，如图，
可得，，
依题意得：，
解得：，
；
综上所述，在y轴左侧的平面内存在一点Q，使得是以OP为直角边的等腰直角三角形；点Q的坐标为或或

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