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2025-2026学年四川省成都市郫都一中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列几何体中，其俯视图与左视图完全相同的是( )
A. B. C. D.
2.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
3.如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是( )
A.
B.
C.
D.
4.下列说法正确的是( )
A. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B. 菱形的对角线相等
C. 平行四边形的对角线相等 D. 对角线相等的平行四边形是矩形
5.关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是( )
A. 图象经过点 B. 图象关于原点中心对称
C. 图象位于二、四象限 D. y的值随x值的增大而减小
6.一只小狗在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上图中每一块方砖除花色外完全相同，它最终停留在花形方砖上的概率是( )
A. B. C. D.
7.1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步？设长为x步，可列方程为( )
A. B.
C. D.
8.若，则一次函数和反比例函数在同一坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
9.若，则 .
10.若函数是反比例函数，则______.
11.如图，与是位似图形，且位似中心为O，OB：：3，若的面积为4，则的面积为 .
12.如图，反比例函数的图象上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，则的面积为 .
13.如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段AD的长为 .
14.若的两个根为、，则的值是 .
15.已知，，在反比例函数的图象上，、、的大小关系是 .
16.矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则x的值为 .
17.如图，点A，B，C在反比例函数的图象上，且直线AB经过原点，点C在第二象限上，连接AC并延长交x轴于点D，连接BD，若的面积为5，且，则 .
18.如图，在中，，，，的顶点D在BC上运动，且，，F为线段DE的中点，连接CF，在运动过程中，线段CF的最小值为 ；当时，线段CF的长为 .
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题12分
解方程：
；
20.本小题8分
如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜.手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处.点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点A、B、C、D在同一水平面上.
求BC的长；
求手电筒灯泡到地面的高度
21.本小题8分
小明、小颖和小凡做“剪刀、石头、布”游戏．游戏规则如下：由小明和小颖做“剪刀、石头、布”的游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，布胜石头，剪刀胜布”的规则决定小明和小颖中的获胜者．
假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同．
利用画树状图或列表的方法表示小明和小颖做“剪刀、石头、布”游戏的所有可能出现的结果其中剪刀、石头、布分别用番号①、②、③表示；
在的基础上，试说明该游戏对三人是否公平？
22.本小题10分
如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，连接AM，作于点
若，求证：≌；
若，，，求AN的长与四边形BCMN的面积.
23.本小题10分
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点.
求反比例函数的表达式及点B的坐标；
过点A作直线AC，交x轴正半轴于点C，连接BC，若，求点C的坐标；
在反比例函数图象上取一点D，在x轴上取一点E，当A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点E的坐标.
24.本小题8分
商场两次购进A，B两款巧克力.第一次购进A款巧克力50件，B款巧克力70件，共4300元，第二次购进A款巧克力120件，B款巧克力90件，共7200元.
求A，B两款巧克力的进价各是多少元？
商场为了尽快将A款巧克力销售完，决定对A款巧克力进行降价销售，当销售单价为每个60元时，每周可以卖出50个，每降1元，每周就可以多卖10个，请问商场将每个A款巧克力降价多少元时，每周销售A款巧克力的利润为2640元？
25.本小题10分
小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于x的二次多项式若能分解成两个一次整式相乘的形式，当或时，原多项式的值为0，则定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为多项式的“对称值”.例如：，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和，的“对称值”为
根据上述材料，解决下列问题：
多项式的“零值”为______，“对称值”为______；
若关于x的多项式的两个“零值”相等，求m的值以及多项式的“对称值”；
若关于x的多项式有一个“零值”为，关于x的另一个多项式与多项式的“对称值”相同，且多项式的两个“零值”之比是2：1，求a，b，c的值.
26.本小题12分
【综合与实践】
【问题背景】
在四边形ABCD中，E是CD边上一点，延长BC至点F使得，连接DF，延长BE交DF于点
【特例感知】
如图1，若四边形ABCD是正方形时，求证：≌；
【深入探究】
如图2，若四边形ABCD是菱形，，当G为DF的中点时，求CE的长；
【拓展提升】
如图3，若四边形ABCD是矩形，，，点H在BE的延长线上，且满足，当是直角三角形时，请求出CE的长.
参考答案
一、选择题
1.C
2.D
3.B
4.D
5.B
6.A
7.A
8.D
二、填空题
9.
10.
11.9
12.3
13.
14.11
15.
16.
17.
18.4 ;
三、解答题
19.解：由题意得，
，
解得，；
，
，
或，
解得，，
20.解：，
则∽，
则，
即，
；
，
，
，
又，
∽，
，
，
解得：，
答：灯泡到地面的高度AG为
21.解：列出表格，如图所示：
② ① ③
② ②，② ①，② ③，②
① ②，① ①，① ③，①
③ ②，③ ①，③ ③，③
由列表可知所有等可能的情况有9种；
小明获胜的情况有3种，小颖获胜的情况有3种，
小明获胜小颖获胜，
小凡获胜，
这个游戏对三人公平．
22.证明：在矩形ABCD中，，，
，
在和中，
，
≌；
解：，，
，
，
，
四边形ABCD是矩形，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，

23.解：一次函数经过点，
，
解得：，
，
反比例函数经过点，
，
反比例函数的表达式为，
联立得，
解得：，，
点B的坐标为；
设直线AB交x轴于点F，
令，得，
解得：，
，
设，且，
则，
，
，
解得：，
点C的坐标为；
设，，
以A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，
由中点坐标公式和平行四边形的性质得或或，
或或，
或或
24.解：设A、B两款巧克力的进价分别为x元、y元，由题意得：
，
解得，
即A、B两款巧克力的进价分别为30元、40元，
答：A、B两款巧克力的进价分别为30元、40元；
设商场将每个A款巧克力降价m元时，每周销售A款巧克力的利润为2640元，跟题意列一元二次方程得：
，
解得，，
商场为了尽快将A款巧克力销售完，
，
答：商场将每个A款巧克力降价19元时，每周销售A款巧克力的利润为2640元．
25.解：，
，，
和，
“对称值”为
故答案为：和，
关于x的多项式的两个“零值”相等，
令其“零值”为t，则，
，
，，
或，
当“零值”为时，则，
对称值为；
当“零值”为时，则，
对称值为；
综上，当，“对称值”为3；当，“对称值”为；．
，
，，
由条件可知
“对称值”为
由条件可设两个“零值”为2t，t，
，
，
，
，，
26.证明：四边形ABCD为正方形，
，
在和中，
，
≌；
过点G作，交DC于点H，如图，
，G为DF的中点，
为的中位线，
，
设，则，
，
∽，
：：CE，
：：2x，
负数不合题意，舍去，
；
的长为或或理由：
四边形ABCD是矩形，，，
，，
，
，
，
，
①当时，如图，
设，则，
，
，，
∽，
：：BH，
，
解得：或
或
②当时，过点H作，交BC的延长线于点M，如图，
，，
，
∽，
：：：HM，
，
：：：6，
，，
，，
，
，
，
，
综上，CE的长为或或

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