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2025-2026学年重庆市北碚区江北中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.下列根式中，不是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
3.用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是( )
A. B. C. D.
4.如图，点P在的边AC上，要判断∽，添加一个条件，不正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，与位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则与的周长之比是( )
A. 1：2 B. 1：4 C. 1：3 D. 1：9
6.如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙墙足够长和24m长的围栏围成一个面积为的矩形场地.设矩形的宽为x m，根据题意可列方程( )
A. B.
C. D.
7.如图，中，，，则( )
A.
B.
C.
D.
8.若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为( )
A. 2 B. C. 2或 D.
9.如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，，则的面积为( )
A. 10
B. 8
C. 5
D. 4
10.将代数式记为A，代数式记为B，现进行如下操作：记，，，；；…以此类推.下列说法：
①；
②若m，n为正整数，为整数，则或2或5；
③关于m的方程为正整数只有2个实数根.
其中正确的个数是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.计算： .
12.若，则 .
13.如图，D、E分别在边AB、AC上，若，，，则BC的长为 .
14.若，且m为整数，则m的值为 .
15.如图，已知等腰直角三角形ABC，点D为BC边上一点，连接AD，将沿AB折叠得，连接CE交AD于点若，且，则：
的长为 ；
的值为 .
16.任意一个三位数M，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”.例如：，因为所以234是“双倍快乐数”.则最小的“双倍快乐数”为 ；若是一个“双倍快乐数”，且使关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，则所有满足条件的N有 个.
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
解方程：
18.本小题8分
计算：
；
19.本小题10分
为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛.现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩百分制进行收集、整理、描述、分析.所有学生的成绩均高于60分成绩得分用x表示，共分成四组：；；；，下面给出了部分信息：
七年级20名学生的竞赛成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，87，87，87，87，89，95，95，96，98，98，
八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，82，83，84，86，七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 85 85
中位数 86 a
众数 b 91
根据以上信息，解答下列问题：
上述图表中______，______，______；
根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由写出一条理由即可；
该校七年级有1600名学生，八年级有1000名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数一共是多少？
20.本小题10分
如图，在中，，，，
尺规作图：作线段AB垂直平分线，交AB于点E，交直线AC于点F；
保留作图痕迹，不要求写作法
在的条件下，求EF的长度.
解：，
垂直平分线段AB，
，，
①______.
，
∽②______，
③______，
，
④______.
21.本小题10分
先化简，再求代数式的值，其中
22.本小题10分
已知关于x的一元二次方程
求证：方程有两个不相等的实数根.
若为等腰三角形，，另外两条边是方程的根，求的周长.
23.本小题10分
某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时，一月份销售256件.二、三月该商品十分畅销.销售量持续走高.在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件.设二、三这两个月的月平均增长率不变.
求二、三这两个月的月平均增长率；
从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
24.本小题10分
某公园设置如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米.
求AB的长度；结果保留根号
小江和小北分别从D、A打卡点同时出发，小江以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小北以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小江出发多少千米后恰好与小北相距千米？
结果保留小数点后两位，参考数据：，
25.本小题10分
如图，在中，，，垂足为
如图1，若，，求AC的长；
如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，使，连接求证：；
如图3，是直角三角形，，，，平面内一点D，满足，连接CD并延长至点E，且，当线段BE的长度取得最小值时，求线段CE的长.
参考答案
一、选择题
1.C
2.B
3.D
4.D
5.A
6.A
7.D
8.A
9.C
10.B
二、填空题
11.7
12.
13.4
14.3
15.
16.111； 3
三、解答题
17.解：这里，，，
，
，
，
18.解：原式
；
原式
19.解：从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生参加竞赛，
八年级A组的人数为人，B组的人数为人，C组的人数有6人，
八年级D组有人，则，
，
中位数落在C组，是第10，11位同学成绩的平均数，即，
七年级20名学生的竞赛成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，87，87，87，87，89，95，95，96，98，98，100，
出现次数最多的是87，
，
故答案为：85，87，40；
八年级学生的安全知识竞赛成绩较好，理由如下，
七年级的众数小于八年级的众数，
八年级学生的安全知识竞赛成绩较好；
样本中七年级安全知识竞赛成绩优秀的学生人数6人，八年级安全知识竞赛成绩优秀的学生人数8人，
人，
该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数一共约是880人．
20.解：图形如图所示：
，
垂直平分线段AB，
，，
，
∽，
，，
，
故答案为：，，，
21.解：
，
当时，原式
22.证明：由题意得，，
方程有两个不相等的实数根；
解：原方程整理得：
，
解得，，
当时，解得，，
此时等腰三角形三边分别为1，3，3，
此时能构成三角形，
，
的周长为7cm；
当时，解得，，
此时等腰三角形三边分别为3，3，5，
此时能构成三角形，
，
的周长为11cm；
综上可知，的周长为7cm或
23.解：设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：
，
解得：，不合题意舍去
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：
，
解得：，不合题意舍去
答：当商品降价5元时，商品获利4250元．
24.解：过D作于H，过C作于E，
，
四边形BCEH是矩形，
千米，，
根据题意得，，，而千米，
千米，
千米，千米，
，
千米，
千米；
如图，设出发x小时后，小江到达点M，小北到达点N，他们之间的距离千米，
连接MN，过点M作于点F，
由可得千米，
千米，F在N左边，
，
千米，千米，
千米，
在中，，
，
解得或舍去，
千米，
即小江出发千米后恰好与小北相距千米．
25.解：，，
，，
；
∽，
，
，
；
证明：，，
∽，
，
，
由得，
，
，
∽，
，
，
；
解：、，
∽，
，
，
，
如图，以点A为圆心，2为半径作，则C、D都在上，
延长到，使，交于D，，，
，
则，
，
∽，
，
点E在过点且与垂直的直线上运动，过点B作，垂足为，即为最短的BE；
连接，
，
四边形是矩形，
在中，

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