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2025-2026学年河北省石家庄市栾城区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列不是y关于x的反比例函数的是( )
A. B. C. D.
2.下列各组中的四条线段成比例的是( )
A. ，，，
B. ，，，
C. ，，，
D. ，，，
3.学校食堂有15元，18元，20元三种盒饭供学生选择每人购一份某天盒饭销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用的平均数是( )
A. 15元
B. 16元
C. 17元
D. 18元
4.如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是( )
A. ∽
B. ∽
C. ∽
D. 以上都不对
6.已知反比例函数，下列说法错误的是( )
A. 在每个象限内，y的值随x的值增大而增大
B. 是轴对称图形，也是中心对称图形
C. 过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点
D. 图象分别位于第二、四象限内
7.如图，在中，，，，则点A到BC的距离是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，反比例函数的图象经过菱形ABCD的对角线AC与BD的交点P，点B，C分别在y轴和x轴上，轴，轴，则的面积为( )
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
9.随着体育中考的临近，我校随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，并根据数据绘成统计图如下，则关于这50个数据的说法错误的是( )
A. 平均数是9 B. 众数是9 C. 中位数是9 D. 方差是9
10.如图，是的外接圆，，，则劣弧的长等于( )
A.
B.
C.
D.
11.设，是一元二次方程的两根，则的值为( )
A. 6 B. 8 C. 14 D. 16
12.如图，AB是的直径，弦，若，，则DE的长为( )
A.
B.
C. 6
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.关于x的一元二次方程的根的情况是 .
14.在中，，都是锐角，，，写出最确切的形状是 .
15.如图，是的内接三角形，AB是的直径，弦，垂足为设，，则图中阴影部分的面积为 .
16.汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时如图，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域，预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力.小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣.如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE之间的距离为，车宽，车头FACD近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在PB，PE上，点C，D在EB上，则汽车盲区EB的长度为 .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题7分
解方程：
；
18.本小题8分
如图，AB是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上.
若，求的度数；
在的条件下，的半径为2，求AB的长.
19.本小题8分
如图，在菱形ABCD中，交AB于点E，连接BD，若，求的值.
20.本小题8分
四边形ABCD为平行四边形，点E和点F分别为边AD，AB的中点，连接EF、CF，EF交对角线AC于点
若，求AG的长；
如果，求证：∽
21.本小题9分
活动背景：制作无盖方形纸盒.
现有相同的长方形硬纸板2张如图①，已知纸板的长与宽之比是2：小成将纸板的四个角各剪裁去一个相同大小的小正方形如图②，围成一个无盖的方形纸盒如图③
任务1：小成将其中一张硬纸板围成一个高是10cm、容积的方形纸盒.求原硬纸板的长和宽分别是多少？
任务2：在任务1的结论下，小成用另外一张纸板进行同样方法操作.他能否做成一个底面面积是的方形纸盒.若可以，请求出剪裁的小正方形的边长.若不可以，请说明理由.
22.本小题9分
如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东方向上，测得港口C位于B的北偏东方向上.已知港口C在灯塔M的正北方向上.
填空：______度，______度；
求灯塔M到轮船航线AB的距离结果保留根号；
求港口C与灯塔M的距离结果保留根号
23.本小题11分
如图，为的外接圆，且，BD是的直径，过点A作于点E，交BC于点F，连接
写出图中一个与相等的角；
判断的形状，并说明理由；
若，，求DE的长.
24.本小题12分
如图，正比例函数图象与反比例函数图象交于点，直线，交y轴于点B，x轴于点D，交双曲线于点C，C点横坐标为8，连接AC，
求正比例函数，反比例函数解析式；
求的面积.
点P是y轴上一点，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；请直接写出点P坐标.
参考答案
一、选择题
1.B
2.B
3.C
4.D
5.C
6.C
7.A
8.B
9.D
10.A
11.C
12.A
二、填空题
13.有两个不相等的实数根
14.等腰直角三角形
15.
16.
三、解答题
17.解：，
因式分解得：，
或，
解得：，
原式移项得：，
，
，
，
18.解：，，
平分，
，
；
的半径为2，
，
，，
，，
，
，
19.解：设，
四边形ABCD是菱形，
，
，
，
，
在中，，
由勾股定理可得，
在中，，
，
故答案为：
20.
解：如图，连接BD交AC于点O，
点E和点F分别为边AD，AB的中点，
是的中位线，，
，
，
，
四边形ABCD为平行四边形，，
，
，
，
的长为2；
证明：为边AB的中点，
，
，
，
又，
，
，
在和中，
又，
∽
21.解：任务1：设原硬纸板的宽是x cm，则长是2x cm，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
，
答：原硬纸板的长是80cm，宽是40cm；
任务2：小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒，理由如下：
设剪裁的小正方形的边长为y cm，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：剪裁的小正方形的边长为12cm时，小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒．
22.解：，，
、CM都是正北方向，
，
故答案为：30，
由知，
海里．
在中，
，
，
，
，
，
海里
答：灯塔M到轮船航线AB的距离为海里．
，，AB、CM都是正北方向，
四边形DEMC是矩形．
海里，
在中，
，
海里．
在中，
，
，
，
海里
海里．
答：港口C与灯塔M的距离为海里．
23.解：，
答案不唯一；
是等腰三角形；理由如下：
，
，
，
为的直径，
，
，
，
又，
，
，
，
，
是等腰三角形．
如图，连接OA，
在等腰中，，且，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
设的半径为r，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，
24.解：正比例函数的图象过点，
，
解得，
正比例函数的解析式为，
反比例函数图象过点，
，
解得：，
反比例函数的解析式为；
连接OC，如图，
点横坐标为8，
当时，，
，
，
设直线BC的解析式为，
，
，
直线BC的解析式为，
，
，
，
，
；
在中，令，则，
，
，
①当时，设，
，
，
，
；
②当时，
或，
或；
③当时，则，
解得，
；
综上所述．满足条件的点P的坐标为或或或

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