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参考答案
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. A 2. C 3. B 4. C 5. A 6. A 7. C 8. A
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. AC 10. AB 11. CD
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
13. 3
14.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. （1）圆的圆心为，半径，过点的切线，
若切线的斜率不存在，则直线方程为，符合题意；
若切线的斜率存在，设切线方程为，即
则根据相切可得：，即，解得，
所以切线方程为，即；
即过点的切线方程为或，
（2）由，得，
整理可得：，
设，
由，解得
则，
所以
，
即，
因为，
所以，
即的取值范围为.
16. （1）由题意，从而，
所以椭圆方程为，离心率为；
（2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾，
从而设，，
联立，化简并整理得，
由题意，即应满足，
所以，
若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设，
所以，在直线方程中令，
得，
所以，
此时应满足，即应满足或，
综上所述，满足题意，此时或
17. （1）设直线方程：，代入中，消去得.
设，则.
当时，有的最小值为.
，故的方程为.
（2）（i）设直线方程：.
由消去得.①
又由（1）知，同理.
当的斜率不存在时，的斜率不存在时，不妨设
此时，；
当的斜率存在时，直线的斜率.
直线方程为，化简得②
由①②得，即.
由得，直线过定点；
所以直线过定点；
（ii）由（i）知，
直线方程为：，点到直线的距离，
，解得或6.所以点坐标为，或.
且，或.
直线方程为或.
18. （1）为的中点，
侧面底面.
侧面底面平面，
平面.
（2）∵底面为直角梯形，
其中，
，又平面，
∴以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立
如图所示的空间直角坐标系.
则，
，
设平面PAD的法向量.
设平面的法向量，
则，取，得.
设平面与平面夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为.
（3）设线段上存在，
使得它到平面的距离为，
到平面的距离，
解得或（舍去），
则，则
19. （1）由，且为“2数列”，得，即，
则，
，
，
．
（2）设数列的公比为，
由，得，
即，
则．
两式相减得，
即．
因为是首项为2的“数列”，所以，
即，
所以，
即对任意的恒成立．
因为，，
则，即，
解得，．
又由，即，得，所以．
检验可知符合要求，故数列的通项公式为．
（3）因为为“数列”，所以，
即对任意的恒成立，
因为，，所以．
再结合，，，反复利用，
可得对任意，．
设函数，则．
由，得．
当时，，所以在上单调递减．
所以当时，，即．
又，所以．
可得，，，，
累加可得，
即，即，
所以．河南省天立教育2025—2026学年度春期高二年级开学联考
数学试题卷
本试题卷共4页，四大题，19小题，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 班级 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试题卷上无效.
3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D.
2. 已知函数，则（ ）
A. －12 B. 12 C. －26 D. 26
3. 若点在圆外，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知数列为等比数列， ，则 （ ）
A. B.
C. 2 D.
5. 点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知等差数列的公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为（ ）
A. 20 B. 24 C. 36 D. 40
8. 数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知圆，过直线上一点向圆作两切线，切点为、，则（ ）
A. 直线恒过定点 B. 最小值为
C. 最小值为 D. 满足的点有且只有一个
10. 数列满足：，，，下列说法正确的是（ ）
A. 数列为等比数列 B.
C. 数列是递减数列 D. 的前项和
11. 如图，点是棱长为2正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ）
A. 若点满足，则动点的轨迹长度为
B. 三棱锥体积最大值为
C. 当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为
D. 当在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设函数满足，则__________.
13. 已知向量，，若，则________．
14. 已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，则双曲线的渐近线方程为______．
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 已知圆.
（1）若的坐标为，求过点与圆C相切的直线方程；
（2）直线与圆交于两点，求的取值范围（为坐标原点）.
16. 已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若直线BD的斜率为0，求t的值．
17. 设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，且的最小值为4.
（1）求的方程；
（2）设过的另一直线交于两点，且点在直线上.
（i）证明：直线过定点；
（ii）对于（i）中定点，当的面积为时，求直线的方程.
18. 如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19. 已知数列的前项积为．定义：若存在，使得对任意的，恒成立，则称数列为“数列”．
（1）若，且为“2数列”，求．
（2）若，且为“数列”，的前项的平方和为，数列是各项均为正数的等比数列，满足，求的值和的通项公式．
（3）若，，且为“数列”，的前项和为，证明：．

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