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（人教2024版）八年级下册数学
《第19章二次根式》
能力测试卷
时间：120分钟 试卷满分：120分
选择题（每小题3分，共10个小题，共30分）
1．下列各式，，，中是二次根式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．以下各式不论为何实数，一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则化简的结果是（ ）
A． B． C．－ D．
4．已知是整数，则自然数的最小值是（ ）
A．12 B．9 C．1 D．4
5．当时，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．计算：2bc，则a+b+c＝（　　）
A．﹣1 B．﹣5 C．2 D．5
7．化简的结果为（ ）
A． B．0 C． D．
8．已知x2，则的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
9．如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点是C，设C点表示的数为x，则x的值为（　　）
A．1 B．1 C．1 D．2
10．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若p＝5，c＝2，则此三角形面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．5
二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分）
11.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
12．若和都是最简二次根式，则 ， ．
13．如果a＜0，b＜0，那么下列各式，①；②1；③b，④ab，正确的有 　 　．
14．已知最简二次根式与可以合并，则a+b的值为 　 　．
15．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影部分的面积为 ．
16．已知，，则代数式的值为 　 　．
三、解答题（共8个小题，共72分）
17．（每小题3分，共12分）计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
18．（8分）先化简，再求值：
(1)，其中．
(2)，其中．
（7分）【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：．
解：隐含条件，解得．
所以．
所以原式．
【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：．
【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简．
20．（7分）某居民小区有块形状为矩形ABCD的绿地，长BC为米，宽AB为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．
（1）求矩形ABCD的周长．（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
21．（8分）已知实数x，y满足．
(1)探究：x与y之间存在怎样的数量关系？并证明你的结论；
(2)计算：求代数式的值．
22．（8分）（9分）观察下列等式：
第一个等式：，
第二个等式：，
第三个等式：，
按上述规律，回答以下问题：
(1)按上面规律填空：______＝______；
(2)利用以上规律计算：；
(3)求的值．
23．（10分）若，则称x和y是关于3的平衡数．
(1)与 是关于3的平衡数；与 是关于3的平衡数；
(2)已知m为整数，若，请说明与是关于3的平衡数；
(3)已知为整数，a和b是关于3的平衡数，求的值．
24．（12分）阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：．
小明利用上述材料内容解决了问题：已知，求值．
∴，
∴，∴即，
∴，∴，
请你利用上述内容，解答下列问题：
(1)与 互为有理化因式，将分母有理化得 ；
(2)根据上面的规律，计算下列式子的值：
．
(3)利用上面的规律，比较与的大小．
(4)，求的值．
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《第19章二次根式》
能力测试卷
时间：120分钟 试卷满分：120分
选择题（每小题3分，共10个小题，共30分）
1．下列各式，，，中是二次根式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可．
【详解】解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个；
故选B．
2．以下各式不论为何实数，一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件；根据二次根式被开方数非负、分式分母不为0的条件，逐一分析各选项是否存在使式子无意义的实数，进而确定正确选项．
【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数非负，分式有意义的条件是分母不为0
对于选项A：当即时，分母，分式无意义，故A不符合题意．
对于选项B：当时，分母，分式无意义，故B不符合题意．
对于选项C：当时，被开方数，二次根式无意义；且当时，分母，分式无意义，故C不符合题意．
对于选项D：∵不论为何实数，，
∴，二次根式有意义；
又∵，
∴，分母不为，分式有意义，故D符合题意．
故选：D．
3．已知，则化简的结果是（ ）
A． B． C．－ D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简；
由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知ab必须异号，而，易确定b的取值范围，然后即可化简．
【详解】解： 有意义，
，
，
又，
，
．
故选：A．
4．已知是整数，则自然数的最小值是（ ）
A．12 B．9 C．1 D．4
【答案】D
【分析】本题考查二次根式．由是整数，可设（为非负整数），则，且，故，枚举值进而求出的可能值，即可得出答案．
【详解】解：∵是整数，
∴设，其中为整数且，
则，
∴．
又∵是自然数，
∴，即，
∴，
∴可取0，1，2，3．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
∴的可能值为13，12，9，4，最小值为4．
故选：D．
5．当时，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质．由可知，因此，代入原式，进行化简，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
6．计算：2bc，则a+b+c＝（　　）
A．﹣1 B．﹣5 C．2 D．5
【答案】A．
【分析】将化成23，得出结果为，进而确定a、b、c的值，再代入计算即可．
【详解】解：23，又2bc，
所以a＝3，b＝﹣3，c＝﹣1，
因此a+b+c＝﹣1，
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的加减法，掌握二次根式加减法的计算法则是正确解答的前提，合并同类二次根式，得出a、b、c的值是得出正确答案的关键．
7．化简的结果为（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】B
【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合完全平方公式化简二次根式．
【详解】解： 由有意义，得，即
，
∵，
∴．
又∵，
∴原式．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再结合绝对值的性质化简式子．
8．已知x2，则的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【答案】B．
【分析】直接把x、y的值代入代数式进行计算即可．
【详解】解：∵x2，
∴2．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
9．如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点是C，设C点表示的数为x，则x的值为（　　）
A．1 B．1 C．1 D．2
【答案】D．
【分析】直接根据已知得出x的值，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】解：由题意可得：AB＝CA1，
则C点坐标为：x＝1﹣（1）＝2，
故x22．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确表示出x的值是解题关键．
10．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若p＝5，c＝2，则此三角形面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．5
【答案】C．
【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式即可求出解．
【详解】解：∵p，p＝5，c＝2，
∴5，
∴a+b＝8，
∴a＝8﹣b，
∴S
当b＝4时，S有最大值为．
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积．
二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分）
11.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：式子 在实数范围内有意义，
有意义，即，解得，
且 ，解得 ．
故答案为：且．
12．若和都是最简二次根式，则 ， ．
【答案】 1 2
【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可．
【详解】解：∵和都是最简二次根式，
∴，
解得，
故答案为：1；2．
13．如果a＜0，b＜0，那么下列各式，①；②1；③b，④ab，正确的有 　 　．
【答案】②③．
【分析】根据二次根式的性质逐一进行化简即可．
【详解】解：∵a＜0，b＜0，
∴，没有意义，
故①选项不符合题意；
②1，
故②选项符合题意；
③
＝﹣b，
故③选项符合题意；
④（）2＝ab，
故④选项不符合题意，
综上所述，符合题意的有②③，
故答案为：②③．
14．已知最简二次根式与可以合并，则a+b的值为 　 　．
【答案】2．
【分析】根据同类二次根式的概念列出方程组，解方程组求出a、b，计算即可．
【详解】解：由题意得，，
解得，，
则a+b＝1+1＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
15．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形面积与边长的关系，二次根式的计算和面积的和差关系，先根据正方形面积公式求出两个小正方形的边长，进而得到大正方形的边长，再根据正方形面积公式求出大正方形的面积，最后用大正方形的面积减去两个小正方形的面积，即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：∵大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为，
∴阴影部分的面积为．
16．已知，，则代数式的值为 　 　．
【答案】．
【分析】先利用完全平方公式化简要求代数式，再将已知条件转化成要求代数式形式代入求解即可．
【详解】解：原式：，
∵，，
∴，
∴，
∴将，，代入，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，重点掌握二次根式的运算是解题的关键，熟练运用完全平方将二次根式简单化．
三、解答题（共8个小题，共72分）
17．（每小题3分，共12分）计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)2014
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、实数的运算、零指数幂运算、负整数指数幂运算、利用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，熟练掌握运算法则和运算公式是解题的关键．
（1）首先进行绝对值运算、算术平方根运算、零指数幂运算以及负整数指数幂运算，然后进行加减运算即可；
（2）首先根据二次根式的性质进行化简，然后合并同类二次根式即可；
（3）首先进行二次根式乘除运算法则求解即可；
（4）首先利用平方差公式和完全平方公式进行运算，然后相加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
18．（8分）先化简，再求值：
(1)，其中．
(2)，其中．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，平方差公式和完全平方公式，二次根式的化简，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）先对分式进行化简，然后代数求值即可；
（2）先对分式进行化简，然后代数求值即可．
【详解】（1）解：
将代入上式得，
原式；
（2）解：
将代入上式得，
原式．
（7分）【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：．
解：隐含条件，解得．
所以．
所以原式．
【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：．
【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简．
【答案】（1） (2)
【分析】本题主要考查了化简二次根式，数轴，绝对值化简等知识，熟练掌握二次根式有意义的条件和绝对值的化简，是解题的关键．
（1）根据二次根式被开方数有意义的条件得出不等式从而解出的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答．
（2）由数轴得出、、的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴原式，
，
，
．
（2）∵实数在数轴上的位置如图所示，
∴，，
∴原式，
，
．
20．（7分）某居民小区有块形状为矩形ABCD的绿地，长BC为米，宽AB为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．
（1）求矩形ABCD的周长．（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【答案】（1）26（米）；（2）336元．
【分析】（1）根据矩形的周长＝（长+宽）×2计算即可；
（2）先求出通道的面积，再算钱数即可．
【想】解：（1）（）×2
＝（85）×2
＝132
＝26（米），
答：矩形ABCD的周长为26米；
（2）2×（1）×（1）
＝852×（13﹣1）
＝80﹣24
＝56（平方米），
6×56＝336（元），
答：购买地砖需要花费336元．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，最简二次根式，掌握 （a≥0，b≥0）是解题的关键．
21．（8分）已知实数x，y满足．
(1)探究：x与y之间存在怎样的数量关系？并证明你的结论；
(2)计算：求代数式的值．
【答案】(1)；证明见解析
(2)
【分析】本题是二次根式的化简和求值．本题利用巧解将已知式变成两式，相加后得出结论．
（1）将式子变形后，再分母有理化得①式：，同理得②式：，将两式相加可得结论；
（2）将代入原式或①式得：，代入所求式子即可．
【详解】（1）解：．
∴．
∴①
同理得：②
得：，
∴；
（2）解：把代入①，得，
∴．
则
．
22．（8分）（9分）观察下列等式：
第一个等式：，
第二个等式：，
第三个等式：，
按上述规律，回答以下问题：
(1)按上面规律填空：______＝______；
(2)利用以上规律计算：；
(3)求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】本题考查规律型—数字的变化类，二次根式的混合运算，
（1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四个等式；
（2）把所给式子相加，找出规律即可进行计算；
（3）根据所给规律探索将原式转化为，再根据平方差公式易得结果．
【详解】（1）解：∵，
，
，
∴，
故答案为：；；
（2）解：
；
（3）解：
．
23．（10分）若，则称x和y是关于3的平衡数．
(1)与 是关于3的平衡数；与 是关于3的平衡数；
(2)已知m为整数，若，请说明与是关于3的平衡数；
(3)已知为整数，a和b是关于3的平衡数，求的值．
【答案】(1)；
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了实数的新定义以及二次根式的加减混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据若，则称x和y是关于3的平衡数，直接列式作答即可；
（2）先得，根据题意结果为，可求出，再结合“3的平衡数”的定义进行分析，即可作答．
（3）先得，则，再根据，可求出，即可作答．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴3与是关于3的平衡数；
∵，
∴与是关于3的平衡数，
故答案为：0，；
（2）解：由题意得，
∴和，
解得，
∴
，
∴二者是关于3的平衡数；
（3）解：∵与是关于3的平衡数，
∴
，
由题意得，
，
又∵，
∴，，
∴，
∴
解得，
∴
，
∴.
24．（12分）阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：．
小明利用上述材料内容解决了问题：已知，求值．
∴，
∴，∴即，
∴，∴，
请你利用上述内容，解答下列问题：
(1)与 互为有理化因式，将分母有理化得 ；
(2)根据上面的规律，计算下列式子的值：
．
(3)利用上面的规律，比较与的大小．
(4)，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简，代数式的恒等变形，解题的关键在于掌握分母有理化的计算方法，记得分子分母同时乘以相同的数，避免遗漏分子．
（1）①对根据有理化因式的定义写出式子，并计算，看看是否符合条件；②将分母有理化，分子分母同乘，化简即可；
（2）现将每个分式进行分母有理化，发现分母都为，分子可相加减，计算后得，再与相乘，用平方差公式计算即可；
（3）将和进行分母有理化得逆运算，得到分母为二次根式相加的一个分式，方便比较大小；
（4）将进行分母有理化得出，再根据需要找到，，，便于进行降次计算，代入目标多项式化简计算即可．
【详解】（1）①∵
不含根号，
∴与互为有理化因式．
故答案为．
②将分母有理化得
故答案为．
（2）
（3）∵，
∴
（4）将进行分母有理化得，
两边平方得，
，
，
，
则，
∴
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