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第六章
6.2　平面向量的运算
平面向量及其应用
第1课时　向量的加法运算
学习 目标 1．理解并掌握向量加法的概念；掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算，会用它们解决实际问题．
2．了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性．
新知初探·基础落实
在物理学中，我们知道一个质点从点A移动到点B，再从点B移动到点C，与从点A直接移动到点C的位移结果相同．这说明位移这一矢量是可以合成的，即矢量是可以做加法运算的．
我们知道，位移、力是向量，它们可以合成．那么，能否从位移、力的合成中得到启发，引进向量的加法呢？
一、 概念生成
如图，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？
问题：(1) 物理学中的矢量与我们所学的向量有什么区别和联系？
联系：矢量和向量都是既有大小又有方向的量．
区别：物理学中的矢量通常是有作用点的，如：力、位移等，但是数学中的向量是自由向量，是可以任意平移的，即向量的应用范围更广．
(2) 我们能不能把物理中位移的合成的有关方法和经验用于向量的合成？
物理知识告诉我们，这个质点两次位移，的结果，与从点A直接移动到点C的位移结果相同．因此，位移可以看成是位移合成的．数的加法启发我们，从运算的角度看，可以看作的和，即位移的合成可以看作向量的加法．
请同学阅读课本P7—P10，完成下列填空．
二、 概念表述
1．向量加法的定义
(1) 定义：求两个向量______的运算，叫做向量的加法．
(2) 对于零向量与任意向量a，规定：
a＋0＝_____＋a＝______．
和
0
a
2．向量求和的法则
三角 形法则
平行四边 形法则
已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作________，即a＋b＝＋＝_______
以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作OACB，则以O为起点的向量(OC是□OACB的对角线)就是向量a与b的和
a＋b
3．|a＋b|与|a|，|b|之间的关系
一般地，我们有|a＋b|______|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时等号成立．
≤
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) ＋＝． (　　)
(2) ＋＝． (　　)
(3) ＋＝0． (　　)
(4) ＋＋＝． (　　)
√
×
×
√
典例精讲·能力初成
探究
1
向量加法的三角形法则和平行四边形法则
　　　(课本P8例1)如图，已知向量a，b，求作向量a＋b．
1
【解答】
　　　　方法一(三角形法则)：在平面内任取一点O(如图(1))，作＝a，＝b，则＝a＋b．
方法二(平行四边形法则)：在平面内任取一点O(如图(2))，作＝a，＝b．以OA，OB为邻边作□OACB，连接OC，则＝＋＝a＋b．
图(1)
图(2)
已知向量a与向量b，要作出和向量a＋b，关键是准确规范地依据平行四边形法则或三角形法则作图．利用三角形法则作图时要注意首尾相接；利用平行四边形法则作图时要注意共起点．
变式　(1) 如图所示，求作向量a＋b；
【解答】
　　　　首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b．如图所示．
变式　(2) 如图所示，求作向量a＋b＋c．
【解答】
　　　　方法一(三角形法则)：如图(1)所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．
图(1)
方法二(平行四边形法则)：如图(2)所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b，再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求．
图(2)
探究
2
向量的加法运算
　　　化简：
(1) ＋；
2
【解答】
　　　　＋＝＋＝．
(2) ＋＋；
【解答】
　　　　＋＋＝(＋)＋＝＋＝0．
【解答】
　　　　＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0．
(3) ＋＋＋＋．
在向量的加法运算中，通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过加法的结合律调整向量相加的顺序，可以省去画图步骤，加快解题速度．
变式　如图，已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：
(1) ＋；
【解答】
　　　　由题图知，四边形OAFE为平行四边形，所以＋＝．
(2) ＋；
【解答】
　　　　由题图知，四边形OABC为平行四边形，所以＋＝．
(3) ＋．
【解答】
　　　　由题图知，四边形AEDB为平行四边形，所以＋＝．
探究
3
向量加法的应用
视角1　向量加法法则的几何应用
　　　　　若＝＝1，则的取值范围为_________．
【解答】
　　　　因为＝＝1，所以0＝＋＝2，当且仅当a与b共线时取等号，其中左端的等号是a与b反向时取得，右端的等号是a与b同向时取得，所以|a＋b|∈［0，2］．
[0，2]
3－1
(1) 对于任意向量a，b，都有||a| |b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|；
(2) 当a，b共线，且同向时，有|a＋b|＝|a|＋|b|；
(3) 当a，b共线，且反向时，有|a＋b|＝||a| |b||．
变式　 (多选)设(＋)＋(＋)＝a，b是非零向量，则下列结论正确的是 (　 　)
A．a∥b　　　 B．a＋b＝a
C．a＋b＝b　 D．＋
【解析】
　　　　因为a＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝0，又b是非零向量，所以a∥b，故A正确；a＋b＝b，故B错误，C正确；又＝，所以＝＋，故D错误．
AC
视角2　向量加法法则的实际应用
　　　　　(课本P9例2)长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 km/h，同时江水的速度为向东6 km/h．
【解答】
　　　　如图，表示船速，表示江水速度，以AD，AB为邻边作□ABCD，则表示船实际航行的速度．
3－2
(1) 用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
　　　　　(课本P9例2)长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 km/h，同时江水的速度为向东6 km/h．
【解答】
　　　　在Rt△ABC中，||＝6，||＝15，于是||＝＝＝≈16.2．因为tan∠CAB＝＝，所以利用计算工具可得
∠CAB≈68°．因此，船实际航行速度的大小约为16.2 km/h，方向与江水速度间的夹角约为68°．
3－2
(2) 求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到1°)．
变式　已知在静水中船行速度的大小为20 m/min，水流速度的大小为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
【解答】
　　　　如图，表示船速，表示水流速度，以AB，AD为邻边作□ABCD，则表示船实际航行的速度．设船行进的方向与岸的方向成α角．在Rt△ACD中，||＝||＝10，||＝20，所以cos α＝＝＝，所以α＝60°，故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向．
随堂内化·及时评价
1．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝ (　　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】
　　　　设a＝＋，利用平行四边形法则作出向量＋，再平移即发现a＝．
C
2．在平行四边形ABCD中，设对角线AC与BD相交于点O，则＋＝ (　　)
A．2　 B．2
C．　 D．
【解析】
　　　　因为四边形ABCD为平行四边形，所以＋＝0，故＋＝＋＋＋＝2＝2．
B
3．下列结论中错误的是 (　　)
A．a＋0＝0＋a＝a
B．＋＋＝0
C．在平行四边形ABCD中，＋＋＋＝0
D．＋＝＋＋
【解析】
　　　　A中，根据0加任何向量都等于原向量，向量加法满足交换律，故A正确；B中，因为＋＝，所以原式＝＋≠0，故B错误；C中，因为在平行四边形ABCD中，＋＝0，＋＝0，故C正确；D中，因为＋＋＝＋＝0，＋＝0，故D正确．
B
4．已知非零向量a，b，c，在(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的向量的个数为 (　　)
A．5　 B．4
C．3　 D．2
A
5．(课本P10练习5)有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为15 km/h，方向为北偏西30°，河水的速度为向东7.5 km/h，求小船实际航行速度的大小与方向．
【解答】
　　　　如图，为河水速度，为小船航行速度，设为小船实际航行速度，E为渡口A在对岸对应的点，则∠AEC＝90°，∠CAE＝30°．在Rt△ACE中，因为AC＝||＝15，所以CE＝
AC＝7.5＝||，所以E与D重合，||＝AE＝
＝＝(km/h)．所以小船实际航行速度的大小为 km/h，方向为正北方向．6.2　平面向量的运算
第1课时　向量的加法运算
一、 单项选择题
1．＋＋＋＋＝(　　)
A． B．0
C． D．
2．如图，在 ABCD中，＋＋＝(　　)
(第2题)
A．
B．
C．
D．
3．已知向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向南航行1 km”，则a＋b表示(　　)
A．向东南航行 km
B．向东南航行2 km
C．向东北航行 km
D．向东北航行2 km
4．在正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)
A． B．
C． D．
二、 多项选择题
5．下列结论正确的是(　　)
A．＋＋＝
B．(＋)＋(＋) ＝
C．＋＝0
D．＋＋＝
6．如图，在 ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的有(　　)
(第6题)
A．＝＝
B．＋＝
C．＋＝＋
D．＋＋＝
三、 填空题
7．已知正方形ABCD的边长为2，则|＋|＝ ________．
8．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，则的取值范围是________．
四、 解答题
9．如图，求：
(1) a＋d； 　　　　(2) c＋b；
(3) e＋c＋b； 　　　　(4) c＋f＋b.
(第9题)
10．如图，一架飞机从A地按北偏东35°方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.
(第10题)
11．若a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则(　　)
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a∥b，且a与b方向相反
C．a＝b
D．a，b无论什么关系均可
12．如图，O是线段A0A101外一点，若A0，A1，A2，…，A101中，相邻两点间的距离相等，且＝a，＝b，则＋＋＋…＋＝ ________.(用a，b表示，a＋a可用2a表示)
(第12题)
13．如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点，求证：＋＋＝0.
(第13题)
第1课时　向量的加法运算
基础打底·熟练掌握
1．B　【解析】 ＋＋＋＋＝(＋＋)＋(＋)＝0＋0＝0.
2．C　3．A
4．D　【解析】 因为＋＋＝＋＋＝，故D正确.如图，显然≠，≠，≠，故A，B，C均错误.
(第4题)
5．ABD　6．BC
7．2　【解析】 |＋|＝||＝2.
8．［2，8］
9．【解答】 (1) a＋d＝d＋a＝＋＝.
(2) c＋b＝＋＝.
(3) e＋c＋b＝e＋(c＋b)＝e＋＝＋＝.
(4) c＋f＋b＝(c＋b)＋f＝＋＝.
10．【解答】 设，分别表示飞机从A地按北偏东35°方向飞行800 km，从B地按南偏东55°方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是||＋||，两次飞行的位移的和为＋＝.依题意，有||＋||＝800＋800＝1 600(km).又∠ABC＝35°＋55°＝90°，所以||＝＝＝800(km)，其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移的和的大小为800 km，方向为北偏东80°.
能力进阶·融会贯通
11．A　【解析】 当两个非零向量a，b不共线时，a＋b的方向与a，b的方向都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|；当两个非零向量a，b同向时，a＋b的方向与a，b的方向都相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|；当两个非零向量a，b反向且|a|<|b|时，a＋b的方向与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.所以对于非零向量a，b，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则a∥b，且a与b方向相同.
12．51(a＋b)　【解析】 设A为线段A0A101的中点，则A也为线段A1A100，A2A99，A3A98，…，A50A51的中点，由向量加法的平行四边形法则可得＋＝2＝a＋b，＋＝2＝a＋b，…，＋＝2＝a＋b，所以＋＋…＋＋＝51(a＋b).
13．【解答】 由题意知＝＋，＝＋，＝＋.由平面几何知识可知＝，＝，所以＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋(＋)＋0＝＋＝0.6.2　平面向量的运算
第1课时　向量的加法运算
学习 目标 1．理解并掌握向量加法的概念；掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算，会用它们解决实际问题． 2．了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性．
新知初探基础落实
在物理学中，我们知道一个质点从点A移动到点B，再从点B移动到点C，与从点A直接移动到点C的位移结果相同．这说明位移这一矢量是可以合成的，即矢量是可以做加法运算的．
我们知道，位移、力是向量，它们可以合成．那么，能否从位移、力的合成中得到启发，引进向量的加法呢？
一、 概念生成
如图，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？
问题：(1) 物理学中的矢量与我们所学的向量有什么区别和联系？
联系：矢量和向量都是既有大小又有方向的量．
区别：物理学中的矢量通常是有作用点的，如：力、位移等，但是数学中的向量是自由向量，是可以任意平移的，即向量的应用范围更广．
(2) 我们能不能把物理中位移的合成的有关方法和经验用于向量的合成？
物理知识告诉我们，这个质点两次位移，的结果，与从点A直接移动到点C的位移结果相同．因此，位移可以看成是位移与合成的．数的加法启发我们，从运算的角度看，可以看作与的和，即位移的合成可以看作向量的加法．
请同学阅读课本P7—P10，完成下列填空．
二、 概念表述
1．向量加法的定义
(1) 定义：求两个向量__和__的运算，叫做向量的加法．
(2) 对于零向量与任意向量a，规定：
a＋0＝__0__＋a＝__a__．
2．向量求和的法则
三角 形法 则 已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作__a＋b__，即a＋b＝＋＝____
平行 四边 形法 则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作 OACB，则以O为起点的向量(OC是 OACB的对角线)就是向量a与b的和
3．|a＋b|与|a|，|b|之间的关系
一般地，我们有|a＋b|__≤__|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时等号成立．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) ＋＝．(　√　)
(2) ＋＝．(　×　)
(3) ＋＝0．(　×　)
(4) ＋＋＝．(　√　)
典例精讲能力初成
探究1　向量加法的三角形法则和平行四边形法则
例1　(课本P8例1)如图，已知向量a，b，求作向量a＋b．
【解答】方法一(三角形法则)：在平面内任取一点O(如图(1))，作＝a，＝b，则＝a＋b．
方法二(平行四边形法则)：在平面内任取一点O(如图(2))，作＝a，＝b．以OA，OB为邻边作 OACB，连接OC，则＝＋＝a＋b．
图(1)
图(2)
已知向量a与向量b，要作出和向量a＋b，关键是准确规范地依据平行四边形法则或三角形法则作图．利用三角形法则作图时要注意首尾相接；利用平行四边形法则作图时要注意共起点．
变式　(1) 如图所示，求作向量a＋b；
【解答】首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b．如图所示．
(2) 如图所示，求作向量a＋b＋c．
【解答】方法一(三角形法则)：如图(1)所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．
图(1)
方法二(平行四边形法则)：如图(2)所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b，再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求．
图(2)
探究2　向量的加法运算
例2　化简：
(1) ＋；
【解答】＋＝＋＝．
(2) ＋＋；
【解答】＋＋＝(＋)＋＝＋＝0．
(3) ＋＋＋＋．
【解答】＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0．
在向量的加法运算中，通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过加法的结合律调整向量相加的顺序，可以省去画图步骤，加快解题速度．
变式　如图，已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：
(1) ＋；
【解答】由题图知，四边形OAFE为平行四边形，所以＋＝．
(2) ＋；
【解答】由题图知，四边形OABC为平行四边形，所以＋＝．
(3) ＋．
【解答】由题图知，四边形AEDB为平行四边形，所以＋＝．
探究3　向量加法的应用
视角1　向量加法法则的几何应用
例3 1　若＝＝1，则的取值范围为__［0，2］__．
【解析】因为＝＝1，所以0＝＋＝2，当且仅当a与b共线时取等号，其中左端的等号是a与b反向时取得，右端的等号是a与b同向时取得，所以|a＋b|∈［0，2］．
(1) 对于任意向量a，b，都有||a| |b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|；
(2) 当a，b共线，且同向时，有|a＋b|＝|a|＋|b|；
(3) 当a，b共线，且反向时，有|a＋b|＝||a| |b||．
变式　(多选)设(＋)＋(＋)＝a，b是非零向量，则下列结论正确的是(　AC　)
A．a∥b　　　 B．a＋b＝a
C．a＋b＝b　 D．＋
【解析】因为a＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝0，又b是非零向量，所以a∥b，故A正确；a＋b＝b，故B错误，C正确；又＝，所以＝＋，故D错误．
视角2　向量加法法则的实际应用
例3 2　(课本P9例2)长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 km/h，同时江水的速度为向东6 km/h．
(1) 用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
【解答】如图，表示船速，表示江水速度，以AD，AB为邻边作 ABCD，则表示船实际航行的速度．
(2) 求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到1°)．
【解答】在Rt△ABC中，||＝6，||＝15，于是||＝＝＝≈16.2．因为tan∠CAB＝＝，所以利用计算工具可得∠CAB≈68°．因此，船实际航行速度的大小约为16.2 km/h，方向与江水速度间的夹角约为68°．
变式　已知在静水中船行速度的大小为20 m/min，水流速度的大小为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
【解答】如图，表示船速，表示水流速度，以AB，AD为邻边作 ABCD，则表示船实际航行的速度．设船行进的方向与岸的方向成α角．在Rt△ACD中，||＝||＝10，||＝20，所以cos α＝＝＝，所以α＝60°，故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向．
随堂内化及时评价
1．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　C　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】设a＝＋，利用平行四边形法则作出向量＋，再平移即发现a＝．
2．在平行四边形ABCD中，设对角线AC与BD相交于点O，则＋＝(　B　)
A．2　 B．2
C．　 D．
【解析】因为四边形ABCD为平行四边形，所以＋＝0，故＋＝＋＋＋＝2＝2．
3．下列结论中错误的是(　B　)
A．a＋0＝0＋a＝a
B．＋＋＝0
C．在平行四边形ABCD中，＋＋＋＝0
D．＋＝＋＋
【解析】A中，根据0加任何向量都等于原向量，向量加法满足交换律，故A正确；B中，因为＋＝，所以原式＝＋≠0，故B错误；C中，因为在平行四边形ABCD中，＋＝0，＋＝0，故C正确；D中，因为＋＋＝＋＝0，＋＝0，故D正确．
4．已知非零向量a，b，c，在(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的向量的个数为(　A　)
A．5　 B．4
C．3　 D．2
5．(课本P10练习5)有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为15 km/h，方向为北偏西30°，河水的速度为向东7.5 km/h，求小船实际航行速度的大小与方向．
【解答】如图，为河水速度，为小船航行速度，设为小船实际航行速度，E为渡口A在对岸对应的点，则∠AEC＝90°，∠CAE＝30°．在Rt△ACE中，因为AC＝||＝15，所以CE＝AC＝7.5＝||，所以E与D重合，||＝AE＝＝＝(km/h)．所以小船实际航行速度的大小为 km/h，方向为正北方向．

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