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第六章
6.2　平面向量的运算
平面向量及其应用
第2课时　向量的减法运算
学习 目标 1．理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量减法的意义．
2．掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算．
3．能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．
新知初探·基础落实
在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”．类比数的减法，可以定义向量的减法．
一、 概念生成
问题1：如图，向量是向量与向量x的和，你能作出向量x吗？
能．连接BD，由向量加法的三角形法则可知＋＝，故x＝．
问题2：若a，b是不共线的两个向量，则|a＋b|与|a b|的几何意义分别是什么？
如图所示，设＝a，＝b．根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有＝a＋b，＝a b．因为四边形OACB是平行四边形，所以|a＋b|＝||，|a b|＝||，即分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长．
请同学阅读课本P11—P12，完成下列填空．
二、 概念表述
1．相反向量
定义 与向量a长度________，方向________的向量，叫做a的相反向量，记作________
规定 零向量的相反向量仍是零向量
结论 a和 a互为相反向量，于是 ( a)＝______
a＋( a)＝( a)＋a＝_____
如果a，b互为相反向量，那么a＝ b，b＝ a，a＋b＝_____
相等
相反
a
a
0
0
2．向量的减法
定义 求两个向量______的运算，a b＝a＋( b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的____________
作法 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a b．如图所示
几何 意义 如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a b可以表示为从向量b的________指向向量a的________的向量
差
相反向量
终点
终点
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 0 a＝ a． (　　)
(2) ( a)＝a． (　　)
(3) a＋( a)＝0． (　　)
(4) a b＝a＋( b)． (　　)
√
√
×
√
典例精讲·能力初成
探究
1
向量减法及其几何意义
　　　 (课本P12例3)如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a b，c d．
1
【解答】
　　　　如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a b，＝c d．
求作两个向量的差向量的两种思路
(1) 可以转化为向量的加法来进行，如作a b，可以先作 b，然后作a＋( b)即可．
(2) 可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
变式　如图，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作向量：
(1) a＋b＋c；
【解答】
　　　　(1) 由已知得a＋b＝＋＝，又＝c，所以延长AC至点E，使||＝||，则a＋b＋c＝，如图所示．
变式　如图，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作向量：
(2) a b＋c．
【解答】
　　　　a b＝＝＋＝，作＝，则＋＝，即a b＋c＝，如图所示．
探究
2
向量的减法运算
　　　化简：(1) ＋；
2
【解答】
　　　　＋＝(＋) (＋)＝＝0．
(2) ＋＋．
【解答】
　　　　＋＋＝(＋)＋()＝＋＝0．
变式　化简：(1) () ()；
【解答】
　　　　() ()＝(＋) (＋)＝＝0．
(2) (＋＋) ()．
【解答】
　　　　(＋＋) ()＝(＋) ()＝＝0．
探究
3
利用已知向量表示其他向量
　　　(课本P12例4)如图，在□ABCD中，＝a，＝b，你能用a，b表示向量，吗？
3
【解答】
　　　　由向量加法的平行四边形法则，我们知道＝a＋b．同样，由向量的减法，知＝＝a b．
用已知向量表示其他向量的步骤
(1) 首先要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．
(2) 主要应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题，在封闭图形中可利用向量加法的多边形法则．
变式　如图，四边形ACDE是平行四边形，点B是平行四边形ACDE内一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，．
【解答】
　　　　因为四边形ACDE是平行四边形，所以＝＝c，＝＝b a，＝＋＝b a＋c．
探究
4
向量的模及三角不等式
　　　已知||＝2，||＝1，求||的最大值和最小值．
4
【解答】
　　　　因为||＝2，||＝1，所以||＝|＋()|≤||＋||＝3，当且仅当，即的方向相同时取等号；||＝|＋()|≥|| ||＝1，当且仅当，即的方向相反时取等号．所以||的最大值是3，最小值是1．
向量三角不等式
(1) 已知非零向量a，b，则||a| |b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(当a与b反向共线时左边等号成立；当a与b同向共线时右边等号成立)；
(2) 已知非零向量a，b，则||a| |b||≤|a b|≤|a|＋|b|(当a与b同向共线时左边等号成立；当a与b反向共线时右边等号成立)．
变式　若||＝7，||＝4，则||的取值范围是___________．
【解析】
　　　　由题意知||＝7，||＝4，且||＝||．当，同向时，||取得最小值，||＝||＝||| |||＝|4 7|＝3；当，反向时，||取得最大值，||＝||＝|||＋|||＝|4＋7|＝11；当，不共线时，3＝||| |||＜||＜|||＋|||＝11．故||的取值范围是[3，11]．
[3，11]
随堂内化·及时评价
1．化简：＋＝ (　　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】
　　　　＋＝()＋()＝＋＝．
D
2．如图，在△ABC中，D是BC上一点，则＋＝ (　　)
A．　 B．
C．　 D．
D
3．如图，若点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＝ (　　)



A．　 B．
C．　 D．
D
4．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则＝ (　　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】
　　　　＝＝＝．
D
5．已知||＝a，||＝b(a＞b)，||的取值范围是［5，15］，则a，b的值分别为_________．
【解析】
　　　　因为a b＝||| |||≤||＝||≤||＋||＝a＋b，所以解得
10，5第2课时　向量的减法运算
一、 单项选择题
1．化简＋所得的结果是(　　)
A． B．
C．0 D．
2．如图，在 ABCD中，＝(　　)
(第2题)
A． B．
C． D．
3．已知矩形ABCD的对角线相交于点O，则＝ (　　)
A． B．
C． D．
4．下列说法正确的是(　　)
A．若a与b都是单位向量，则a＝b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＋b＝0，则|a|＝|b|
D．若a－b＝0，则a与b是相反向量
二、 多项选择题
5．已知A，B，C，D四点不共线，下列等式能判断四边形ABCD为平行四边形的是(　　)
A．＝
B．＝(O为平面内任意一点)
C．＋＝
D．＋＝＋(O为平面内任意一点)
6．下列结论恒为零向量的是(　　)
A．－(＋)
B．＋
C．＋
D．＋＋
三、 填空题
7．如图，在矩形ABCD中，||＝2，||＝4，则|＋|＝________，|＋＋|＝________．
(第7题)
8．若向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，则|a＋b|的最小值为________，|a－b|的最大值为________．
四、 解答题
9．如图，解答下列各题：
(第9题)
(1) 用a，d，e表示；
(2) 用b，c表示；
(3) 用a，b，e表示；
(4) 用d，c表示.
10．如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ＋；
(5) .
(第10题)
11．设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝||，则||＝(　　)
A．8 B．4
C．2 D．1
12．(多选)一艘船在静水中的航行速度为5 km/h，河水的流速为3 km/h，则船的实际航行的速度可能为(　　)
A．1 km/h B．5 km/h
C．8 km/h D．10 km/h
13．已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|＝________．
14．已知△OAB中，＝a，＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|及△OAB的面积.
第2课时　向量的减法运算
基础打底·熟练掌握
1．C　2．B　
3．D　【解析】 在矩形ABCD中，＝，又因为AC∩BD＝O，则＝，因此，－＝－＝＝.
4．C　【解析】 对于A，若a与b都是单位向量，此时a与b的方向可能不相同，故不能得到a＝b，所以A错误；对于B，只有方向相同且长度相等才有a＝b，所以B错误；对于C，若a＋b＝0，则a＝－b，所以|a|＝|－b|＝|b|，所以C正确；对于D，若a－b＝0，则a＝b，所以a与b不是相反向量，所以D错误.　
5．ABC　【解析】 因为A，B，C，D四点不共线，对于A，＝，所以AB∥DC且AB＝DC，所以四边形ABCD为平行四边形，故A正确；对于B，因为－＝－，所以＝，所以AB∥DC且AB＝DC，所以四边形ABCD为平行四边形，故B正确；对于C，因为＋＝，即＋＝＋，所以＝，所以AD∥BC且AD＝BC，所以四边形ABCD为平行四边形，故C正确；对于D，因为＋＝＋，所以－＝－，即＝，所以四边形ABDC为平行四边形，故D错误.
6．BCD　【解析】 对于A，－(＋)＝－＝2，A错；对于B，－＋－＝＋＋＝＋＝0，B正确；对于C，－＋＝＋＝0，C正确；对于D，＋＋－＝＋＝0，D正确.
7．4　8　【解析】 在矩形ABCD中，因为＋－＝＋＋＝＋，所以|＋－|＝2||＝4.因为＋＋＝＋＋＝＋，所以|＋＋|＝2||＝8.
8．1　5
9．【解答】 由题意知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e.
(1) ＝＋＋＝a＋d＋e.
(2) ＝－＝－－＝－b－c.
(3) ＝＋＋＝a＋b＋e.
(4) ＝－＝－(＋)＝－c－d.
10．【解答】 (1) ＝－＝c－a.
(2) ＝＋＝－＝d－a.
(3) －＝＝－＝d－b.
(4) ＋＝－＋－＝b－a＋f－c.
(5) －＝－－(－)＝－＝f－d.
能力进阶·融会贯通
11．C　【解析】 根据|＋|＝|－|可知，△ABC是以A为直角的直角三角形.因为||2＝16，所以||＝4，又M是BC的中点，所以||＝|＝×4＝2.
12．BC　【解析】 设该船实际航行的速度为v.因为船的实际航行速度为静水中的航行速度与水流速度的合速度，所以||v静|－|v水||≤|v|≤|v静|＋|v水|.因为船在静水中的航行速度为5 km/h，河水的流速为3 km/h，所以5－3≤|v|≤5＋3，即2≤|v|≤8，所以船实际航行的速度的取值范围是［2，8］.
13．4　【解析】 设＝a，＝b，则||＝|a－b|.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则||＝|a＋b|.由于(＋1)2＋(－1)2＝42，故||2＋||2＝||2，所以△OAB是直角三角形，∠AOB＝90°，从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形.根据矩形的对角线相等得||＝||＝4，即|a＋b|＝4.
14．【解答】 由已知得||＝||，如图，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，且＝a＋b，＝a－b.由于|a|＝|b|＝|a－b|，则OA＝OB＝BA，所以△OAB为正三角形，所以|a＋b|＝||＝2×＝2，S△OAB＝×2×＝.
(第14题)第2课时　向量的减法运算
学习 目标 1．理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量减法的意义． 2．掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算． 3．能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．
新知初探基础落实
在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”．类比数的减法，可以定义向量的减法．
一、 概念生成
问题1：如图，向量是向量与向量x的和，你能作出向量x吗？
能．连接BD，由向量加法的三角形法则可知＋＝，故x＝．
问题2：若a，b是不共线的两个向量，则|a＋b|与|a b|的几何意义分别是什么？
如图所示，设＝a，＝b．根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有＝a＋b，＝a b．因为四边形OACB是平行四边形，所以|a＋b|＝||，|a b|＝||，即分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长．
请同学阅读课本P11—P12，完成下列填空．
二、 概念表述
1．相反向量
定义 与向量a长度__相等__，方向__相反__的向量，叫做a的相反向量，记作__ a__
规定 零向量的相反向量仍是零向量
结论 a和 a互为相反向量，于是 ( a)＝__a__
a＋( a)＝( a)＋a＝__0__
如果a，b互为相反向量，那么a＝ b，b＝ a，a＋b＝__0__
2．向量的减法
定义 求两个向量__差__的运算，a b＝a＋( b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的__相反向量__
作法 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a b．如图所示
几何 意义 如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a b可以表示为从向量b的__终点__指向向量a的__终点__的向量
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 0 a＝ a．(　√　)
(2) ( a)＝a．(　√　)
(3) a＋( a)＝0．(　×　)
(4) a b＝a＋( b)．(　√　)
典例精讲能力初成
探究1　向量减法及其几何意义
例1　(课本P12例3)如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a b，c d．
【解答】如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a b，＝c d．
求作两个向量的差向量的两种思路
(1) 可以转化为向量的加法来进行，如作a b，可以先作 b，然后作a＋( b)即可．
(2) 可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
变式　如图，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作向量：
(1) a＋b＋c；
【解答】(1) 由已知得a＋b＝＋＝，又＝c，所以延长AC至点E，使||＝||，则a＋b＋c＝，如图所示．
(2) a b＋c．
【解答】a b＝＝＋＝，作＝，则＋＝，即a b＋c＝，如图所示．
探究2　向量的减法运算
例2　化简：(1) ＋；
【解答】＋＝(＋) (＋)＝＝0．
(2) ＋＋．
【解答】＋＋＝(＋)＋()＝＋＝0．
变式　化简：(1) () ()；
【解答】() ()＝(＋) (＋)＝＝0．
(2) (＋＋) ()．
【解答】(＋＋) ()＝(＋) ()＝＝0．
探究3　利用已知向量表示其他向量
例3　(课本P12例4)如图，在 ABCD中，＝a，＝b，你能用a，b表示向量，吗？
【解答】由向量加法的平行四边形法则，我们知道＝a＋b．同样，由向量的减法，知＝＝a b．
用已知向量表示其他向量的步骤
(1) 首先要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．
(2) 主要应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题，在封闭图形中可利用向量加法的多边形法则．
变式　如图，四边形ACDE是平行四边形，点B是平行四边形ACDE内一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，．
【解答】因为四边形ACDE是平行四边形，所以＝＝c，＝＝b a，＝＋＝b a＋c．
探究4　向量的模及三角不等式
例4　已知||＝2，||＝1，求||的最大值和最小值．
【解答】因为||＝2，||＝1，所以||＝|＋()|≤||＋||＝3，当且仅当与，即与的方向相同时取等号；||＝|＋()|≥|| ||＝1，当且仅当与，即与的方向相反时取等号．所以||的最大值是3，最小值是1．
向量三角不等式
(1) 已知非零向量a，b，则||a| |b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(当a与b反向共线时左边等号成立；当a与b同向共线时右边等号成立)；
(2) 已知非零向量a，b，则||a| |b||≤|a b|≤|a|＋|b|(当a与b同向共线时左边等号成立；当a与b反向共线时右边等号成立)．
变式　若||＝7，||＝4，则||的取值范围是__［3，11］__．
【解析】由题意知||＝7，||＝4，且||＝||．当，同向时，||取得最小值，||＝||＝||| |||＝|4 7|＝3；当，反向时，||取得最大值，||＝||＝|||＋|||＝|4＋7|＝11；当，不共线时，3＝||| |||＜||＜|||＋|||＝11．故||的取值范围是［3，11］．
随堂内化及时评价
1．化简：＋＝(　D　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】＋＝()＋()＝＋＝．
2．如图，在△ABC中，D是BC上一点，则＋＝(　D　)
A．　 B．
C．　 D．
3．如图，若点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＝(　D　)
A．　 B．
C．　 D．
4．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则＝(　D　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】＝＝＝．
5．已知||＝a，||＝b(a＞b)，||的取值范围是［5，15］，则a，b的值分别为__10，5__．
【解析】因为a b＝||| |||≤||＝||≤||＋||＝a＋b，所以解得

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