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第六章
6.2　平面向量的运算
平面向量及其应用
第3课时　向量的数乘运算
学习 目标 1．理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算．
2．理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题．
新知初探·基础落实
一根细绳按东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a．
思考1：蚂蚁向东运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？
3a．
思考2：蚂蚁向西运动5秒钟的位移对应的向量怎样表示？
5a．
一、 概念生成
如图所示，已知非零向量a，作出a＋a＋a和( a)＋( a)＋( a)，它们的长度和方向分别是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别是怎样的？
如图，＝＋＋＝a＋a＋a＝3a．
＝＋＋＝( a)＋( a)＋( a)＝ 3a．
显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍； 3a的方向与a的方向相反， 3a的长度是a的长度的3倍．
请同学阅读课本P13—P16，完成下列填空．
二、 概念表述
1．向量的数乘
定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个________，记作λa．实数λ与向量a相乘的运算，叫做向量的数乘
长度 |λa|＝|λ||a|
方向 a≠0 λ＞0 λa的方向与a的方向________
λ＜0 λa的方向与a的方向________
特殊情况 当λ＝0时，0a＝0；当a＝0时，λ0＝0
几何意义 当λ＞0时，把向量a沿着a的相同方向放大或缩小；当λ＜0时，把向量a沿着a的相反方向放大或缩小
向量
相同
相反
2．向量数乘的运算律与向量的线性运算
设a，b为向量，λ，μ为实数，那么
(1) λ(μa)＝_________；
(2) (λ＋μ)a＝___________；
(3) λ(a＋b)＝___________．
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．
3．向量a(a≠0)，b共线的充要条件：存在唯一一个实数λ，使得_________．
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
b＝λa
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 实数λ与向量a的积还是向量． (　　)
(2) 若ma＝mb，则a＝b． (　　)
(3) (m n)a＝ma na． (　　)
(4) ( 3)·2a＝ 6a． (　　)
√
×
√
√
典例精讲·能力初成
探究
1
对向量数乘运算的理解
　　　设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是 (　　)
A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同
C． D．≥|λ|a
1
【解析】
　　　　对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，故A不正确；对于B，显然λ2＞0，故B正确；对于C，＝|λ|，由于|λ|与1的大小关系不确定，故的大小关系不确定，故C不正确；对于D，|λ|a是向量，而表示长度，两者不能比较大小，故D不正确．
B
变式　(多选)已知a，b为两个非零向量，下列说法中正确的是 (　　　)
A．2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍
B． 2a与5a的方向相反，且 2a的模是5a的模的
C． 2a与2a是一对相反向量
D．a b与 (b a)是一对相反向量
【解析】
　　　　因为2＞0，所以2a与a的方向相同，且|2a|＝2|a|，所以A正确；因为5＞0，所以5a与a的方向相同，且|5a|＝5|a|，又 2＜0，所以 2a与a的方向相反，且| 2a|＝2|a|，所以 2a与5a的方向相反，且 2a的模是5a的模的，所以B正确；按照相反向量的定义可以判断，C正确；因为 (b a)与b a是一对相反向量，a b与b a是一对相反向量，所以a b与 (b a)为相等向量，所以D不正确．
【答案】ABC
探究
2
向量的线性运算
　　　(课本P14例5)计算：
(1) ( 3)×4a；
2
【解答】
　　　　原式＝( 3×4)a＝ 12a．
(2) 3(a＋b) 2(a b) a；
【解答】
　　　　原式＝3a＋3b 2a＋2b a＝5b．
(3) (2a＋3b c) (3a 2b＋c)．
【解答】
　　　　原式＝2a＋3b c 3a＋2b c＝ a＋5b 2c．
向量线性运算的基本方法
(1) 类比法：向量的数乘类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．
(2) 方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算．
变式　(1) 化简：．
【解答】
　　　　原式＝
＝
＝＝a b．
变式　(2) 已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x 2y＝a， 4x＋3y＝b，求向量x，y．
【解答】
　　　　联立①×3＋②×2得x＝3a＋2b，代入①得3(3a＋2b) 2y＝a，则y＝4a＋3b．所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b．
探究
3
用已知向量表示未知向量
　　　(课本P14例6)如图，□ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，用a，b表示，，．
3
【解答】
　　　　在□ABCD中，＝＋＝a＋b，＝＝a b．由平行四边形的两条对角线互相平分，得＝ ＝ (a＋b)＝ a b；＝＝(a b)＝a b；＝＝a＋b；＝ ＝ a＋b．
(1) 直接法
(2) 方程法
当直接表示比较困难时，可以先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
变式　在□ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示．
【解答】
　　　　如图，设＝a，＝b．因为M，N分别是DC，BC的中点，所以＝b，＝a．在△ADM和△ABN中，
①×2 ②，整理得b＝(2c d)．②×2 ①，整理得a＝(2d c)．所以＝d c，＝c d．
探究
4
向量共线定理
　　　 (1) (课本P15例7补充)已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1 8e2，＝e1＋3e2，＝2e1 e2，求证：A，B，D三点共线．
4
【解答】
　　　　因为＝e1＋3e2，＝2e1 e2，所以＝＝e1 4e2．又＝2e1 8e2＝2(e1 4e2)，所以＝2，所以∥．又因为AB与BD有公共点B，所以A，B，D三点共线．
　　　(2) (课本P16例8补充)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求x＋y的值．
4
【解答】
　　　　因为A，B，P三点共线，所以向量，在同一直线上．由向量共线定理可知，存在实数λ使＝λ，即＝λ()，所以＝(1 λ)＋λ，故x＝1 λ，y＝λ，则x＋y＝1．
(1) 证明或判断三点共线的方法：若＝λ，则共线，又有公共点A，从而A，B，C三点共线．
(2) 利用向量共线求参数的方法：已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．
变式　(1) 本例(1)中把条件改为“＝e1＋2e2，＝ 5e1＋6e2，＝7e1 2e2”，问：A，B，C，D中哪三点共线？
【解答】
　　　　因为＝e1＋2e2，＝＋＝ 5e1＋6e2＋7e1 2e2＝2(e1＋2e2)＝2，所以，共线．又AB，BD有公共点B，所以A，B，D三点共线．
变式　 (2) 本例(1)中把条件“＝2e1 8e2”改为“＝2e1＋ke2”，若A，B，D三点共线，求k的值．
【解答】
　　　　因为A，B，D三点共线，所以共线，设＝λ(λ∈R)．因为＝＝2e1 e2 (e1＋3e2)＝e1 4e2，所以存在λ，使得2e1＋ke2＝λe1 4λe2．由e1与e2不共线可得所以λ＝2，k＝ 8．
随堂内化·及时评价
1．如图，设P，Q是线段AB的三等分点(点P靠近点A)，则下列说法正确的是 (　　)

A．＝　 B．＝ C．＝ 　 D．＝
【解析】
　　　　根据题意，AP＝AB，又方向相同，所以＝，故A错误；PQ＝QA，又方向相反，所以＝ ，故B正确；BP＝AB，又方向相反，所以＝ ，故C错误；AQ＝BP，又方向相反，所以＝ ，故D错误．
B
2．已知□ABCD的对角线AC与BD交于点O，设＝a，＝b，则(a b)＝ (　　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】
　　　　如图，a b＝＝＝，所以(a b)＝＝．
B
3．在△ABC中，D为BC中点，且＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝ (　　)
A．1　 B．
C． 　 D．
【解析】
　　　 因为＝＝＝＋)，所以＝ ＋，所以λ＝ ，μ＝，所以λ＋μ＝ ．
B
4．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝ e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2 2e1共线，则k＝ (　　)
A．0　 B．1
C．2　 D．
【解析】
　　　　因为e1，e2是两个不共线的向量，且向量m＝ e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2 2e1共线，所以存在λ∈R，使m＝λn，即 e1＋ke2＝λ(e2 2e1)，所以解得k＝．
D
5．已知向量m，n不共线，且＝3m 2n，＝m 3n，＝2m＋λn．
(1) 用m，n表示；
【解答】
　　　　＝＝m 3n (3m 2n)＝ 2m n．
(2) 若∥，求λ的值．
【解答】
　　　　因为∥＝3m 2n，＝2m＋λn，所以 t∈R，使得＝t，即3m 2n＝t(2m＋λn)．又向量m，n不共线，所以解得t＝，λ＝ ，即λ的值为 ．第3课时　向量的数乘运算
一、 单项选择题
1．化简［2(2a＋8b)－4(4a－2b)］的结果是(　　)
A．2a－b B．2b－a
C．a－b D．b－a
2．已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足＝2－2＝(　　)
A． B．
C．2 D．3
3．在△ABC中，D是BC的中点，如果＝＋，那么(　　)
A．λ＝1，μ＝1
B．λ＝＝
C．λ＝－1，μ＝－1
D．λ＝－＝
4．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若＝a，＝b，＝3＝(　　)
(第4题)
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
二、 多项选择题
5．若D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　)
A．＝a－b B．＝a
C．＝a＋b D．＝a＋b
6．如图所示，下列四个选项中正确的是(　　)
(第6题)
A．＝a＋b B．＝a－b
C．＝a－b D．＝a＋b
三、 填空题
7．设e1，e2是两个不共线向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则实数k＝________．
8．如图，在 ABCD中，E是BC边的中点，＝3＝　.
(第8题)
四、 解答题
9．设两个非零向量e1与e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2).
(1) 求证：A，B，D三点共线；
(2) 试确定实数k的值，使ke1＋e2和e1＋ke2共线.
10．如图，G是△OAB的重心，OG的延长线交AB于点M，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线.
(1) 设＝表示；
(2) 设＝x＝y＋是定值.
(第10题)
11．(多选)已知4－3＝，则下列结论正确的是(　　)
A．C，B，D三点共线 B．A，B，C，D四点共线
C．||＝|| D．||＝3||
12．(多选)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半”，这就是著名的欧拉线定理.设△ABC中，点O，H，G分别是外心、垂心、重心，则下列结论错误的是(　　)
A．＝2
B．＋＋＝0
C．设BC边的中点为D，则有＝3
D．＝＝
13．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则＝________.(用a，b表示)
14．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：如图(1)，将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长与另一段CB的比例中项，即满足＝＝，后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点.如图(2)，在△ABC中，若P，Q为线段BC的两个黄金分割点，设＝x1＋y1＝x2＋y2＋＝________．
图(1)
图(2)
(第14题)
第3课时　向量的数乘运算
基础打底·熟练掌握
1．B
2．D　【解析】 因为＝2－2，所以＋＝2(＋)－2，即3＝，所以3＝，所以＝3.
3．B　【解析】 如图所示，因为＝＋＝＋＝＋＋)＝－＋＝＋，所以λ＝，μ＝.
(第3题)
4．B　【解析】 ＝＋＝＋＝＋＋)＝＋，解得＝＋，即＝a＋b.
(第5题)
5．ACD　【解析】 如图，＝＋＝－＋＝－b－a，故A正确；＝＝－a，故B不正确；＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋×(－b－a)＝－a＋b，故C正确；＝＋＝a＋b，故D正确.
6．AC　【解析】 根据向量的加法法则，可得＝a＋b，故A正确；根据向量的减法法则，可得＝a－b，故B错误；＝＋＝a＋b－2b＝a－b，故C正确；＝＋＝a＋b－b＝a＋b，故D错误.
7．－4　【解析】 由题意知，ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，所以存在实数λ，使ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋kλe2.因为e1，e2不共线，所以解得或因为ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，所以λ<0，故λ＝－，k＝－4.
8．－　【解析】 ＝－＝－＝－＝－.
9．【解答】 (1) 因为＝＋＝5e1＋5e2＝5，所以∥.又AB，BD有公共点B，所以A，B，D三点共线.
(2) 因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，所以存在实数λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，所以所以k2＝1，所以k＝±1.
10．【解答】 (1) ＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.
(2) 由(1)及＝x，＝y，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy①.因为G是△OAB的重心，所以＝＝×＋)＝＋②.由①②得解得所以＋＝3，即＋是定值.
能力进阶·融会贯通
11．AD　【解析】 因为4－3＝，所以3－3＝－，所以3＝，因为，有公共端点B，所以C，B，D三点共线，且||＝3||，所以A，D正确，B错误；由4－3＝，得＝3－3＋＝3＋，所以||≠||，所以C错误.
12．CD　【解析】 如图，D为BC边中点，对于A，由题得＝2，OD⊥BC，AH⊥BC，所以OD∥AH，所以＝2，故A正确；对于B，＋＝2＝－，所以＋＋＝0，故B正确；对于C，因为AG＝2GD，GH＝2OG，∠AGH＝∠DGO，所以△AGH∽△DGO，所以＝2，故C错误；对于D，向量，，的模相等，但方向不同，故D错误.
(第12题)
13．a＋b　【解析】 因为△DEF∽△BEA，所以＝＝，所以DF＝BA，所以＝＋＝＋.因为＝＋＝a，＝－＝b，联立得＝(a－b)，＝(a＋b)，所以＝(a＋b)＋(a－b)＝a＋b.
14．　【解析】 ＝＋＝＋＝＋－)＝＋＝＋，同理，＝＋＝＋＝＋－)＝＋，所以x1＝y2＝，x2＝y1＝.故＋＝＋＝.第3课时　向量的数乘运算
学习 目标 1．理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算． 2．理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题．
新知初探基础落实
一根细绳按东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a．
思考1：蚂蚁向东运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？
3a．
思考2：蚂蚁向西运动5秒钟的位移对应的向量怎样表示？
5a．
一、 概念生成
如图所示，已知非零向量a，作出a＋a＋a和( a)＋( a)＋( a)，它们的长度和方向分别是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别是怎样的？
如图，＝＋＋＝a＋a＋a＝3a．
＝＋＋＝( a)＋( a)＋( a)＝ 3a．
显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍； 3a的方向与a的方向相反， 3a的长度是a的长度的3倍．
请同学阅读课本P13—P16，完成下列填空．
二、 概念表述
1．向量的数乘
定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个__向量__，记作λa．实数λ与向量a相乘的运算，叫做向量的数乘
长度 |λa|＝|λ||a|
方向 a≠0 λ＞0 λa的方向与a的方向__相同__
λ＜0 λa的方向与a的方向__相反__
特殊情况 当λ＝0时，0a＝0；当a＝0时，λ0＝0
几何意义 当λ＞0时，把向量a沿着a的相同方向放大或缩小；当λ＜0时，把向量a沿着a的相反方向放大或缩小
2．向量数乘的运算律与向量的线性运算
设a，b为向量，λ，μ为实数，那么
(1) λ(μa)＝__(λμ)a__；
(2) (λ＋μ)a＝__λa＋μa__；
(3) λ(a＋b)＝__λa＋λb__．
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．
3．向量a(a≠0)，b共线的充要条件：存在唯一一个实数λ，使得__b＝λa__．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 实数λ与向量a的积还是向量．(　√　)
(2) 若ma＝mb，则a＝b．(　×　)
(3) (m n)a＝ma na．(　√　)
(4) ( 3)·2a＝ 6a．(　√　)
典例精讲能力初成
探究1　对向量数乘运算的理解
例1　设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是(　B　)
A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同
C． D．≥|λ|a
【解析】对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，故A不正确；对于B，显然λ2＞0，故B正确；对于C，＝|λ|，由于|λ|与1的大小关系不确定，故与的大小关系不确定，故C不正确；对于D，|λ|a是向量，而表示长度，两者不能比较大小，故D不正确．
变式　(多选)已知a，b为两个非零向量，下列说法中正确的是(　ABC　)
A．2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍
B． 2a与5a的方向相反，且 2a的模是5a的模的
C． 2a与2a是一对相反向量
D．a b与 (b a)是一对相反向量
【解析】因为2＞0，所以2a与a的方向相同，且|2a|＝2|a|，所以A正确；因为5＞0，所以5a与a的方向相同，且|5a|＝5|a|，又 2＜0，所以 2a与a的方向相反，且| 2a|＝2|a|，所以 2a与5a的方向相反，且 2a的模是5a的模的，所以B正确；按照相反向量的定义可以判断，C正确；因为 (b a)与b a是一对相反向量，a b与b a是一对相反向量，所以a b与 (b a)为相等向量，所以D不正确．
探究2　向量的线性运算
例2　(课本P14例5)计算：
(1) ( 3)×4a；
【解答】原式＝( 3×4)a＝ 12a．
(2) 3(a＋b) 2(a b) a；
【解答】原式＝3a＋3b 2a＋2b a＝5b．
(3) (2a＋3b c) (3a 2b＋c)．
【解答】原式＝2a＋3b c 3a＋2b c＝ a＋5b 2c．
向量线性运算的基本方法
(1) 类比法：向量的数乘类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．
(2) 方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算．
变式　(1) 化简：．
【解答】原式＝
＝
＝＝a b．
(2) 已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x 2y＝a， 4x＋3y＝b，求向量x，y．
【解答】联立①×3＋②×2得x＝3a＋2b，代入①得3(3a＋2b) 2y＝a，则y＝4a＋3b．所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b．
探究3　用已知向量表示未知向量
例3　(课本P14例6)如图， ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，用a，b表示，，和．
【解答】在 ABCD中，＝＋＝a＋b，＝＝a b．由平行四边形的两条对角线互相平分，得＝ ＝ (a＋b)＝ a b；＝＝(a b)＝a b；＝＝a＋b；＝ ＝ a＋b．
(1) 直接法
(2) 方程法
当直接表示比较困难时，可以先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
变式　在 ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示和．
【解答】如图，设＝a，＝b．因为M，N分别是DC，BC的中点，所以＝b，＝a．在△ADM和△ABN中，即①×2 ②，整理得b＝(2c d)．②×2 ①，整理得a＝(2d c)．所以＝d c，＝c d．
探究4　向量共线定理
例4　(1) (课本P15例7补充)已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1 8e2，＝e1＋3e2，＝2e1 e2，求证：A，B，D三点共线．
【解答】因为＝e1＋3e2，＝2e1 e2，所以＝＝e1 4e2．又＝2e1 8e2＝2(e1 4e2)，所以＝2，所以∥．又因为AB与BD有公共点B，所以A，B，D三点共线．
(2) (课本P16例8补充)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求x＋y的值．
【解答】因为A，B，P三点共线，所以向量，在同一直线上．由向量共线定理可知，存在实数λ使＝λ，即＝λ()，所以＝(1 λ)＋λ，故x＝1 λ，y＝λ，则x＋y＝1．
(1) 证明或判断三点共线的方法：若＝λ，则与共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线．
(2) 利用向量共线求参数的方法：已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．
变式　(1) 本例(1)中把条件改为“＝e1＋2e2，＝ 5e1＋6e2，＝7e1 2e2”，问：A，B，C，D中哪三点共线？
【解答】因为＝e1＋2e2，＝＋＝ 5e1＋6e2＋7e1 2e2＝2(e1＋2e2)＝2，所以，共线．又AB，BD有公共点B，所以A，B，D三点共线．
(2) 本例(1)中把条件“＝2e1 8e2”改为“＝2e1＋ke2”，若A，B，D三点共线，求k的值．
【解答】因为A，B，D三点共线，所以与共线，设＝λ(λ∈R)．因为＝＝2e1 e2 (e1＋3e2)＝e1 4e2，所以存在λ，使得2e1＋ke2＝λe1 4λe2．由e1与e2不共线可得所以λ＝2，k＝ 8．
随堂内化及时评价
1．如图，设P，Q是线段AB的三等分点(点P靠近点A)，则下列说法正确的是(　B　)
A．＝　 B．＝
C．＝ 　 D．＝
【解析】根据题意，AP＝AB，又与方向相同，所以＝，故A错误；PQ＝QA，又与方向相反，所以＝ ，故B正确；BP＝AB，又与方向相反，所以＝ ，故C错误；AQ＝BP，又与方向相反，所以＝ ，故D错误．
2．已知 ABCD的对角线AC与BD交于点O，设＝a，＝b，则(a b)＝(　B　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】如图，a b＝＝＝，所以(a b)＝＝．
3．在△ABC中，D为BC中点，且＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　B　)
A．1　 B．
C． 　 D．
【解析】因为＝＝＝＋)，所以＝ ＋，所以λ＝ ，μ＝，所以λ＋μ＝ ．
4．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝ e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2 2e1共线，则k＝(　D　)
A．0　 B．1
C．2　 D．
【解析】因为e1，e2是两个不共线的向量，且向量m＝ e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2 2e1共线，所以存在λ∈R，使m＝λn，即 e1＋ke2＝λ(e2 2e1)，所以解得k＝．
5．已知向量m，n不共线，且＝3m 2n，＝m 3n，＝2m＋λn．
(1) 用m，n表示；
【解答】＝＝m 3n (3m 2n)＝ 2m n．
(2) 若∥，求λ的值．
【解答】因为∥＝3m 2n，＝2m＋λn，所以 t∈R，使得＝t，即3m 2n＝t(2m＋λn)．又向量m，n不共线，所以解得t＝，λ＝ ，即λ的值为 ．

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