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(共25张PPT)
第六章
6.2　平面向量的运算
平面向量及其应用
第5课时　向量的数量积(2)
学习 目标 1．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．
2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．
新知初探·基础落实
向量a，b的数量积的含义是什么？向量的数量积具有哪些运算性质？
a·b＝|a||b|cos θ，其中θ为向量a，b的夹角．
设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1) a·e＝e·a＝|a|cos θ．
(2) a⊥b a·b＝0．
(3) 当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝ |a||b|．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝．(在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不要忘记开方)
(4) |a·b|≤|a||b|．
一、 概念生成
提出问题：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算律，你能得到数量积的哪些运算律？
请同学阅读课本P20—P22，完成下列填空．
二、 概念表述
1．向量数量积的运算律
(1) a·b＝_________；(交换律)
(2) (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(数乘结合律)
(3) (a＋b)·c＝________________．(分配律)
b·a
a·c＋b·c
注意：
(1) 向量的数量积不满足消除律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，不能得到a＝b．
(2) (a·b)·c≠a·(b·c)．因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
2．向量数量积的常用结论
(1) (a±b)2＝|a±b|2＝|a|2±2a·b＋|b|2＝a2±2a·b＋b2；
(2) a2 b2＝(a＋b)·(a b)＝|a|2 |b|2；
(3) (a＋b)2＋(a b)2＝2(|a|2＋|b|2)；
(4) a2＋b2＝0 a＝b＝0．
典例精讲·能力初成
探究
1
向量数量积的运算律
　　　(课本P21例11)我们知道，对任意a，b∈R，恒有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)(a b)＝a2 b2．对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？
(1) (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(2) (a＋b)·(a b)＝a2 b2．
1
【解答】
　　　　(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2a·b＋b2．
(a＋b)·(a b)＝a·a a·b＋b·a b·b＝a2 b2．
因此，上述结论是成立的．
探究
2
向量数量积的应用
视角1　数量积的运算
　　　　 (课本P21例12)已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a 3b)．
【解答】
　　　　(a＋2b)·(a 3b)＝a·a 3a·b＋2b·a 6b·b＝|a|2 a·b 6|b|2＝ |a|2 |a||b|cos θ 6|b|2＝62 6×4×cos 60° 6×42＝ 72．
2－1
求平面向量数量积的步骤
(1) 求a与b的夹角θ，θ∈［0，π］；
(2) 分别求|a|和|b|；
(3) 求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．
变式　已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°．
(1) 求a·b；
【解答】
　　　　a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×＝ 6．
(2) 求a2 b2；
【解答】
　　　　a2 b2＝|a|2 |b|2＝32 42＝ 7．
(3) 求(2a b)·(a＋3b)．
【解答】
　　　　(2a b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b 3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos 120° 3|b|2＝2×32＋5×3×4× 3×42＝ 60．
视角2　向量的夹角问题
　　　　　(课本P21例13)已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线．当k为何值时，向量a＋kb与a kb相垂直？
2－2
【解答】
　　　　a＋kb与a kb互相垂直的充要条件是(a＋kb)·(a kb)＝0，即a2 k2b2＝0．因为a2＝32＝9，b2＝42＝16，所以9 16k2＝0，解得k＝±．故当k＝±时，a＋kb与a kb互相垂直．
1．解决有关垂直问题时，利用a⊥b a·b＝0(a，b为非零向量)．
2．求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以先直接求出a·b，|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以先寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解．
变式　已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a b)·(a＋b)＝．
(1) 求|b|；
【解答】
　　　因为(a b)·(a＋b)＝，即a2 b2＝，即|a|2 |b|2＝，所以|b|2＝|a|2 ＝1 ＝，故|b|＝．
(2) 当a·b＝ 时，求向量a与a＋2b的夹角θ．
【解答】
　　　　因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1 1＋1＝1，所以|a＋2b|＝1．又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1 ＝，所以cos θ＝＝．因为θ∈［0，π］，所以θ＝．
视角3　向量的模的相关问题
　　　　　已知向量a，b满足＝2＝2，且b⊥(b a)，则＝ (　　)
A．1　 B．2
C．　 D．
2－3
【解析】
　　　　因为b⊥(b a)，所以b·(b a)＝b2 a·b＝0．因为＝2＝2，所以＝2，＝1，所以a·b＝1，＝＝＝．
D
“见模思平方”：求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方．
变式　已知平面向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，＝(t∈R)，则实数t＝ (　　)
A． 1　 B．1
C．　 D．±1
【解析】
　　　　因为＝，所以＋2ta·b＋t2＝3，即4＋2t×2×1× cos 60°＋t2＝3，解得t＝ 1．
A
随堂内化·及时评价
1．(多选)关于平面向量a，b，c，下列说法中正确的是 (　 　)
A．若a∥b，a≠0，则存在λ∈R，使得b＝λa
B．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
C．若a·b＝a·c，则b＝c
D．若向量a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b
AB
2．(新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足＝1，＝2，且⊥b，则＝ (　　)
A．　　 B．　
C．　　 D．1
【解析】
　　　　因为⊥b，所以·b＝0，即b2＝2a·b．又因为＝1，＝2，所以(a＋2b)2＝1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而＝．
B
3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a，b的夹角为，则a·(a＋b)＝ (　　)
A． 2　 B． 1
C．0　 D．2
【解析】
　　　　a·b＝1×2×cos＝ 1，所以a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1 1＝0．
C
4．已知a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，则|a＋b|＝_______，|3a 4b|＝_______．
【解析】
　　　　由已知得a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝ 4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×( 4)＋4＝12，所以|a＋b|＝2．因为|3a 4b|2＝(3a 4b)2＝9a2 24a·b＋16b2＝9×16 24×( 4)＋16×4＝304，所以|3a 4b|＝4．
2
4
5．(课本P22练习2)已知|a|＝，|b|＝1，且a b与a＋2b互相垂直，求证：a⊥b．
【解答】
　　　　因为a b与a＋2b互相垂直，所以(a b)·(a＋2b)＝0，即|a|2＋a·b 2|b|2＝0．因为|a|＝，|b|＝1，所以|a|2＝2，|b|2＝1，所以a·b＝2 2＝0．因为a，b是非零向量，所以a⊥b．第4课时　向量的数量积(1)
一、 单项选择题
1．已知两个单位向量e1，e2的夹角为120°，则(e1＋2e2)·(e2－e1)＝(　　)
A． B．3
C． D．5
2．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·＝(　　)
A．－25 B．－20
C．－15 D．－10
3．若向量a，b满足|a|＝2，|b|＝4，向量a与b的夹角为，则a·(a＋b)＝(　　)
A．0 B．8
C．4＋4 D．4－4
4．已知向量a，b的夹角为，且|a|＝2|b|＝2，若(ka－b)⊥(a＋b)，则实数k＝(　　)
A． B．
C． D．
二、 多项选择题
5．对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是(　　)
A．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
B．向量a与向量b夹角的范围是［0，π)
C．若a⊥b，则a·b＝0
D．|a|＝
6．已知|a|＝1，|b|＝2，向量b在a上的投影向量为c，则下列结论中正确的是(　　)
A．a·c＝c·b B．a·b＝a·c
C．|a·c|≤2 D．a·c＝|a|·|c|
三、 填空题
7．已知向量a与单位向量b的夹角为＝2，则b在a上的投影向量为________．
8．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则·的值是________．
(第8题)
四、 解答题
9．已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e.
(1) 求a·b；
(2) 求a在b上的投影向量.
10．已知|a|＝2|b|＝2，e是与b方向相同的单位向量，且向量a在向量b上的投影向量为－e.
(1) 求a与b的夹角θ；
(2) 若向量λa＋b与向量a－3b互相垂直，求λ的值.　
11．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角.若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|＝(　　)
A．8 B．－8
C．8或－8 D．6
12．在△ABC中，AB＝3，AC＝5，M是边BC的中点，O为△ABC的外心，则·＝(　　)
A．8 B．
C．16 D．17
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝2，则·的值为________；若D是BC边上一点，且＝2·的值为________．
(第13题)
14．如图(1)是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图，其阴离子排列如图(2)所示，图(2)中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D是其中四个圆的圆心，则·＝(　　)
　
(第14题)
A．32 B．28
C．26 D．24
第4课时　向量的数量积(1)
基础打底·熟练掌握
1．A　【解析】 因为两个单位向量e1，e2的夹角为120°，所以e1·e2＝|e1||e2|cos 120°＝1×1×＝－，所以(e1＋2e2)·(e2－e1)＝e1·e2－＋2－2e1·e2＝－12＋2×12－＝.
2．A
3．A　【解析】 因为|a|＝2，|b|＝4，向量a与b的夹角为，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×4×＝－4，所以a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4－4＝0.
4．A　【解析】 由向量a，b的夹角为，且|a|＝2|b|＝2，(ka－b)⊥(a＋b)，得(ka－b)·(a＋b)＝ka2＋(k－1)a·b－b2＝4k＋(k－1)×2×1×cos －1＝0，解得k＝.
5．CD
6．BC　【解析】 设向量b，a的夹角为θ.对于A，当θ为锐角时，a·c＝|a||c|＝|c|，c·b＝|c||b|cos θ＝|c|2，不一定相等，故A错误；对于B，当θ为锐角时，a·b＝|a||b|cos θ＝|b|cos θ＝|c|，a·c＝|a||c|＝|c|；当θ为钝角时，a·b＝|a||b|cos θ＝|b|cos θ＝－|c|，a·c＝－|a||c|＝－|c|；当θ为直角时，a·b＝a·c＝0，故B正确；对于C，|a·c|＝|a||c|＝|c|≤|b|＝2，故C正确；对于D，a·c＝±|c|，故D错误.
7．a　
8．－1　【解析】 方法一：·＝||||cos(180°－∠B)＝－||||cos∠B＝－||||·＝－||2＝－1.
方法二：||＝1，即为单位向量，·＝－·＝－||||cos∠ABC，而||cos∠ABC＝||，所以·＝－||2＝－1.
9．【解答】 (1) a·b＝|a||b|cos θ＝3×2×cos 120°＝－3.
(2) a在b上的投影向量为(|a|cos θ)e＝e＝－e.
10．【解答】 (1) 由题意知|a|＝2，|b|＝1.又a在b上的投影向量为(|a|cos θ)e＝－e，所以cos θ＝－，所以θ＝．
(2) 由(1)知a·b＝－1.因为λa＋b与a－3b互相垂直，所以(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，所以λ＝.
能力进阶·融会贯通
11．A
12．B　【解析】 由题意，取AC的中点为N，连接ON，如图所示.易知ON⊥AC，＝＋)，可得·＝＋)·＝·＋·)，又·＝||||cos∠CAO＝||||＝|2，同理·＝|2，所以·＝(||2＋||2)＝.
(第12题)
13．－4　－8　【解析】 由题知与的夹角为120°，代入公式计算可得·＝||||cos 120°＝4×2×＝－4.又＝＋＝＋＝＋－)＝＋，＝－，·＝||||cos〈，〉＝4×2×cos 60°＝4，所以·＝·(－)＝·＋|2－|2＝×4＋×4－×16＝－8.
14．C　【解析】 如图，设|a|＝|b|＝1且a，b的夹角为60°，则有＝2a＋4b，＝4a＋2b，所以·＝(2a＋4b)·(4a＋2b)＝8a2＋8b2＋20a·b＝8＋8＋20×1×1×＝26.　
(第14题)第4课时　向量的数量积(1)
学习 目标 1．掌握平面向量的数量积及其几何意义． 2．掌握平面向量数量积的重要性质． 3．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件．
新知初探基础落实
我们在物理课中学过，力与物体在力的作用下产生的位移的乘积称为力对物体所做的功．如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为|F|，小车在水平面上的位移s的大小为|s|，力的方向与小车位移的方向的夹角为θ，那么这个力所做的功为W＝|F||s|cos θ．
问题1：功W与力F及位移s有关，这三者之间有什么关系？功W是向量还是数量？
W与F及s的关系为W＝|F||s|cos θ．功W是数量．
一、 概念生成
问题2：给定任意两个向量a，b，能确定出一个和功类似的数量吗？
能，向量的数量积a·b．
请同学阅读课本P17—P19，完成下列填空．
二、 概念表述
1．两向量的夹角
(1) 定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
(2) 三种特殊情况
a与b的夹角θ a与b的关系
θ＝0 a与b__同向__
θ＝π a与b__反向__
θ＝ a与b__垂直__，记作__a⊥b__
2．向量的数量积
(1) 定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量__|a||b|cos θ__叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝__|a||b|cos θ__．
规定：零向量与任一向量的数量积为__0__．
(2) 性质：设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则：
①a·e＝e·a＝|a|cos θ．
②a⊥b a·b＝__0__．
③当a与b同向时，a·b＝__|a||b|__；
当a与b反向时，a·b＝__ |a||b|__．
特别地，a·a＝__|a|2__或|a|＝．
④由|cos θ|≤1还可以得到|a·b|__≤__|a||b|．
⑤cos θ＝．
典例精讲能力初成
探究1　用定义法求向量数量积
例1　(1) (课本P17例9)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝，求a·b．
【解答】a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos＝5×4×＝ 10．
(2) (课本P18例10)设|a|＝12，|b|＝9，a·b＝ 54，求a与b的夹角θ．
【解答】由a·b＝|a||b|cos θ，得cos θ＝＝＝ ．因为θ∈［0，π］，所以θ＝．
变式　已知两个单位向量e1，e2的夹角为120°，则(e1＋2e2)·(e2 e1)＝(　A　)
A．　 B．3
C．　 D．5
【解析】因为两个单位向量e1，e2的夹角为120°，所以e1·e2＝|e1||e2|cos 120°＝1×1×＝ ，所以(e1＋2e2)·(e2 e1)＝e1·e2 ＋2 2e1·e2＝ 12＋2×12 ＝．
探究2　投影向量
如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．
例2　已知等边三角形ABC的边长为2，则向量在向量上的投影向量为(　A　)
A． 　B．　C．2　D．2
【解析】在等边三角形ABC中，因为A＝60°，所以向量在向量上的投影向量为，所以向量在向量上的投影向量为 ．
投影向量的求法
(1) 向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ·e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定．
(2) 向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ．
变式　已知|a|＝5，|b|＝4．
(1) 若a与b的夹角θ＝120°，求向量a在向量b上的投影向量；
【解答】向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ·＝5×＝ b．
(2) 若a∥b，求a·b．
【解答】因为a∥b，所以a与b的夹角θ＝0°或180°．当θ＝0°时，a·b＝|a||b|cos 0°＝20；当θ＝180°时，a·b＝|a||b|cos 180°＝ 20．
随堂内化及时评价
1．在△ABC中，·＜0，则△ABC是(　C　)
A．锐角三角形　 B．直角三角形
C．钝角三角形　 D．等边三角形
【解析】因为＝||||cos A＜0，所以cos A＜0，所以A是钝角，则△ABC是钝角三角形．
2． 若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b＝(　B　)
A． 3　 B． 6
C．6　 D．12
3．已知等边三角形ABC的边长为1，那么·＋·＋·＝(　D　)
A．　 B．
C． 　 D．
【解析】因为等边三角形ABC的边长为1，所以＋＋＝1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋1×1×cos 120°＝．
4．已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝ 12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为__ e__．
【解析】设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝ ，所以a在b上的投影向量为|a|cos θe＝3×e＝ e．
5．(课本P20练习3)已知|a|＝6，e为单位向量，当向量a，e的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，求向量a在向量e上的投影向量．
【解答】当θ＝45°时，a在e上的投影向量为|a|cos 45°·e＝6×e＝3e；当θ＝90°时，a在e上的投影向量为|a|·cos 90°·e＝6×0×e＝0；当θ＝135°时，a在e上的投影向量为|a|cos 135°·e＝6×e＝ 3e．(共22张PPT)
第六章
6.2　平面向量的运算
平面向量及其应用
第4课时　向量的数量积(1)
学习 目标 1．掌握平面向量的数量积及其几何意义．
2．掌握平面向量数量积的重要性质．
3．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件．
新知初探·基础落实
我们在物理课中学过，力与物体在力的作用下产生的位移的乘积称为力对物体所做的功．如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为|F|，小车在水平面上的位移s的大小为|s|，力的方向与小车位移的方向的夹角为θ，那么这个力所做的功为W＝|F||s|cos θ．
问题1：功W与力F及位移s有关，这三者之间有什么关系？功W是向量还是数量？
W与F及s的关系为W＝|F||s|cos θ．功W是数量．
一、 概念生成
问题2：给定任意两个向量a，b，能确定出一个和功类似的数量吗？
能，向量的数量积a·b．
请同学阅读课本P17—P19，完成下列填空．
二、 概念表述
1．两向量的夹角
(1) 定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
(2) 三种特殊情况
a与b的夹角θ a与b的关系
θ＝0 a与b________
θ＝π a与b________
a与b________，记作__________
同向
反向
垂直
a⊥b
2．向量的数量积
(1) 定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量____________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝_____________．
规定：零向量与任一向量的数量积为_____．
|a||b|cos θ
|a||b|cos θ
0
(2) 性质：设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则：
①a·e＝e·a＝|a|cos θ．
②a⊥b a·b＝_____．
③当a与b同向时，a·b＝________；
当a与b反向时，a·b＝________．
特别地，a·a＝_____或|a|＝．
④由|cos θ|≤1还可以得到|a·b|______|a||b|．
⑤cos θ＝．
0
|a||b|
|a||b|
|a|2
≤
典例精讲·能力初成
探究
1
用定义法求向量数量积
　　　(1) (课本P17例9)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝，求a·b．
1
【解答】
　　　　a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos＝5×4×＝ 10．
(2) (课本P18例10)设|a|＝12，|b|＝9，a·b＝ 54，求a与b的夹角θ．
【解答】
　　　　由a·b＝|a||b|cos θ，得cos θ＝＝＝ ．因为θ∈［0，π］，所以θ＝．
变式　已知两个单位向量e1，e2的夹角为120°，则(e1＋2e2)·(e2 e1)＝ (　　)
A．　 B．3
C．　 D．5
【解析】
　　　　因为两个单位向量e1，e2的夹角为120°，所以e1·e2＝|e1||e2|cos 120°＝1×1×＝ ，所以(e1＋2e2)·(e2 e1)＝e1·e2 ＋2 2e1·e2＝ 12＋2×12 ＝．
A
探究
2
投影向量
如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．
　　　已知等边三角形ABC的边长为2，则向量在向量上的投影向量为(　　)
A． 　 B．　
C．2　 D．2
【解析】
　　　　在等边三角形ABC中，因为A＝60°，所以向量在向量上的投影向量为，所以向量在向量上的投影向量为 ．
2
A
投影向量的求法
(1) 向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ·e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定．
(2) 向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ．
变式　已知|a|＝5，|b|＝4．
(1) 若a与b的夹角θ＝120°，求向量a在向量b上的投影向量；
【解答】
　　　　向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ·＝5×＝ b．
(2) 若a∥b，求a·b．
【解答】
　　　　因为a∥b，所以a与b的夹角θ＝0°或180°．
当θ＝0°时，a·b＝|a||b|cos 0°＝20；
当θ＝180°时，a·b＝|a||b|cos 180°＝ 20．
随堂内化·及时评价
1．在△ABC中，·＜0，则△ABC是 (　　)
A．锐角三角形　 B．直角三角形
C．钝角三角形　 D．等边三角形
【解析】
　　　　因为·＝||||cos A＜0，所以cos A＜0，所以A是钝角，则△ABC是钝角三角形．
C
2． 若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b＝ (　　)
A． 3　 B． 6
C．6　 D．12
B
3．已知等边三角形ABC的边长为1，那么·＋·＋·＝ (　　)
A．　 B．
C． 　 D．
【解析】
　　　　因为等边三角形ABC的边长为1，所以·＋·＋·＝1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋1×1×cos 120°＝．
D
4．已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝ 12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投
影向量为_______．
【解析】
　　　　设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝ ，所以a在b上的投影向量为|a|cos θe＝3×e＝ e．
e
5．(课本P20练习3)已知|a|＝6，e为单位向量，当向量a，e的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，求向量a在向量e上的投影向量．
【解答】
　　　　当θ＝45°时，a在e上的投影向量为|a|cos 45°·e＝6×e＝3e；当θ＝90°时，a在e上的投影向量为|a|·cos 90°·e＝6×0×e＝0；当θ＝135°时，a在e上的投影向量为|a|cos 135°·e＝6×e＝ 3e．第5课时　向量的数量积(2)
一、 单项选择题
1．已知三个单位向量a，b，c满足a＝b＋c，则向量b，c的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
2．设向量a，b的模分别为2和3，且夹角为60°，则＝(　　)
A． B．13
C． D．19
3．在如图所示的半圆中，AB为直径，O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝15°，||＝2，则||＝(　　)
(第3题)
A．4＋2 B．＋1
C．－1 D．4－2
4．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝3，∠BAC＝＝2·＝(　　)
(第4题)
A．9 B．18
C．6 D．12
二、 多项选择题
5．设a，b，c是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是(　　)
A．若＝，则a⊥b
B．若＝|b|，则⊥
C．若a·c＝b·c，则a－b不与c垂直
D．(b·c) a－(a·c)b与c垂直
6．已知向量a，b的夹角为＝4，|b|＝3，则下列结论正确的是(　　)
A．(2a＋b)·(2a－3b)＝13
B．＝2
C．在△ABC中，若＝a，＝b，则·＝－10
D．若(a＋λb)⊥(a－b)，则实数λ＝－
三、 填空题
7．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－10，则|a＋b|＝________．
8．已知向量a，b满足＝2，|b|＝5，a与b的夹角为的值最小时，实数x的值为________．
四、 解答题
9．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.
(1) 求证：(a－b)⊥c；
(2) 若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围.
10．在△ABC中，已知BC＝4，AC＝3，P在线段BC上，且＝＝＝a，＝b.　
(1) 用向量a，b表示；
(2) 若∠ACB＝60°，求·.
(第10题)
11．已知平面向量a，b，c满足|a|＝1，|c|＝3，a·c＝－2，a＋2b＋3c＝0，则|b|＝(　　)
A． B．
C．2 D．3
12．已知非零不共线向量a，b满足|a|＝2|b|，|a－b|＝2，则a·b的取值范围为(　　)
A． B．
C．(－1，8) D．
13．我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则·＝(　　)
(第13题)
A．9 B．12
C．15 D．16
14．在平面四边形OABC中，·＝0，AC＝2，BC＝1，AC⊥BC，设∠ACO＝θ.
(1) 若cos θ＝·；
(2) 求OB长度的最大值.
第5课时　向量的数量积(2)
基础打底·熟练掌握
1．C　【解析】 设向量b，c的夹角为θ.因为a＝b＋c，所以a2＝b2＋c2＋2b·c，即1＝1＋1＋2b·c，则b·c＝－，即1×1×cos θ＝－，所以cos θ＝－.又θ∈［0，π］，所以θ＝，即向量b，c的夹角为.
2．C　
3．C　【解析】 因为∠OCB＝15°，OC＝OB，所以∠COA＝2∠OCB＝30°.因为||＝2，所以||＝||＝.又＝－，所以||＝|－|＝＝＝－1.
4．D　【解析】 由＝2可得＝，即－＝－)，所以＝＋，·＝·＝＋·，因为AB＝6，AC＝3，∠BAC＝，所以·＝×36＋0＝12.
5．ABD　【解析】 对于A，＝两边平方得(a＋b)2＝(a－b)2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，可得a·b＝0，则a⊥b，故A正确；对于B，因为＝，所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝－＝0，故(a＋b)⊥(a－b)，故B正确；对于C，因为a·c＝b·c，所以a·c－b·c＝(a－b)·c＝0，则a－b与c垂直，故C错误；对于D，·c＝(b·c)(a·c)－(a·c)(b·c)＝0，故(b·c)a－(a·c)b与c垂直，故D正确.
6．AB　【解析】 由向量a，b的夹角为，且＝4，＝3，可得a·b＝cos＝4×3×＝6.对于A，(2a＋b)·(2a－3b)＝4a2－4a·b－3b2＝4×42－4×6－3×32＝13，所以A正确；对于B，＝＝＝＝ 2，所以B正确；对于C，由＝a，＝b，可得·＝·(－)＝·(－－)＝－a·(a＋b)＝－a2－a·b＝－42－6＝－22，所以C错误；对于D，由(a＋λb)⊥(a－b)，可得(a＋λb)·(a－b)＝a2＋(λ－1)a·b－λb2＝0，即42＋(λ－1)×6－λ·32＝0，解得λ＝，所以D错误.
7．　【解析】 由向量a，b满足|a|＝3，|b|＝4，且a·b＝－10，得|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝32＋42－20＝5，所以|a＋b|＝.
8．　【解析】 ＝＝＝＝＝，故当x＝时，取最小值.
9．【解答】 (1) 因为|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之间的夹角均为120°，所以(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，所以(a－b)⊥c.
(2) 因为|ka＋b＋c|>1，所以(ka＋b＋c)2>1，即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1，所以k2＋1＋1＋2kcos 120°＋2kcos 120°＋2cos 120°>1，所以k2－2k>0，解得k<0或k>2.所以实数k的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞).
10．【解答】 (1) 因为＝，所以＝，由题得＝－＝－＝a－b.
(2) ＝＋＝＋＝＋－)＝＋＝a＋b，所以·＝·＝－a·b－＝×42－×4×3×cos 60°－×32＝.
能力进阶·融会贯通
11．A　【解析】 由a＋2b＋3c＝0，得a＋3c＝－2b，等式两边平方得|a|2＋6a·c＋9|c|2＝4|b|2，因为|a|＝1，|c|＝3，a·c＝－2，代入得1－2×6＋9×9＝4|b|2，所以|b|＝.　
12．D　【解析】 设|b|＝m，m>0，则|a|＝2m.由|a－b|＝2，两边平方得|a|2－2a·b＋|b|2＝4，整理得a·b＝m2－2，因为a，b是非零不共线向量，所以|a|－|b|<|a－b|<|a|＋|b|，即m<2<3m，解得13．B　【解析】 因为大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，所以AD＝5，EH＝1.设DE＝AH＝x，则AE＝AH＋EH＝x＋1.在Rt△AED中，AD2＝DE2＋AE2，即25＝x2＋(x＋1)2，解得x＝3或x＝－4(舍去)，所以cos∠DAE＝＝.易知在正方形ABCD中，＝，∠BCF＝∠DAE，FC＝DE＝3，所以·＝·＝cos∠BCF＝5×3×＝12.
14．【解答】 (1) 在Rt△OAC中，OA⊥OC，OC＝ACcos θ＝.又∠OCB＝θ＋，所以cos∠OCB＝－sin θ＝－，所以·＝||||cos(π－∠OCB)＝×1×sin θ＝.　
(2) 因为＝＋，所以＝＋＋2||||sin θ＝(2cos θ)2＋1＋4cos θsin θ＝2×(1＋cos 2θ)＋2sin 2θ＋1＝2sin＋3，所以当θ＝时，|＝2＋3，所以OB长度的最大值为＋1.第5课时　向量的数量积(2)
学习 目标 1．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式． 2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．
新知初探基础落实
向量a，b的数量积的含义是什么？向量的数量积具有哪些运算性质？
a·b＝|a||b|cos θ，其中θ为向量a，b的夹角．
设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1) a·e＝e·a＝|a|cos θ．
(2) a⊥b a·b＝0．
(3) 当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝ |a||b|．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝．(在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不要忘记开方)
(4) |a·b|≤|a||b|．
一、 概念生成
提出问题：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算律，你能得到数量积的哪些运算律？
请同学阅读课本P20—P22，完成下列填空．
二、 概念表述
1．向量数量积的运算律
(1) a·b＝__b·a__；(交换律)
(2) (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(数乘结合律)
(3) (a＋b)·c＝__a·c＋b·c__．(分配律)
注意：
(1) 向量的数量积不满足消除律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，不能得到a＝b．
(2) (a·b)·c≠a·(b·c)．因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
2．向量数量积的常用结论
(1) (a±b)2＝|a±b|2＝|a|2±2a·b＋|b|2＝a2±2a·b＋b2；
(2) a2 b2＝(a＋b)·(a b)＝|a|2 |b|2；
(3) (a＋b)2＋(a b)2＝2(|a|2＋|b|2)；
(4) a2＋b2＝0 a＝b＝0．
典例精讲能力初成
探究1　向量数量积的运算律
例1　(课本P21例11)我们知道，对任意a，b∈R，恒有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)(a b)＝a2 b2．对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？
(1) (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(2) (a＋b)·(a b)＝a2 b2．
【解答】(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2a·b＋b2．
(a＋b)·(a b)＝a·a a·b＋b·a b·b＝a2 b2．
因此，上述结论是成立的．
探究2　向量数量积的应用
视角1　数量积的运算
例2 1　(课本P21例12)已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a 3b)．
【解答】(a＋2b)·(a 3b)＝a·a 3a·b＋2b·a 6b·b＝|a|2 a·b 6|b|2＝|a|2 |a||b|cos θ 6|b|2＝62 6×4×cos 60° 6×42＝ 72．
求平面向量数量积的步骤
(1) 求a与b的夹角θ，θ∈［0，π］；
(2) 分别求|a|和|b|；
(3) 求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．
变式　已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°．
(1) 求a·b；
【解答】a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×＝ 6．
(2) 求a2 b2；
【解答】a2 b2＝|a|2 |b|2＝32 42＝ 7．
(3) 求(2a b)·(a＋3b)．
【解答】(2a b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b 3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos 120° 3|b|2＝2×32＋5×3×4× 3×42＝ 60．
视角2　向量的夹角问题
例2 2　(课本P21例13)已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线．当k为何值时，向量a＋kb与a kb相垂直？
【解答】a＋kb与a kb互相垂直的充要条件是(a＋kb)·(a kb)＝0，即a2 k2b2＝0．因为a2＝32＝9，b2＝42＝16，所以9 16k2＝0，解得k＝±．故当k＝±时，a＋kb与a kb互相垂直．
1．解决有关垂直问题时，利用a⊥b a·b＝0(a，b为非零向量)．
2．求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以先直接求出a·b，|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以先寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解．
变式　已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a b)·(a＋b)＝．
(1) 求|b|；
【解答】因为(a b)·(a＋b)＝，即a2 b2＝，即|a|2 |b|2＝，所以|b|2＝|a|2 ＝1 ＝，故|b|＝．
(2) 当a·b＝ 时，求向量a与a＋2b的夹角θ．
【解答】因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1 1＋1＝1，所以|a＋2b|＝1．又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1 ＝，所以cos θ＝＝．因为θ∈［0，π］，所以θ＝．
视角3　向量的模的相关问题
例2 3　已知向量a，b满足＝2＝2，且b⊥(b a)，则＝(　D　)
A．1　 B．2
C．　 D．
【解析】因为b⊥(b a)，所以b·(b a)＝b2 a·b＝0．因为＝2＝2，所以＝2，＝1，所以a·b＝1，＝＝＝．
“见模思平方”：求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方．
变式　已知平面向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，＝(t∈R)，则实数t＝(　A　)
A． 1　 B．1
C．　 D．±1
【解析】因为＝，所以＋2ta·b＋t2＝3，即4＋2t×2×1×cos 60°＋t2＝3，解得t＝ 1．
随堂内化及时评价
1．(多选)关于平面向量a，b，c，下列说法中正确的是(　AB　)
A．若a∥b，a≠0，则存在λ∈R，使得b＝λa
B．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
C．若a·b＝a·c，则b＝c
D．若向量a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b
2．(新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足＝1，＝2，且⊥b，则＝(　B　)
A．　　 B．　
C．　　 D．1
【解析】因为⊥b，所以·b＝0，即b2＝2a·b．又因为＝1，＝2，所以(a＋2b)2＝1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而＝．
3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a，b的夹角为，则a·(a＋b)＝(　C　)
A． 2　 B． 1
C．0　 D．2
【解析】a·b＝1×2×cos＝ 1，所以a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1 1＝0．
4．已知a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，则|a＋b|＝__2__，|3a 4b|＝__4__．
【解析】由已知得a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝ 4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4．因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×( 4)＋4＝12，所以|a＋b|＝2．因为|3a 4b|2＝(3a 4b)2＝9a2 24a·b＋16b2＝9×16 24×( 4)＋16×4＝304，所以|3a 4b|＝4．
5．(课本P22练习2)已知|a|＝，|b|＝1，且a b与a＋2b互相垂直，求证：a⊥b．
【解答】因为a b与a＋2b互相垂直，所以(a b)·(a＋2b)＝0，即|a|2＋a·b 2|b|2＝0．因为|a|＝，|b|＝1，所以|a|2＝2，|b|2＝1，所以a·b＝2 2＝0．因为a，b是非零向量，所以a⊥b．

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